Constante de Apéry

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Roger Apéry (1916-1994) surpreendeu a comunidade matemática com a sua genial demonstração de que o número real representado pela série

 \zeta(3)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^3}=\displaystyle\frac{1}{1^3}+\displaystyle\frac{1}{2^3}+\displaystyle\frac{1}{3^3}+\dots

é irracional. Escolheu para a apresentar a forma de uma conferência proferida em Junho de 1978 nas “Journées Arithmétiques” de Marseille-Luminy. Utilizou um método elementar, mas que estava repleto de fórmulas complicadas e, na altura, inesperadas, sendo igualmente aplicável à série, conhecida de Euler (1707-1783),

\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{1^2}+\displaystyle\frac{1}{2^2}+\displaystyle\frac{1}{3^2}+\dots.

    A exposição de Apéry foi acolhida com manifestações de dúvida, porventura pela estranheza provocada pela natureza das fórmulas, à primeira vista nada evidentes, e por utilizar essencialmente um método digno de Euler. Dois meses mais tarde, no Congresso Internacional de Matemáticos, H. Cohen fez uma exposição curta da demonstração, incorporando ideias suas e de D. Zagier e Apéry referiu a motivação que esteve por de trás do seu método.
    Sob a forma escrita, a demonstração de Apéry pelo próprio, data de 1979 [1] . A. van der Poorten publicou, também nesse ano, um relatório informal bastante pormenorizado e uma descrição muito viva destes acontecimentos [2]. F. Beukers apareceu, ainda em 1979, com uma elegante e mais curta demonstração da irracionalidade de \zeta(3)  [3]. Em homenagem a Apéry, a série \zeta(3) passou a ser conhecida por constante de Apéry.

     Como é sabido, os números reais podem ser classificados em números racionais, que são aqueles que podem ser expressos por fracções (ou razões) de números inteiros (por exemplo \frac{5}{2}) e os que não podem, os chamados números irracionais (por exemplo \sqrt{2}, \pi, e). Há dois tipos distintos de irracionais: os algébricos e os transcendentes. Os algébricos são zeros (ou raízes) de um polinómio de coeficientes racionais (por exemplo \sqrt{2}, visto que x=\sqrt{2} verifica a equação x^2-2=0), os transcendentes não.
    Não se sabe se a constante de Apéry, \zeta(3), é transcendente. O mais conhecido de todos os irracionais, o \pi, é transcendente como foi demonstrado por F. Lindemann em 1882. A transcendência da base dos logaritmos naturais, e, foi provada em 1873 por C. Hermite. Quanto a \zeta(2), Euler demonstrou que era igual a \displaystyle\frac{\pi^2}{6}, logo transcendente, porque todas as potências inteiras de \pi são transcendentes.
    Euler, por analogia com a factorização de um polinómio de grau n com zeros x_1, x_2, \dots, x_{n}

P(x)=c\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{x_1}\right)\right)\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{x_2}\right)\right)\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{x_3}\right)\right)\cdots\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{x_n}\right)\right),

muito embora \text{sen} \pi x tenha uma infinidade de zeros (x=0,\pm1,\pm2,\dots), teve a intuição de aplicar este conceito a esta função -  cujo desenvolvimento em série de Taylor é

 \text{sen}\; \pi x=\displaystyle\frac{\pi}{1!} -\displaystyle\frac{\left(\pi x\right)^3}{3!}+\displaystyle\frac{\left(\pi x\right)^5}{5!}\mp\cdots

fazendo

\text{sen}\; \pi x=\pi x\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{1}\right)\right)\left(1+\left(\displaystyle\frac{x}{1}\right)\right)\left(1-\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right)\cdots\left(1+\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right)\cdots

=\left(1-\left(\displaystyle\frac{x^2}{1}\right)\right)\left(1+\left(\displaystyle\frac{x^2}{4}\right)\right)\left(1-\left(\displaystyle\frac{x^2}{9}\right)\right)\cdots

    O factor \pi resulta de \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\displaystyle\frac{\text{sen}\; \pi x}{x}=\pi. Igualando os coeficientes do termo em x^3, vem

\displaystyle\frac{1}{3!}\pi^3 =\pi\left(\displaystyle\frac{1}{1}+\displaystyle\frac{1}{4}+\displaystyle\frac{1}{9}+\cdots\right) =\pi\zeta(2),

o que dá \zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}. Embora não seja ainda uma verdadeira demonstração, Euler veio a efectuá-la mais tarde, depois de verificar que a mesma não era desmentida numericamente. Para \zeta(4)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^4}, obteve o resultado \displaystyle\frac{\pi^4}{90} e descobriu a fórmula geral de \zeta(2n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^{2n}}, que é um múltiplo racional de \pi^{2n}, isto é, \displaystyle\frac{\zeta(2n)}{\pi^{2n}} é racional. Daqui se conclui que \zeta(2n) é transcendente.

   Quanto a \zeta(2n+1)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^{2n+1}}, para n\ge 2, ainda não se conseguiu demonstrar a sua irracionalidade ou racionalidade. Mas já se sabe, por exemplo, que há uma infinidade de valores de \zeta(2n+1) que são irracionais. 

    A função zeta de Riemann é tradicionalmente designada por \zeta(s), com s complexo. A função y=\zeta(x) é definida nos reais, para x>1 pela série

\zeta(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\dfrac{1}{n^{x}}.

\bigskip

zetagrafico

 Gráfico de \zeta(x)

   A estrutura geral da demonstração de Apéry baseia-se na construção de duas sucessões cuja razão \displaystyle\frac{u_{n}}{v_{n}} converge para \zeta(3) por valores inferiores: uma de inteiros (v_{n})_{n\ge0} e outra de racionais (u_{n})_{n\ge0}, as duas verificando a mesma relação de recorrência, mas geradas por condições iniciais distintas. A sucessão (u_{n})_{n\ge0} é tal que multiplicando u_{n} pelo termo geral duma terceira sucessão de inteiros (s_{n})_{n\ge0} se obtém o termo geral q_{n}=s_{n}u_{n} de uma sucessão de inteiros (q_{n})_{n\ge0}. A aproximação racional a \zeta(3),

 \displaystyle\frac{u_{n}}{v_{n}} =\displaystyle\frac{p_{n}}{q_{n}} (com p_{n}=s_{n}v_{n})

tem uma velocidade tal que permite concluir a irracionalidade de \zeta(3).
    Na demonstração de Beukers, o raciocínio é semelhante, com a grande diferença das fórmulas definidoras das sucessões de inteiros e de racionais, que são dadas por integrais, enquanto que nas de Apéry aparecem coeficientes binomiais. Por exemplo,

v_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{k=n}\dbinom{n}{k}^2\dbinom{n+k}{k}^2

 são os chamados números de Apéry (associados a \zeta(3) ).
       
    Numericamente, tem-se

\zeta(3)=1,202056903\dots,

    e

\zeta(2)=\displaystyle\frac{\pi^2}{6}=1,644934\cdots.

Referências

[1] R. Apéry, Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 1979, 11-13.

[2] A. van der Poorten, A Proof that Euler Missed…, Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, Math. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp. 195-203. (aqui e aqui)

[3] F. Beukers, A note on the irrationality of ζ(2) and ζ(3), Bull. Lond. Math. Soc. 11, nº 33, 1978, pp. 268-272. (aqui)

Ver também http://wain.mi.ras.ru/zw/

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Constante de Apéry

  1. Ítalo diz:

    Poste muito bom, professor!
    Abraço.

    • Caro Ítalo

      Obrigado por este seu comentário e ou outros dois que fez hoje. Já agora, se vir na página “Acerca de”, ficará a saber que sou um eng. reformado que gosta de Matemática.

  2. Ítalo Toffolo diz:

    Eu tinha visto! Nós, brasileiros, temos o costume de chamar todos que se dedicam a postar conteúdos didáticos de professores, mesmo que não sejam formados na área.
    Sou um estudante de engenharia elétrica. Amo matemática! Resido em Salvador, Bahia, Brasil.
    Abraço, sr. eng.!

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