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O liceu onde andei estava organizado em três ciclos: 1.º,2.º e 3.º, respectivamente com dois, três e dois anos. Antes de entrarmos no liceu andávamos na escola primária, da 1.ª à 4.ª classe. Os actuais 1.º, 2.º, 3.º e 4.º anos  podemos dizer que correspondem, em número de anos, respectivamente à 1.ª, 2.ª. 3.ª e 4.ª classes.
Na mesma base a correspondência entre os anos do liceu e os actuais 2.º e 3.º ciclos do Ensino Básico e do Ensino Secundário é:
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Liceu  – Actualmente
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1.º ———-  5.º
2.º ———-  6.º
3.º ———-  7.º
4.º ———- 8.º
5.º ———- 9.º
6.º ——— 10.º
7.º ——— 11.º
 

 Eis um exemplo de um teste, designado, na altura, por ponto

 

Enunciado 6.º 1967.02.17

Enunciado 6.º 1967.02.17

 

 

 

 

 

 

Resolução 6.º 1967.02.17 - 1.ª página

 Resolução 6.º 1967.02.17 – 1.ª página

* * *

Exemplo de um exercício de preparação do 2.º ciclo (5.º ano do liceu) da  Porto Editora - Fluminense de 1965-66

Exercício de Matemática do 5.º ano - para preparação - 1965-66 frente

Exercício de Matemática do 5.º ano - para preparação - 1965-66 frente

 

Exercício de Matemática do 5.º ano - para preparação - 1965-66 verso
Exercício de Matemática do 5.º ano – para preparação – 1965-66 verso

Soluções do Exercício

Soluções do Exercício

 

5.º Ano

10-11-1965

I

Torne irredutíveis as seguintes fracções:

a)

\dfrac{a^{-1}x-c^{-2}x+2a^{-1}y-2c^{-2}y}{c^{2}-a}

b)

\dfrac{65\cdot a^2\cdot x^{-3}\cdot y^{-4}}{13\cdot a^{-1}\cdot x^2\cdot y}

II

a) Efectue as seguintes operações e simplifique os resultados:

\left( \dfrac{x-1}{a-1}\right) ^{-2}\cdot \left( \dfrac{x-1}{x+1}\right) ^{2}\cdot \left( \dfrac{x+1}{a+1}\right) ^{2}

b) Calcule o valor numérico da expressão

\dfrac{a^{-2}+b^{-1}}{2a^{-1}\cdot b}

para  a=-1 e  b=2

III

Efectue as operações e simplifique os resultados:

a) 

5\sqrt{x}-14\sqrt[4]{x^{2}}+8\sqrt[6]{64x^{3}}

b)

\dfrac{3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}:2}{\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{8}-\sqrt{18}}

c)

\dfrac{\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}}{\sqrt{a^{-1}\sqrt{a}}}

d) Substitua a expressão dseguinte por outra equivalente, mas com denominador racional.

\dfrac{x\sqrt{2}+2\sqrt{x}}{x\sqrt{2}-2\sqrt{x}}

* * *

16-3-1966 

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

 

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

* * *

6.º Ano

18-11-1966

I

Se for x=2,394... e y=0,213..., calcular por defeito e por excesso o produto x\cdot y. Até que a aproximação merecem confiança os resultados? A quantas milésimas é inferior o erro dos valores obtidos?

II

a) Calcule na forma a+bi o valor da expressão:

\dfrac{\left( 2+\sqrt{-2}\right) ^{4}}{1+i}

b) Efectue as operações indicadas na expressão seguinte, apresentando o resultado na forma a+bi

\dfrac{i^{17}+3i^{8}}{3-i}

c) Demonstre que o produto dos números \alpha\cdot\beta é zero quando nulo é pelo menos um dos factores.

d) Demonstre que a soma de dois infinitésimos é um infinitésimo.

III

Considere a função real de variável real

y=\dfrac{3+x}{\sqrt{x^2-4}}

a) Classifique a função.

b) Determine o du domínio de existêcia.

c) Determine  o zero da função.

d) Determine a função inversa da função dada.

IV

a) No \triangle \left[ ABC\right] , rectângulo em N,BC=8, AC=x e a projecção de AB sobre BC é y. Exprima y como função de x .

b) Dada a função y=-2x+7 determinar o intervalo no qual o módulo da função é melhor que 0,01

* * *

 25-11-1966

I

a) Calcule \dfrac{2i^9+5i^{10}}{i^{43}-i^0}

b) Considere: a=2,012\dots b=1,457\dots

Calcule a\cdot b com o maior número possível de algarismos exactos. Calcule o limite superior do erro que se comete ao tomar para valor de a\cdot b o número considerado.

