Um clássico da antiga 4.ª classe

Problema 1

Uma torneira enche um tanque em 18 horas e outra em 9 horas. Estando as duas torneiras a deitar água, em quanto tempo enchem o tanque?

Resolução

Vamos resolver este problema sem utilizar equações, o que até é mais difícil do que se o fizessemos, para nos mantermos dentro deste nível de ensino, em que os alunos não tinham dado equações.

A primeira coisa em que devemos pensar é o que podemos somar, a partir dos dados do enunciado. Pensando que cada uma das torneiras debita um certo caudal de água, se ambas estiverem abertas simultaneamente, o caudal total é a soma dos caudais individuais. Neste caso, em vez de trabalharmos com os caudais directamente, consideramos a fracção do tanque que cada uma enche por hora:

  • a torneira que demora 18 horas a encher o tanque, numa hora, enche 1/18 desse tanque;
  • a que demora 9 horas enche, numa hora, 1/9 do tanque.

Por isso, as duas enchem-no numa hora na fracção 1/18 + 1/9

\dfrac{1}{18}+\dfrac {1}{9}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{2}{18}=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6} ,

logo demoram 6 horas a encher o tanque.

Se recorressemos às equações, teríamos, chamando V ao volume do tanque e Q_{1} e Q_{2} ao caudal de cada torneira :

V=18\times Q_{1}

V=9\times Q_{2}

e o caudal total Q verifica a equação

Q=Q_{1}+Q_{2}

e o tempo t de enchimento do tanque,

V=t\times Q.

Resolvendo estas equações, vem, sucessivamente

Q=Q_{1}+Q_{2}=\dfrac{V}{18}+\dfrac{V}{9}

V=t\times \left ( \dfrac{V}{18}+\dfrac{V}{9}\right )

1=t\times\left ( \dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{9}\right )

1=t\times \dfrac{1}{6}

t=6 (horas).

Seguindo a mesma linha de raciocínio, com ou sem equações, resolver o seguinte problema:

Problema 2

Determinar quanto demoram simultaneamente três torneiras a encher um tanque, sabendo que cada uma delas o faz, respectivamente, em 1, 1,5 e 1,5 horas.

Resolução

Então virá: a fracção do tanque enchida pelas três torneiras, numa hora, é igual a

1 + 1/1,5 + 1/1,5 = 1 + 2/3 + 2/3 = 7/3 ;

Mas, se numa hora se encheriam  7/3 do tanque, o tanque inteiro demorará a encher-se, em horas, 1/(7/3) =3/7,  ou seja, 180/7 minutos (cerca de 25 minutos e 42,84 segundos).

(Problema 2 corrigido em 8-11-2015)

 
Exames comparação antiga 4.ª classe com actual 4.º ano. Fonte: Expresso, 13.06.09

Exames comparação antiga 4.ª classe com actual 4.º ano. Fonte: Expresso, 13.06.09

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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