Aplicação do Teorema de Legendre: número de zeros finais de 50!

Publicado em 22 de Outubro de 2007 por Américo Tavares

Em quantos zeros termina o número 50! ?

Resolução

Como 10=2\cdot 5,  não havendo outra factorização possível, calculamos os expoentes de 2 e de 5 da factorização do número 50!, utilizando o teorema de Legendre .

Assim é

Expoente de 2: \displaystyle\sum_{i\geq 1}\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\rfloor \displaystyle=\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2}\displaystyle\rfloor+\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{2}}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{3}}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{2^{5}}\displaystyle\rfloor=25+12+6+3+1=47.

Expoente de 5: \displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5^{i}}\displaystyle\rfloor\displaystyle=\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5}\displaystyle\rfloor +\displaystyle\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\displaystyle\rfloor =10+2=12.

Visto que

 50!=2^{47}\cdot 5^{12}m,

 em que m não é múltiplo de 2 nem de 5 ,  o número 50! termina em 12 zeros. \qquad\blacktriangleleft

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Aplicação do Teorema de Legendre: número de zeros finais de 50!

  1. Diego de Sousa Rodrigues Diego Rodrigues diz:
    29 de Março de 2020 às 00:59

    Excelente aplicação! Acredito que o número de zeros sempre será o expoente de $5$ na fatoração, correto?

    Responder

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