Série zeta alterna

Retomo a questão um pouco mais geral do que o caso particular já visto  nesta entrada através de uma aplicação simples da Análise de Fourier, e que é o da soma da série zeta de termos alternadamente positivos e negativos, mas agora a partir do conhecimento da soma da série zeta propriamente dita, \zeta (n)

 \zeta (n)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}.

 Aqui designarei por \zeta_{a}(n) a série alterna

 \zeta_{a}(n)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^n}

O caso particular traduz-se em

\zeta_{a}(2)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}= \displaystyle\frac{\pi^2}{12}.

A série alterna obtém-se da série de termos positivos deixando ficar os de ordem ímpar e subtraindo duas vezes os de ordem par:

\zeta_{a}(n)= \zeta (n) -2\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{(2k)^n}= \zeta (n) -\dfrac{2}{2^n}\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}= \zeta (n) -\dfrac{2}{2^n}\zeta (n)

ou seja

\zeta_{a}(n)= \left (1 -\dfrac{2}{2^n}\right ) \zeta (n).

Ora no mesmo sítio vimos que 

\zeta (2)=\dfrac{\pi^2}{6}

donde, efectivamente

\zeta_{a}(2)= \left (1 -\dfrac{2}{4}\right ) \dfrac{\pi^2}{6}=\dfrac{\pi^2}{12}.

Em termos numéricos, como o erro da série alterna é no máximo igual ao do primeiro termo desprezado, podemos calcular através dela o valor aproximado da série zeta com uma maior precisão do que calcularíamos se recorressemos às somas parciais da sua série definidora.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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