Fracções contínuas generalizadas; o exemplo de ζ(3)

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No documento seguinte em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de \zeta(3). Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações  de recorrência verificadas pelas fracções contínuas

b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}+}\cdots

exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da série \zeta(3).

Edição de 12 e 13-1-08:

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\displaystyle\frac{6}{5-}\frac{1}{117-}\frac{64}{535-}\cdots \frac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5-}\cdots

 

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

 

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

 =b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem n,n-1,n-2 verificam:

p_{n}=p_{n-1}b_{n}+p_{n-2}a_{n},

q_{n}=q_{n-1}b_{n}+q_{n-2}a_{n}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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