Teorema sobre a sucessão dos números primos

Teorema: Não existe um número primo maior do que todos os outros.

Demonstração: (atribuída a Euclides)

Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros e vamos ver que obtemos uma contradição.

Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos

P = 2 x 3 x 5 x … x p ,

vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão

(2, 3, 5, …, p)

de todos os primos, pelo que, em símbolos:

 

 

p’ | (P + 1);

 

 

mas, como p’ é também um dos divisores de P,

p’ | P ,

 p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:

p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. O teorema fica assim demonstrado.  \blacksquare

Adaptado de CALADO, J., Compêndio de Aritmética Racional, Ensino Liceal, 3º ciclo, Ministério da Educação Nacional, Livraria Cruz, Braga, 1967.

 

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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