Sucessão de Fibonacci

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No blogue Matemática (de Rodrigo Gonçalez) apareceu recentemente (2-12-2007) um excelente artigo intitulado “Natureza Elegante – os Números de Fibonacci“.
Lembrei-me que é possível determinar a fórmula explícita do termo geral desta sucessão, a partir da relação de recorrência que habitualmente a define:

x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}   com as condições iniciais x_1=x_2=1.

A fórmula é

x_{n}=\displaystyle\frac{a^n-b^n}{a-b},

em que a e b são as raizes da equação

x^2-x-1=0.

[Ver o livro Apostol, Tom, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, 2nd. ed., p. 25, Exercise 1.5]

Neste livro a dedução desta propriedade é deixada ao leitor. Apresento a minha.

Seja

a=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi

e

b=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\phi^{-1}

em que \phi é o número de ouro ou razão áurea.

A recorrência é equivalente a

x_{n+1}-x_{n}-x_{n-1}=0

Trata-se de uma equação às diferenças, linear, homogénea ( o 2º membro é nulo), de coeficientes constantes, e  de 2ª ordem. Pela teoria geral destas equações a sua solução, x_{n}, é uma combinação linear das soluções fundamentais X_1^{n} e X_2^{n}

x_{n}=AX_1^{n}+BX_2^{n},

em que X_1^{n} e X_2^{n} são as raizes da equação característica

X^2-X-1=0

e A,B são constantes (independentes de n). Esta última equação tem as duas soluções

X_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi=a

X_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=-\phi^{-1}=b

e, portanto

x_{n}=AX_1^{n}+BX_2^{n}=Aa^{n}+Bb^{n}

Ora, das condições iniciais

x_1=x_2=1

resulta

A\phi-B\phi^{-1}=1

A\phi^{2}+B\phi^{-1}=1;

donde

A= \displaystyle\frac{\phi^{-2}+\phi^{-1}}{\phi^{-1}+\phi} =\dfrac{\sqrt{5}}{5}

B= \displaystyle\frac{\phi-\phi^{2}}{\phi^{-1}+\phi} =\dfrac{\sqrt{5}}{5}

Logo

x_{n}=AX_1^{n}+BX_2^{n}=Aa^{n}+Bb^{n}  =\dfrac{\sqrt{5}}{5}a^{n}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}b^{n} =\dfrac{\sqrt{5}}{5}(a^n-b^n);

Mas, como

\dfrac{1}{a-b}=\dfrac{1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5},

tem-se

x_{n}=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}

como queríamos mostrar. ■

Edição de 4-12-2007: acrescentado “de coeficientes constantes”

Edição de 22-6-2013: retirado link para o artigo, entretanto retirado, indicado no 1.º parágrafo.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Caderno, Fibonacci, Matemática, Recorrência com as etiquetas , . ligação permanente.

3 respostas a Sucessão de Fibonacci

  1. physike diz:

    .::. Américo, mais uma vez um excelente artigo! Essa teoria de soluções é sobre equações diferenciais ordinárias? Confesso que não conhecia essa fórmula!
    .::. Mais uma vez também agradeço a apreciação pelo meu blog.
    .::. Um grande abraço!

  2. problemasteoremas diz:

    Rodrigo, é sobre equações às diferenças finitas, ou seja, equações envolvendo uma (neste caso) variável discreta e não uma variável contínua.

    Américo Tavares (do blog do wordpress “problemasteoremas” )

    P.S. Coloquei no blog uma notícia sobre a próxima conferência que vai ocorrer aqui em Lisboa, em 12 de Dez., sobre a Conjectura de Poincaré – Geometria para entender o Universo, dada pelo investigador brasileiro Marcelo Viana.

  3. pretendo conhecer e aprofundar mais sobre matemática e as questões mais interessada sobre sucessões,de preferência tudo importante para ter conhecimento.

    De Monte Verde
    agradeço a todos pelo
    por estar disponíveis
    a responder as perguntas,..
    obrigado

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