Série relacionada com ζ(2)

A série

\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}

é igual, como se sabe, a

\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}.

 Desdobramos esta série nos termos cujas potências do denominador têm  base ímpar e par:

\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\dfrac{1}{(2k-1)^2}+\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{(2k)^2}

o que, por sua vez, é igual a

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{(2k-1)^2}+\displaystyle\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}.

Daqui resulta que

 

\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{(2k-1)^2}+\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}.

ou seja

\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}-\displaystyle\dfrac{1}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{k^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{(2k-1)^2}.

Donde

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{(2k-1)^2}=\displaystyle\dfrac{3}{4}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{3}{4}\displaystyle\dfrac{\pi^2}{6}=\displaystyle\dfrac{\pi^2}{8}.

NOTA: a série alterna

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}

relaciona-se racionalmente com \zeta(2). Deixo ao leitor a determinação da relação entre estas duas séries.

 
 

 

 

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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