Expoente do factor 2 na factorização em primos de um número racional

Determine o expoente de 2 na factorização em números primos de

\displaystyle x=\dfrac{N}{D},

 sendo N=\dbinom{5}{2}^{2} e D=2^{3}\dbinom{3}{2}\dbinom{5}{3}.

Relembramos que o coeficiente binomial \displaystyle \dbinom{n}{p}=^{n}C_{k}=\frac{n!}{(n-p)! p! }

Resolução

 Chamemos ao expoente de 2 (na factorização em números primos) de N

e_2 (N)

e ao de D

e_{2} (D).

e, em geral,

e_{p}(m),

ao expoente do primo p na factorização em números primos do número racional m.

Ora,

\displaystyle e_{2}(N)=2 \displaystyle e_{2}\left(\binom{5}{2}\right)

e

\displaystyle e_{2}(D)=3 \displaystyle e_{2}\left( 2\right) +e_{2}\left(\binom{3}{2}\right) +e_{2}\left( \binom{5}{3}\right)

pelo que

e_{2}\left( x\right) =e_{2}(N)-e_{2}(D)

= \displaystyle 2e_{2}\left( \binom{5}{2}\right) -3e_{2}\left( 2\right)- e_{2}\left( \binom{3}{2}\right) -e_{2}\left( \binom{5}{3}\right)= \displaystyle 2e_{2}\left( \dfrac{5\cdot 4}{2}\right) -3\cdot 1-e_{2}\left( 3\right)- e_{2}\left( \dfrac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2}\right)\displaystyle= 2e_{2}\left( 5\right) +2e_{2}\left( 4\right)- 2e_{2}\left( 2\right) -3-e_{2}\left( 5\right)- e_{2}\left(4\right)\displaystyle- e_{2}\left( 3\right)+ e_{2}\left( 3\right)+ e_{2}\left( 2\right)= 2\cdot 0+2\cdot 2-2\cdot 1-3-0-2+1=4-2-3-2+1= -2 \qquad\blacktriangleleft

Confirmemos. De

x \displaystyle= \displaystyle\frac{\dbinom{5}{2}^{2}}{2^{3}\dbinom{3}{2}\binom{5}{3}}\displaystyle= \displaystyle\frac{2^{2}\cdot5^{2}}{2^{3}\cdot 5\cdot 2\cdot 5}=\dfrac{5}{2^{2}3},

 e, porque 2 aparece no expoente de 2 no denominador,

\displaystyle e_{2}\left(2^{-2}3^{-1}5\right)= -2.

E também se vê imediatamente que

\displaystyle e_{p}\left( 2^{-2}3^{-1}5\right) = 0,

para qualquer primo p  maior ou igual a 7.
 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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