Fórmula ou teorema de Legendre

Publicado em 21 de Outubro de 2007 por Américo Tavares

Qualquer que seja o inteiro positivo n, o expoente do número primo p na decomposição em números primos  de n! é igual a

\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^i}\right\rfloor

Demonstração:

Os números compreendidos entre 1 e n que são divisíveis por p^i são da forma p^i m, em que m é um inteiro positivo que não é múltiplo de p e p^i m \leq n. E, como

 \displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{k}\right\rfloor

 é o número de inteiros entre 1 e n que são divisíveis por k, \displaystyle\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor  é, então, o número desses inteiros que são divisíveis por p^i. O expoente do primo p na factorização em números primos do número n! obtém-se somando ao número dos inteiros entre 1 e n que são divisíveis por p, os que são divisíveis por p^2, por p^3 ou por por qualquer outra potência inteira de p, o que dá a fórmula acima. Como, para p^i > n, \displaystyle\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor=0,  a soma, formalmente com infinitos termos, termina a partir de um certo valor de i. Qual? De p^i\leq n, conclui-se que i\leq\displaystyle\frac{\log n}{\log p}.  \qquad \blacksquare

ADENDA: veja aqui uma aplicação deste teorema.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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