Aplicação do Teorema de Legendre: número de zeros finais de 50!

Em quantos zeros termina o número $50!$ ?

Resolução

Como $10=2\cdot 5$ , não havendo outra factorização possível, calculamos os expoentes de $2$ e de $5$ da factorização do número $50!$ , utilizando o teorema de Legendre .

Assim é

Expoente de $2$ : $\displaystyle\sum_{i\geq 1}\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\rfloor$ $\displaystyle=\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2}\displaystyle\rfloor+\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{2}}\displaystyle\rfloor$ $+\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{3}}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{5}}\displaystyle\rfloor$ $=25+12+6+3+1=47$ .

Expoente de $5$ : $\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5^{i}}\displaystyle\rfloor$ $\displaystyle=\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\displaystyle\rfloor =10+2=12$ .

Visto que

$50!=2^{47}\cdot 5^{12}m$ ,

em que $m$ não é múltiplo de $2$ nem de $5$ , o número $50!$ termina em $12$ zeros. $\qquad\blacktriangleleft$

Uma resposta a Aplicação do Teorema de Legendre: número de zeros finais de 50!

Diego de Sousa Rodrigues Diego Rodrigues diz:

29 de Março de 2020 às 00:59

Excelente aplicação! Acredito que o número de zeros sempre será o expoente de $5$ na fatoração, correto?

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