Problema das Olimpíadas: o comprimento de um comboio (XXIV OPM)

Nuno Crato , na sua coluna do “Expresso”, Passeio Aleatório, na pág. 85 da Única, 14 Abril 2006, deu conta do seguinte problema que apareceu nas provas das Olimpíadas Portuguesas destinadas aos alunos do Básico e do Secundário:
«O Alexandre e o Herculano estão na Estação de Campanhã à espera do comboio. Para se entreterem, decidem calcular o comprimento de um comboio de mercadorias que passa pela estação sem alterar a velocidade. Quando a frente do comboio passa por eles, o Alexandre começa a andar no sentido oposto. Os dois caminham à mesma velocidade e cada um deles pára no momento em que se cruza com o fim do comboio. O Alexandre andou 45 metros e o Herculano 30. Qual o comprimento do comboio?»

Resolução

Designemos por L o comprimento do comboio (em metros) que pretendemos calcular; por V e v as velocidades, respectivamente, do comboio e do Alexandre (ou do Herculano, igual pelo enunciado). No intervalo de tempo t que decorre desde o momento em que o Herculano começa a andar até que pára, o combóio andou L-30 metros à velocidade V e o Herculano 30 à velocidade v. Assim,

30=vt

L-30=Vt

ou seja, dividindo a segunda equação pela primeira

\displaystyle\frac{V}{v}=\frac{L-30}{30}

Enquanto o Alexandre anda 45 metros num intervalo de tempo t\prime , desde que inicia o movimento até que pára, o comboio anda L+45 metros:

45=vt\prime

L+45=Vt\prime

logo, temos

\displaystyle\frac{V}{v}=\frac{L+45}{45}

Igualando as duas equações que exprimem V/v, chegamos à equação

\displaystyle\frac{L-30}{30}=\frac{L+45}{45}

que resolvida dá

L=180

Por conseguinte, o comprimento do comboio é de 180 m. \qquad\blacktriangleleft

Embora neste artigo “Desafios da Matemática” Nuno Crato não indique a solução, pergunta, “Será que o comboio mede, em metros, uma vez e meia o número de maneiras distintas de colocar cinco pessoas na fila do autocarro?”

Verifiquemos: o número de maneiras distintas nas condições especificadas é 5!=120; e 120\times1,5=180. A resposta é, pois, “sim”.

Nuno Crato sublinha que há muitos métodos de resolução deste problema. Qual é o seu?

Variante à resolução indicada acima: Seja L o comprimento do comboio. O comboio anda, respectivamente, L+45 e L-30 metros, enquanto o Alexandre e o Herculano caminham 45 e 30 metros (a velocidade constante e igual). Sendo a velocidade do comboio constante, a distância que percorre é directamente proporcional à distância andada por um e por outro:

\displaystyle\frac{L+45}{L-30}=\dfrac{45}{30}

que é  equivalente à equação estabelecida acima.

Resolução publicada pela SPM: O Alexandre andou mais 45-30=15 metros do que o Herculano e, no período de tempo que o Alexandre demorou a percorrer esses 15 metros, o comboio andou 45+30=75 metros.
Portanto, no mesmo período de tempo, o comboio percorre 75/15=5 vezes mais metros do que cada um dos rapazes. Assim, enquanto o Herculano andou 30 metros, o comboio andou 30\times 5=150 metros. Como o Herculano começou a andar quando foi passado pela frente do comboio, parou quando se cruzou com o fim do comboio e andou 30 metros no sentido oposto, então o comboio tem 150+30=180 metros de comprimento.

Edição de 24-02-2008: acrescentados links e “das XXIV OPM” no título.

Edição de 3-10-2008: alterado novamente o título.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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