Função Cúbica

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Mostre que o ponto de inflexão  da função f(x)=x^3+3x^2-9x-21 está situado a meio dos de estacionaridade.

(enunciado adaptado e simplificado da entrada do ‘Mathematics weblog’, Steve, cubics, harder question 2, 26-1-2006).
   
             
Resolução

Começamos por calcular os pontos de estacionaridade. Como

f^{\prime }\left( x\right) =3x^{2}+6x-9

então

f^{\prime }\left( x\right) =0\Leftrightarrow 3x^{2}+6x-9=0

\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{-2\pm 4}{2}=-1\pm 2

\Leftrightarrow x=1\vee x=-3.

Mas

f\left( -3\right) =\left( -3\right) ^{3}+3\left( -3\right) ^{2}-9\left( -3\right) -21=6

f\left( 1\right) =\left( 1\right) ^{3}+3\left( 1\right) ^{2}-9\left( 1\right) -21=-26.

Logo, os pontos estacionários são \left( -3,6\right) ,\left( 1,-26\right) .

Agora determinamos o ponto de inflexão. Dado que

f^{\prime \prime }\left( x\right) =6x+6

tem-se

f^{\prime \prime }\left( x\right) =0\Leftrightarrow 6x+6=0\Leftrightarrow x=-1

f^{\prime \prime }\left( x\right) >0\Leftrightarrow 6x+6>0\Leftrightarrow x>-1

f^{\prime \prime }\left( x\right) <0\Leftrightarrow 6x+6<0\Leftrightarrow x<-1

e como

f\left( -1\right) =\left( -1\right) ^{3}+3\left( -1\right) ^{2}-9\left( -1\right) -21=-10

o ponto de inflexão é  o ponto de coordenadas \left( -1,f\left( -1\right) \right) =\left( -1,-10\right) . Ora

-1=\dfrac{-3+1}{2}\wedge -10=\dfrac{6-26}{2}

Por conseguinte

\left( -1,-10\right) =\dfrac{1}{2}\left( \left( -3,6\right) +\left( 1,-26\right) \right) \qquad \blacksquare

* * *

No caso geral da  função cúbica

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

usando um método de resolução  igual ao do exemplo, determina-se:

 –  pontos de estacionaridade  \left( x_{1},f\left( x_{1}\right) \right)   e \left( x_{2},f\left( x_{2}\right) \right) ,  em que

 x_{1}=\dfrac{1}{3a}\left( -b+\sqrt{b^{2}+3ac}\right)

 e

 x_{2}=\dfrac{1}{3a}\left( -b-\sqrt{b^{2}+3ac}\right) ;

– ponto de inflexão \left( x_{i},f\left( x_{i}\right) \right) com

 x_{i}=-\dfrac{1}{3a}b.

Vê-se  que

 x_{i}=\dfrac{1}{2}\left( x_{1}+x_{2}\right)

 e pode mostrar-se que

 f(x_{i})=\dfrac{1}{2}\left( f\left( x_{1}\right) +f\left( x_{2}\right) \right) . 

Edição de 23-5-2009: conversão para LaTeX dos símbolos matemáticos e ligeiras modificações na exposição. Acrescentei  a esta entrada o caso geral da função cúbica  e suprimi a entrada “Função Cúbica (continuação)” de  8-12-2007.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Caderno, Exercícios Matemáticos, Matemática, Matemática-Secundário, Problemas com as etiquetas , , , . ligação permanente.

4 respostas a Função Cúbica

  1. nfaust diz:

    Estou a ver que o senhor Américo gosta de resolver problemas de matemática engraçados.

    Se estiver interessado pode no link
    http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnam/-pdf/2007.pdf

    encontrar uma resenha de exercícios do exame da “American Mathematics Competitions” (Putman exam) à espera de serem resolvidos.

    :)

    Nelson

    PS: Fiquei muito lisonjeado por ter descoberto que o senhor Américo colocou o link de dois dos meus textos no seu blog. Não sabia que o que escrevia sobre Matemática pudesse interessar a alguém !

  2. problemasteoremas diz:

    nfaust,

    Na realidade gosto, embora goste igualmente de perceber bem a teoria.

    Obrigado pelo link sobre o “Putnam”.

    Comprei no início de Outubro o livro da Birkhaeuser “104 Number Theory Problems – From The Training Of The USA IMO Team” , de Titu Andresescu, Dorin Andriga e Zuming Feng, que vou lendo e resolvendo, embora saiba que não seja para tentar participar nas IMO — já passou há muito a idade apropriada.

    Os meus links para o seu blog foram colocados dentro do espírito de ter à mão ligações dentro da minha área de interesses. Considero a sua escrita “saborosa”.

    Américo Tavares

  3. Paola
    Sugiro que coloque a sua questão no site inglês Mathematics Stack Exchange, cujo link se encontra na barra lateral.

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