II

Considere a função:

y=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x}

a) Calcule o domínio da função.

b) Calcule a função inversa.

c) Defina função inversa de uma dada função.

III

a) Represente graficamente a função:

f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc}x-2 & \text{para valores de} & x<2 \\ 1 & \text{para valores de} & x=2 \\ 2-x & \text{para valores de} & x>2\end{array}\right.

b) Diga em que intervalo é crescente a função considerada na alínea anterior e justifique.

IV

a) Diga quando é que a variável U_n é um infinitamente grande. Dê um exemplo.

b) Demonstre que: se U_n é um infinitamente grande \dfrac{1}{U_n} é um infinitésimo.

V

Um quadro de lado x está inscrito num círculo. Exprima como função de x a área y do círculo.

17-2-1967

I TEORIA

1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é  contínua nesse ponto.

2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).

3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções  parcelas não  tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.

II PRÁTICA

1) Aplicando a definição  de derivada, calcule a derivada da função

y=5x^{2}-2x

2) Calcule os limites laterais da função

Y=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x^{2}-x}

para x=0; e conclua daí  se a função é  ou não  contínua  no ponto zero.

3) Um rectângulo está  inscrito num semicírculo de raio fixo, r. Exprimir a área, A, do rectângulo, como funções  da base, x. Determine o valor de x para o qual a área é  máxima.

* * *

8-3-1967

1) Considere a função de variável real x definida pela fórmula

f(x)=x^r-3x-2

a) Prove que f(-1) é um máximo relativo da função.

b) Calcule \underset{x\rightarrow -1}{\lim }\dfrac{f(x)}{f^{\prime }(x)}

2) Derive as seguintes funções

a) y=\dfrac{2x^3-3}{1-2x}

b) y=\dfrac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}}

c) y=\sqrt[5]{\dfrac{x}{x-1}}

3) Dentre os triângulos rectângulos cuja hipotenusa mede 8 metros qual é aquele que tem a área máxima.

 

 

7.º Ano

1968, Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada

I

1 — Para cada valor do parâmetro real m a expressão

f(x)\equiv\dfrac{x^2-3x+m}{x^3+3}

define uma função real de variável real x.

a) Aplicando directamente a definição de continuidade mostre que f(x) define uma função contínua em todo o campo real, qualquer que seja o valor atribuído a m.

b) Determine os valores de m para os quais o gráfico de f(x) não intersecta o eixo dos x.

c) Determine os máximos e mínimos relativos da função definida por f(x), quando m=0.

2 — Calcule quantos números ímpares, de cinco algarismos diferentes, é possícel escrever com os elementos do seguinte conjunto: \left\{ 2,3,4,5,6,7,8\right\} .

3 — Considere a equação ax^4+bx~2+c=0, com a\neq0. Demonstre que o produto das raízes desta equação é igual a \dfrac{c}{a}.

4 — Determine os intervalos de números reais x, tais que

\log_10\left( \dfrac{1}{x+1}-x\right) \ge 0

II

1 — Sabendo que \alpha é um ângulo do 2.º quadrante e que

\alpha\left( \dfrac{9}{2}\pi -\alpha\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, calcule \tan (\pi +\alpha )

2 — Resolva a equação trigonométrica, \sin (5x)+\sin x=\sin (3x)

3 — Para determinar \overline{FF^{\prime }} (altura de um farol) fizeram-se as seguintes medições:

Figura Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada, 1968

Figura Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada, 1968

Comprimento de \overline{AB} : 20 metros

Amplitude do \measuredangle F\prime BF:30{{}^o}

Amplitude do \measuredangle F\prime AF:\alpha {{}^o}

Sabendo que \overline{F'B} é horizontal, determine o comprimento h de \overline{FF^{\prime }} em função de \alpha.

III

1 — Dados os pontos A\equiv (1,3) e B\equiv (-1,-3)

a) Escreva a equação reduzida da recta AB e determine uma equação de cada uma das bissectrizes dos ângulos formados pela recta AB e pelo eixo das abcissas.

b) Escreva uma equação da circunferência de diâmetro \overline{AB} e determine uma equação da tangente a essa circunferência no ponto onde ela intersecta a bissectriz do 1.º quadrante.

IV

1 — Indique dois axiomas que definam a adição de números naturais e represente, simbolicamente, as seguintes propriedades desta operação:

Comutatividade, associatividade, monotonia, lei do corte.

2 — Determine o menor número com doze divisores, primo com 35.

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