Base dos logaritmos naturais e juros

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A base e dos logaritmos naturais \log x=\log_e (x) aparece no cálculo financeiro no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta.

Vou começar pelo caso discreto.

 Admitamos que num determinado contrato se aplica, em cada trimestre, uma taxa de juro i composta (trimestralmente, isto é 4 vezes por ano). A taxa nominal anual i_{N} é então

i_{N}=4\times i,

pelo que

i=\dfrac{i_{N}}{4}.

Se o capital investido no início for P, os montantes futuros F ao fim dos vários períodos trimestrais serão:

 – 1º trimestre: F_1=P\left (1+i\right )

 – 2º trimestre: F_2=P\left (1+i\right )^2

– 3º trimestre: F_3=P\left (1+i\right )^3

\ldots

– trimestre n: F_n=P\left (1+i\right )^n=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{4}\right )^n.

Se em vez de 4 períodos de capitalização, houver m, passaremos a ter ao fim desses m períodos, o montante

F_m=P\left (1+i\right )^m=P\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m.

Por isso

F_m-P=P\left (\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1\right )

ou

\dfrac{F_m-P}{P}=\left (1+\dfrac{i_{N}}{m}\right )^m-1,

o que traduz a taxa efectiva i_E do contrato, ou seja a relação entre os juros durante um ano e o capital P, conhecido por principal.

Exemplos numéricos: Se a taxa nominal do contrato for de 12\%  ao ano composta

  • semestralmente, a taxa efectiva será i_E=\left (1+\dfrac{0,12}{2}\right )^2-1\approx 12,36\%
  • trimestralmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{4}\right )^4-1\approx 12,55\%
  • mensalmente, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{12}\right )^{12}-1\approx 12,68\%
  • ao dia, i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{365}\right )^{365}-1 \approx 12,75\%.

E o que acontece se a taxa for composta em infinitos períodos? É a chamada composição contínua. Corresponde, neste exemplo, ao limite de

i_E =\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1

quando m tende para +\infty.

Como é bem sabido do início da Análise,

\displaystyle\lim_{m\to +\infty}\left (1+\dfrac{1}{m}\right )^m=e.

Por este motivo tem-se,  no exemplo 

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{0,12}{m}\right )^{\dfrac{m}{0,12}}\right )^{0,12}-1 =e^{0,12}-1\approx 12,75\%.

No caso geral da taxa i_N=r (para simplificar a notação que se segue) será 

Em resumo, na composição contínua a relação entre as taxas de juro nominal r e efectiva i_{E,\infty} é dada por

i_E =\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1,

donde

\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{m}-1= \displaystyle\lim_{m \to +\infty}\left ( \left (1+\dfrac{r}{m}\right )^{\dfrac{m}{r}}\right )^{r}-1=e^r-1.

 i_{E,\infty}=\displaystyle\lim_{m \to +\infty}i_E =e^{r}-1.

ADENDAS DE 13-6-2008 E 20-8-2008: pode ver nesta entrada um exemplo de aplicação de

i_E =\left (1+\dfrac{i_N}{m}\right )^{m}-1

bem como nesta.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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