Números primos (introdução elementar)

§ 1. Os números primos são os inteiros superiores a um que admitem apenas dois divisores inteiros (positivos).

Os primeiros são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

  1. 1 não é primo, por definição.
  2. Os dois divisores são sempre o 1 e o próprio número.
  3. Todos os pares, com excepção do 2, não são primos, isto é, são composições de primos (produto de primos); por isso, os não primos são chamados compostos.

O processo mais antigo para construir uma tabela de números primos é utilizar um crivo: o mais simples  é o de Erastótenes (275-194 a. C.), grego , matemático, astrónomo e director da biblioteca de Alexandria.

Este processo elimina sucessivamente uma infinidade de números

  1. todos os números de 2 em 2, com excepção do 2.
  2. Começando no primeiro número não eliminado na fase anterior ( o 3), que se mantém,  eliminam-se todos os números de 3 em 3.
  3. Começando no primeiro número não eliminado na fase 2 ( o 5), mantém-se esse número, e eliminam-se todos os números que lhe são múltiplos que ainda houver.
  4. Repete-se este processo indefinidamente como indicado em 3.

Na prática será:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, …

  • Fase 2

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, … —> eliminaram-se o  4, 8, 10, 12, 14, 16, … ( ou seja, todos os pares maiores ou iguais a 4)

  • Fase 3

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, … —> eliminaram-se o 9, 15, 21, 27, … (ou  seja, todos os múltiplos de 3 ainda não eliminados)

  • Fase 4

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … —> é esta a lista acima, depois de se terem eliminado o múltiplo de 5 que é o 25, assim como todos os subsequentes ainda não eliminados).

§ 2. Cinco propriedades dos números primos:

  1. Não existe um número primo maior do que todos os outros. A demonstração, que data de Euclides (séc. III a. C., professor na Universidade de Alexandria), é um clássico da Teoria dos Números / Aritmética teórica).
  2. Um número só é primo se for da forma 4 n + 1 ou 4 n -1, em que n é um dos termos da sucessão 1, 2, 3, 4, 5, … .
  3. Um inteiro maior do que 5 só é primo se for da forma 6 n + 1 ou 6 n + 5, em que o inteiro n pode ser 1, 2, 3, 4, 5, … .
  4. Um inteiro maior do que 30 só é primo se for da forma 

    30 n + 1, 30 n + 7, 30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17 , 30 n + 19, 30 n + 23, 30 n + 29,
     

    em que n é um inteiro maior ou igual a 1.

     

    Demonstração: um inteiro maior que 30 é da forma 30 n, 30 n + 1, 30 n + 2, … , 30 n + 28, 30 n + 29. Os pares, que são os da forma 30 n, 30 n + 2, 30 n + 4, … , 30 n + 26, 30 n + 28, não são primos. Os ímpares que restam uns podem ser primos e há outros que o não são de certeza.

    Neste momento temos

    30 n + 1, 30 n + 7, 30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17 , 30 n + 19, 30 n + 23, 30 n + 29

    e

    30 n + 3, 30 n + 5, 30 n + 9, 30 n + 15, 30 n + 21, 30 n + 25, 30 n + 27.

    Como 30 = 2 x 3 x 5, tem-se

    • 30 n + 3 = 30 ( n + 1 ) = 2 x 3 x 5 ( n + 1)
    • 30 n + 5 = 5 ( 6 n + 1)
    • 30 n + 9 = 3 ( 10 n + 3 )
    • 30 n + 15 = 15 ( 20 n + 1 ) = 3 x 5 ( 20 n + 1 )
    • 30 n + 21 = 3 ( 10 n + 7 )
    • 30 n + 25 = 5 ( 6 n + 1 )
    • 30 n + 27 = 3 ( 10 n + 9 )

    ou seja, todos estes números têm mais do que dois divisores (incluindo o 1), pelo que não são primos. Por análise de todos os casos possíveis, conclui-se que apenas os da forma

    30 n + 1, 30 n + 7, 30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17 , 30 n + 19, 30 n + 23, 30 n + 29

    poderão ser primos.

    Por este motivo só é necessário testar, quanto à divisibilidade, os inteiros que sejam de uma destas formas. Todos os outros são imediatamente excluídos: não poderão ser primos.

  5. TEOREMA: Um  número p é primo, se e só se, não puder ser dividido  por nenhum primo menor do que a raiz quadrada de p.

EXEMPLO: Aplique este teorema e determine se 391 é primo ou não.

Como 192 = 361 < 391, 232 = 529 > 391, e 391 é ímpar basta verificar se 391 é divisível por 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Pelos critérios de divisibilidade por 3 e por 5, vê-se que estes dois números não são divisores de 391. Testando os restantes, porque 391 / 17 = 23 conclui-se que 391 não é primo.

[Incluída resolução do exemplo em 30-8-2008, em consideração pelos meus leitores  que já ultrapassaram as mil visitas nesta entrada]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Números primos (introdução elementar)

  1. marcos diz:

    Po muito obrigado por ter explicado assim tao melhor pra mim obrigado mesmo em vlw
    professor virtual (risos)

  2. florencio diz:

    como faço para resolver enta conta? quantos múltiplos de 05
    ha entra 21 e 623.
    como chega no resultado 120.

  3. A título excepcional, porque este blogue não é para tirar dúvidas, por impossibilidade de tempo da minha parte, transcrevo o essencial da minha resposta ao comentário 2.

    O primeiro é 25 (5×5) e o último 620 (5×124).
    A diferença entre dois múltiplos sucessivos é 5:

    25, 30, 35, … , 615, 620

    Para não os ter de contar a todos, pode escrever a equação

    25 + 5x = 620

    em que x representa o número de saltos de cinco em cinco que tem que dar para,
    partindo do 25 chegar ao 620.

    Resolva em ordem a x

    5x = 620 – 25
    5x = 595
    x = 595 / 5 = 119.

    Agora tem que somar um para incluir o 25, que não é contado pela equação 25 + 5x = 620.

    119 + 1 = 120.

    Dá 120, que é o seu resultado.

  4. Dielly Brito diz:

    olha pra mim tem que ser mais detalhado porque eu nao entendi muito bem essa questao!!!

  5. Rosilda Ferreira da Costa Silva diz:

    A soma de dois números é 137. O quociente da divisão do maior pelo menor é 36, o resto é 21.Que número é este? – por favor tenho que ajudar minha filha e não consigo…..

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