Problema Putnam de hoje (do HMD)

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pdf: ver caderno

No site do departamento do Harvard’s Math Department aparece hoje o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):

« Evaluate

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}

Express your answer in the form

\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d},

where a,b,c,d are integers. »

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Resolução

NOTA PRÉVIA: a solução a que cheguei não teria sido possível de encontrar apenas com papel e lápis, pois alguns passos envolveram alguns cálculos numéricos feitos no Scientific Notebook. Se chegar a um método limpo, penso publicá-lo aqui. Efectivamente é possível calcular à mão as potências de um binómio com radicais, como se mostra na adenda de 9-3-2008.

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Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua

x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}

verifica

x=\dfrac{1}{2207-x}

pelo que, como \dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207, só poderá ser

x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}

e, após alguns cálculos

2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};

por este motivo

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.

Para que

\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}

ou, de forma equivalente,

\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,

com a,b,c inteiros, é necessário que d^8/2 seja inteiro, pelo que d deve ser par. Vou admitir que d=2; por outro lado c deverá ser igual a 5. Então,

2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8

\bigskip

\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}

\bigskip

Como, para b=2

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1

excluo esta possibilidade. Resta b=1

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000

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Vou confirmar

\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

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A solução pedida a que cheguei foi

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\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

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Adendas de 9-3-2008 e 12-3-2008: O pdf foi actualizado em 12-3.

O  cálculo de

 \displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

pode ser feito à mão da seguinte forma

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

Actualização de 19-3-2008: veja outra  resolução aqui (Putnam 1995, Problem B5 )

Adenda de 7-3-2009: Tradução do Comentário/Demonstração de Vishal Lama  da convergência da fracção contínua  (comentário de hoje)

« Na resolução apresentada no post, x designa uma expressão que não podemos assumir à partida que  seja um número finito. x pode eventualmente ser  infinito! Por isso, a maneira de anteceder o cálculo da expressão (da fracção contínua infinita) dada no problema é como segue.

A fracção contínua infinita é definida como sendo o limite da sucessão (a_n), em que a_0 = 2207 e a_n = 2207 - 1/a_{n-1} qualquer que seja n \geq 1. Depois, mostramos que a sucessão a_n é limitada inferiormente (a_n>2206 para todos os n \geq 0, o que se pode fazer por uma indução simples) e que é também estritamente decrescente (a indução pode usar-se também para o mostrar).  A seguir, recorremos ao teorema da convergência monótona ( Monotone Convergence Theorem) para concluir que de facto a sucessão tem um limite (finito), que podemos então designar por x. Uma vez provado que x (ou seja, a fracção contínua infinita!) é finito, podemos calcular x da maneira que fez na resolução. Basicamente é preciso ter todo este trabalho para demonstrar que efectivamente a fracção contínua infinita tem um falor finito! Só depois podemos começar o cálculo!  »

Uma parte da minha resposta foi: «Não demonstrei a convergência da fracção contínua. Obrigado por tê-lo feito.
Basicamente admiti a convergência baseado numa certa evidência numérica, mas claro que isso não prova nada.»

ADENDA de 6-05-10: Em alternativa, podemos demonstrar a convergência pelo teorema de Śleszýnki-Pringsheim (referência aqui,  wikipedia): se para todos os valores naturais de j, se verificar \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, a fracção contínua \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) é convergente. Ora como a_j=-1 e b_j=2207, verifica-se a hipótese do teorema:

\left\vert b_{j}\right\vert=2207 \geq 1+1=\left\vert a_{j}\right\vert +1.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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4 respostas a Problema Putnam de hoje (do HMD)

  1. Though the solution presented above yields the correct answer (the computation is essentially correct!), I would be slightly skeptical of the same because there is a somewhat important step that I think the solution above doesn’t contain. Here is a rigorous solution (pdf) to the problem.

  2. Please allow me to clarify my previous comment.

    In the solution presented in your post, x denotes an expression that we can’t assume, beforehand, is a finite number. x may perhaps be infinite! Therefore, the way to go about computing the expression (the infinite continued fraction) given in the problem is as follows.

    The infinite continued fraction is defined as the limit of the sequence (a_n), where a_0 = 2207 and a_n = 2207 - 1/a_{n-1} for all n \geq 1. Then, we show that the sequence a_n is bounded from below (a_n > 2206 for all n \geq 0, which can be shown by a simple induction) and that it is also strictly decreasing (which can be shown using induction, again). Now, we invoke the Monotone Convergence Theorem to conclude that the sequence does indeed have a (finite) limit, which we can now denote by x. Once we establish that x (which is the infinite continued fraction!) is finite, we can compute x the way you did in your solution. Basically, we have to go through all that trouble just to prove that the given infinite continued fraction is indeed finite! Only after that can the computation can begin!

    Hope this helped clear up my previous comment!

    • I did not prove the convergence of the continued fraction. Thanks for doing it!
      Basically I assumed that convergence based on a certain numerical evidence, but of course this evidence proves nothing.

      BTW you have in this case an English version of this post here

      https://problemasteoremas.wordpress.com/2008/03/09/putnam-problem-of-the-day-by-the-hmd-dated-march-1-2008/

      It is one of the few cases in which there is an English version. All my English posts are listed on the English page of this blog.

      It is just a translation and there the convergence is also neither proved nor discussed.

      I will translate your comment and add it to this Portuguese post and just copy and add it to the English one, stating in both cases that it is a proof and comment of yours.

  3. Ok, this will be my last comment!
    :-)

    A somewhat “quicker” (though possibly “harder”) way to compute \sqrt[8]{x} is as follows.

    We note that \displaystyle x = \frac12 (2207 + 987 \sqrt{5}) = \frac14 (4414 + 2 \sqrt{5} \cdot 987) = \frac14 (4414 + 2 \sqrt{5} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 47) = \frac14 (21 \sqrt{5} + 47)^2.

    Therefore, \displaystyle \sqrt{x} = \frac12 (47 + 21 \sqrt{5}), which is equal to \displaystyle \frac14 (94 + 2 \sqrt{5} \cdot 3 \cdot 7) = \frac14 (7 + 3 \sqrt{5})^2.

    Therefore, \displaystyle \sqrt[4]{x} = \frac12 (7 + 3 \sqrt{5}), which is equal to \displaystyle \frac14 (14 + 2 \sqrt{5} \cdot 3) = \frac14 (3 + \sqrt{5})^2.

    Hence, \displaystyle \sqrt[8]{x} = \frac12 (3 + \sqrt{5}), which is our final answer.

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