Problema das Olimpíadas: o comprimento de um comboio (XXIV OPM)

Nuno Crato , na sua coluna do “Expresso”, Passeio Aleatório, na pág. 85 da Única, 14 Abril 2006, deu conta do seguinte problema que apareceu nas provas das Olimpíadas Portuguesas destinadas aos alunos do Básico e do Secundário:
«O Alexandre e o Herculano estão na Estação de Campanhã à espera do comboio. Para se entreterem, decidem calcular o comprimento de um comboio de mercadorias que passa pela estação sem alterar a velocidade. Quando a frente do comboio passa por eles, o Alexandre começa a andar no sentido oposto. Os dois caminham à mesma velocidade e cada um deles pára no momento em que se cruza com o fim do comboio. O Alexandre andou 45 metros e o Herculano 30. Qual o comprimento do comboio?»

Resolução

Designemos por o comprimento do comboio (em metros) que pretendemos calcular; por e as velocidades, respectivamente, do comboio e do Alexandre (ou do Herculano, igual pelo enunciado). No intervalo de tempo  que decorre desde o momento em que o Herculano começa a andar até que pára, o combóio andou metros à velocidade e o Herculano à velocidade . Assim,

ou seja, dividindo a segunda equação pela primeira

Enquanto o Alexandre anda metros num intervalo de tempo , desde que inicia o movimento até que pára, o comboio anda metros:

logo, temos

Igualando as duas equações que exprimem , chegamos à equação

que resolvida dá

Por conseguinte, o comprimento do comboio é de m.

Embora neste artigo “Desafios da Matemática” Nuno Crato não indique a solução, pergunta, “Será que o comboio mede, em metros, uma vez e meia o número de maneiras distintas de colocar cinco pessoas na fila do autocarro?”

Verifiquemos: o número de maneiras distintas nas condições especificadas é ; e . A resposta é, pois, “sim”.

Nuno Crato sublinha que há muitos métodos de resolução deste problema. Qual é o seu?

Variante à resolução indicada acima: Seja o comprimento do comboio. O comboio anda, respectivamente, e metros, enquanto o Alexandre e o Herculano caminham e metros (a velocidade constante e igual). Sendo a velocidade do comboio constante, a distância que percorre é directamente proporcional à distância andada por um e por outro:

que é  equivalente à equação estabelecida acima.

Resolução publicada pela SPM: O Alexandre andou mais metros do que o Herculano e, no período de tempo que o Alexandre demorou a percorrer esses metros, o comboio andou metros.
Portanto, no mesmo período de tempo, o comboio percorre vezes mais metros do que cada um dos rapazes. Assim, enquanto o Herculano andou metros, o comboio andou metros. Como o Herculano começou a andar quando foi passado pela frente do comboio, parou quando se cruzou com o fim do comboio e andou metros no sentido oposto, então o comboio tem metros de comprimento.

Edição de 24-02-2008: acrescentados links e “das XXIV OPM” no título.

Edição de 3-10-2008: alterado novamente o título.

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