NOTAÇÃO

Fim de demonstração

\blacksquare ou \square

Fim da resolução de um problema ou exemplo

\blacktriangleleft

Início da explicação de um exemplo

\blacktriangleright

Factorial de n

n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times \left( n-1\right) \times n

Coeficiente binomial \displaystyle\dbinom{n}{k}=^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!\left( n-k\right) !}=\dfrac{n\left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdots \left( n-k+1\right) }{k!}

Parte inteira (maior  inteiro menor ou igual a)  de x

\displaystyle\lfloor x \rfloor

Divide ( p divide q ou q é múltiplo de p )

\mid Exemplo:  p\mid q

Somatório (uma soma com um número finito de parcelas)

\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{m\leq i\leq n}a_{i}= a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n}

Função trigonométrica seno de x

\text{sen}\; x ou \sin x

Inclusão (elemento de, pertence); exemplo: x é real

x\in\mathbb{R}

Diferença entre; exemplos:

F\left( x\right) |_{a}^{b}=F\left( b\right) -F\left( a\right) ou \left[ F(x)\right] _{a}^{b}=F\left( b\right) -F\left( a\right)

a_{i}|_{m}^{n}=a_{n}-a_{m}

Limites; exemplos:

\displaystyle\lim_{x \to a}f (x)

\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_n

Integral (ou Primitiva)

\displaystyle\int ou P

Norma da função real f(x)

||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=(f\cdot f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

Produto interno de duas funções complexas f,g

(f,\overline{g})=(f\cdot\overline{g})=\displaystyle\int_I f(x)\overline{g(x)}\;dx                

Norma da função complexa f

||f||=(f,\overline{f})=(f\cdot\overline{f})=\displaystyle\int_I f(x)\overline{f(x)}\;dx

Valorção p-ádica  de n

v_{p}(n)

Fracções contínuas

A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

 

FORMULÁRIO

Aqui aparecerão várias fórmulas úteis para mim e espero que também para os meus leitores.

Equações cúbicas 

ax^3+bx^2+cx+d=0 (com a\neq0)

Estas equações podem ser transformadas numa equação do tipo

x^3+px+q=0,

dividindo ambos os membros por a e substituindo x por x+h, com

 h=-\displaystyle\frac{b}{3a}.

Uma solução (da equação simplificada) é:

x\displaystyle =\left(-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right)^{1/3}+\displaystyle\left(-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right)^{1/3}

  

Do 12.º ano

 

Derivadas

derivadas

De FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

Mais derivadas

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)

 \left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left( \dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left( \dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left( \dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left( \dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}

 \left( x^{x}\right) ^{\prime }=\left( 1+\ln x\right) x^{x}

\dfrac{d}{dt}\left( \displaystyle\int_{u(t)}^{v(t)}f\left( x,t\right) dx\right) =

 =\displaystyle\int_{u\left( t\right) }^{v\left( t\right) }\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx+f\left( v\left( t\right) ,t\right) v^{\prime }\left( t\right) -f\left( u\left( t\right) ,t\right) u^{\prime}\left( t\right)

\dfrac{d}{dt}\left( \displaystyle\int_{a}^{b}f\left( x,t\right) dx\right) =\displaystyle\int_{a}^{b}\dfrac{\partial f\left( x,t\right) }{\partial t}dx 

  

Primitivas Imediatas

primitivas

 De AGUDO, Dias e SILVA, Cândido, Matemáticas Gerais, Cálculo Integral, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1965.

Matemática discreta

\bigskip

\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=m}^{n}A_{i+1}-A_{i}=A_{n+1}-A_{m}

\displaystyle\sum_{i=m}^{n-1}a_{i}=\sum_{i=m}^{n-1}A_{i+1}-A_{i}=A_{n}-A_{m}

\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{i=m}^{n}A_{i}-A_{i+1}=A_{m}-A_{n+1}

\displaystyle\sum_{i=m}^{n-1}a_{i}=\sum_{i=m}^{n-1}A_{i}-A_{i+1}=A_{m}-A_{n}

\displaystyle\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}

\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n}

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dbinom{i}{1}+2\dbinom{i}{2}=\sum_{i=1}^{n}i^{2}

 \displaystyle\sum_{i=r}^{n}\dbinom{i}{r}=\dbinom{n+1}{r+1}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i^{2}=\displaystyle\frac{\left( n+1\right) n\left( 2n+1\right) }{6}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}i=\displaystyle\frac{n\left( n+1\right) }{2}

\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=m_{0}}^{m}\displaystyle\sum_{i=n_{0}}^{n}a_{ij}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\sum_{i=0}^{n}a_{ij}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=i}^{n}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{j}a_{ij}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\displaystyle\sum_{j=0}^{i}a_{ij}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=j}^{n}a_{ij}

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\sum_{k=0}^{i}\dbinom{i}{k}\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{k}=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^{2}\dbinom{n+k}{k}^{2}.

Teoria dos Números

Expoente do número primo p na decomposição em números primos  de n!:

 \displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^i}\right\rfloor

Dilogaritmo e função zeta \zeta(n)

Li_{2}\left( 1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{2}}=\zeta \left( 2\right) =\dfrac{\pi ^{2}}{6}

Li_{2}\left( x\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{x^{k}}{k^{2}}

Li_{2}\left( -1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{2}}=-\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{2}}=-\dfrac{1}{2}\zeta \left( 2\right) =-\dfrac{\pi ^{2}}{12}

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{n}}=\zeta \left( n\right) \left( 1-2^{1-n}\right)

\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}}{k^{2}}=\dfrac{1}{2}\zeta\left( 2\right)

v_{p}\left( \dbinom{n}{k}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor \log_{p}(n)\right\rfloor }\underset{0\text{ ou }1}{\underbrace{\left( \left\lfloor \dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{k}{p^{i}}\right\rfloor -\left\lfloor \dfrac{n-k}{p^{i}}\right\rfloor \right) }}\leq\left\lfloor \log _{p}(n)\right\rfloor

 

Métodos Numéricos

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Em geral, para o inteiro i=2,3,4\ldots obtemos, por este método, a aproximação

x_{i+1}=x_{i}-f\left( x_{i}\right) \times\dfrac{x_{i}-x_{i-1}}{f\left( x_{i}\right) -f\left( x_{i-1}\right) }

Método de Newton  de determinação da raiz de uma equação não linear

Em geral, para o inteiro i=1,2,3,\ldots obtemos, por este método, a aproximação

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }