Construção do Pentágono Regular

A construção do pentágono regular está explicada  aqui (na parte “la construction du pentagone régulier”) — “site” francês –, como segue:

Tradução:

A é o ponto de coordenadas (-1/2,0), B é a intersecção da circunferência de centro A que passa em JC é o ponto médio de OB. É fácil  provar que

OC =\displaystyle\dfrac{-0,5+\sqrt{\dfrac{5}{4}}}{2},

o que é exactamente igual a

\displaystyle\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right).”

Justifique.

Edição de 14-2-2008:

Vou agora apresentar a justificação sugerida.

O  raio da circunferência a traço interrompido, de centro A=(-1/2,0), é dado pela distância de A a J:

AJ=\sqrt{AO^2+OJ^2}= \displaystyle\sqrt{\left (-\dfrac{1}{2}\right )^2+1^2} \sqrt{\dfrac{5}{4}}

e como

OC= \dfrac{OB}{2}

AB=AJ

vem

OB=AB-\dfrac{1}{2}=AJ-\dfrac{1}{2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}-\dfrac{1}{2}

pelo que efectivamente

OC= \dfrac{OB}{2}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{5}{4}}-\dfrac{1}{2}}{2}=\displaystyle\dfrac{-0,5+\sqrt{\dfrac{5}{4}}}{2}.

O ângulo \alpha = \measuredangle DOI  é o ângulo ao centro formado pelos raios OD e OI da circunferência a cheio na qual se inscreve o pentágono regular; por este motivo

\alpha = \measuredangle DOI=\dfrac{2\pi}{5}

e

\displaystyle\cos \alpha=\cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{OC}{OD}=\dfrac{OC}{OI}=\dfrac{OC}{1}=OC,

como queria provar. \qquad\blacktriangleleft

Nota do tradutor: corrigida “circunferência” em vez de “círculo”

Observação: pode ver outro método de cálculo, utilizando complexos, de \cos \left(\dfrac{2\pi}{5}\right) nesta entrada.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Construção do Pentágono Regular

  1. Anónimo diz:

    ow meu q coisa dificil

  2. Aproveito este comentário para dizer que a justificação trigonométrica que apresento é uma consequência das relações geométricas que se estabelecem na figura acima.

    Se as tivesse indicado, a justificação ficaria um pouco maior, mas confinada à Geometria.

  3. Anónimo diz:

    você é “O” cara!

  4. Cássia diz:

    é muito dificil mesmo, aproveitando gostaria de saber se você não poderia estar passando para mim alguns calculos no pentagono, preciso fazer um trabalho sobre calculos no pentagono, mas já pesquisei em varios lugares e estou tendo dificuldade de encontrar, se puder me ajudar agradeço!

    Obrigada desde já.

    • Cássia,

      Pelo seu comentário penso que o melhor é procurar um texto didático de geometria que descreva as propriedades do pentágono regular e lhe ensine a calcular a área, o apótema, o raio do círculo que passa pelos vértices, etc.

      Neste blogue pode ver, por exemplo, um problema sobre a relação entre a área de um pentágono regular e a do círculo circunscrito, mas deve ser de um nível superior ao que pretende.
      Pode encontrar este problema na página “Caderno“, ponto 15.1 do documento em pdf.

  5. Nynha diz:

    oi ,vc foi uma mão na roda pra mim tinha uma pesquisa sobre PENTÁGONO e não tinha minima ideia até que pesquisei nesse site ….
    valeu e muitissimo obrigado….

  6. leide daiana diz:

    cara , isso eh mto dificil , mais vale a pena.

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