Matemática de 1.ª por um matemático de 1.ª

O Professor Terence Tao, do “Department of Mathematics”, UCLA, Los Angeles, CA 90095, já disponibilizou a versão “draft” do seu livro “What’s new – 2007; Open questions, expository articles, and lectures from a mathematical blog”

Veja este “link”: http://terrytao.files.wordpress.com/2008/04/whatsnew_onlineversion1.pdftambém incluído na barra lateral.

Actualização de 29-4-2008: “link” da nova versão do livro.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Matemática de 1.ª por um matemático de 1.ª

  1. Caro Américo Tavares
    Verdadeiramente despretensiosa é a brincadeira que deixei como desfio. Poderá, no entanto, servir de pretexto para uma abordagem exploratória da Teoria da Informação. Uma resposta de qualidade será transformada em post.
    De Novembro de 1971 até Agosto de 1976 estive no IST de Lisboa. Presumo que nos tenhamos cruzado por lá, mas o tempo passa.
    Parabéns pelo blog.

  2. Caro António Ferrão,

    Obrigado por várias coisas: me ter visitado, incluído na lista de blog(ues) e, agora, comentado, e ainda pelos seus parabéns.

    Saí do Técnico em 1974, um pouco antes de si, como se vê.

    Vou encarar o seu desafio seriamente e tentar ver o que me ocorre dizer.

    Parto do princípio que a “moeda falsa” da “brincadeira” tem um peso diferente das restantes, sem se saber a priori se será mais leve ou mais pesada.

  3. Caro Américo
    Seria algo exótico usar uma liga para contrafacção de moedas com metais de massa específica superior ao ouro. Tenho uma grande expectativa sobre a sua participação.

  4. Texto do desafio:

    « Imagine o leitor que está perante um conjunto de 27 moedas de ouro e uma balança mecânica de braços iguais. Dispõe apenas deste material.
    É-lhe dito:
    – Há uma moeda falsa.

    – Que número mínimo de operações com a balança será necessário efectuar para se determinar com certeza qual é a moeda falsa? »

    Passo a expor um método para conseguir determinar a moeda falsa do conjunto das 27, sem se saber se ela é mais ou menos pesada do que as restantes.

    Para facilidade de exposição designo o conjunto das moedas por
    M=\lbrace m_1,m_2,\dots ,m_{27}\rbrace .
    Divido este conjunto em três outros, com nove moedas cada, M_I,M_{II},M_{III}, respectivamente
    M_I=\lbrace m_1,m_2,\dots ,m_{9}\rbrace
    M_{II}=\lbrace m_{10},m_{11},\dots ,m_{18}\rbrace
    M_{III}=\lbrace m_{19},m_{20},\dots ,m_{27}\rbrace .
    A seguir faço as seguintes pesagens:

    Passo 1 – coloco num dos pratos da balança as moedas do conjunto M_I e no outro as do M_{II}. Se a balança ficar em equilíbrio, a moeda falsa pertence ao conjunto M_{III} e prossigo para o passo 5. Se não, prossigo para o passo 2.

    Passo 2 – substituo as moedas do prato mais elevado pelas de M_{III} e vejo se o pratos se equilibram, o que indicaria que uma das moedas do prato que estava mais elevado era mais leve. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos: se for o das moedas M_{III}, é porque uma das moedas do outro prato é mais pesada; caso contrário, uma das moedas do outro prato é mais leve.

    Passo 3 – das nove moedas que têm peso diferente, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. Se não, a moeda falsa é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada.

    Passo 4 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. Caso contário, é a do prato mais leve ou mais pesado, conforme se tenha visto no passo 2 que a moeda falsa é mais leve ou mais pesada. FIM.

    Passo 5 – das nove moedas de M_{III}, escolho seis e coloco três em cada prato. Se a balança ficar equilibrada é porque uma das três restantes é falsa. FIM. Se não, prossigo para o passo 8.

    Passo 6 – coloco uma do grupo das falsas em cada prato: se a balança ficar equilibrada a falsa é a que ficou de fora. FIM. Se não houver equilíbrio da balança, vejo qual dos pratos pesa menos.

    Passo 7 – comparo a moeda do prato que pesa menos com a moeda que focou de fora: a que pesava menos é falsa se continuar a pesar menos, caso contário é que está no prato que pesa mais. FIM.

    Passo 8 – transfiro duas moedas do prato mais leve para o mais pesado e uma do mais pesado para o mais leve, ficando duas moedas em cada prato. Podem acontecer três situações:

    a balança ficar desequilibrada para o mesmo lado — a moeda falsa é a que não foi mexida; FIM.

    a balança continuar desequilibrada, mas com inversão do sentido do desiquilíbrio — a moeda falsa é a que foi transferida do prato mais pesado; FIM.

    a balançar ficar equilibrada — faço uma última pesagem no passo 9.

    Passo 9 – escolho uma das duas moedas que não foram transferidas de prato e comparo o seu peso com qualquer das moedas de M_{I} ou M_{II}, que sei não ser falsa. Podem acontecer dois casos:

    a balança ficar equilibrada — a moeda falsa é a que não foi pesada; FIM.

    a balança ficar desequilibrada — a moeda falsa é a que está no prato mais pesado. FIM.

    Os casos possíveis são então:

    Passo 1, Passo 5, Passo 6: 3 pesagens

    Passo 1, Passo 5, Passo 6, Passo 7: 4 pesagens

    Passo 1, Passo 5, Passo 8: 3 pesagens

    Passo 1, Passo 5, Passo 8, Passo 9: 4 pesagens

    Passo 1, Passo 2, Passo 3, Passo 4: 4 pesagens

    Por este método consegue-se isolar a moeda falsa em 4 pesagens no máximo.
    NOTA: por abuso de linguagem digo prato mais leve e mais pesado querendo significar o prato com o conjunto de moedas menos ou mais pesado.

    Comentário actualizado em 15-5-2008, 1:53 (erro no passo 5, e na enumeração dos casos possíveis).

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