Nesta página tenciono agrupar os problemas juntamente com os links para as resoluções do que dei o nome de Problema do mês, possivelmente seis por ano. A versão pdf encontra-se a seguir.

It is my intention to group here the problems together with the solutions links of what I called Problem of the month, likely six a year.  The pdf version is this one

  problemas|teoremas Problemas do mês :: Problems of the month, September 10, 2009   .

As resoluções seleccionadas não são necessariamente as de maior qualidade matemática.

Selected resolutions are not necessarily the ones that have the best mathematical quality.

 

#1

Enunciado do Problema

Seja m o maior inteiro positivo tal que \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}. Determine, justificando, um majorante de m.

  • Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
  • Sairá vencedora a melhor estimativa justificada.
  • Afirmação não demonstrada: 10 é um majorante de m. Encontre um mais pequeno.
  • O prazo limite para apresentar resoluções é 19.07.2009.

RESOLUÇÃO

Problem Statement

Let m be the greatest positive integer such that \dfrac{1}{13^m}\dbinom{13^5}{3^7}\in\mathbb{N}. Find with proof an upper bound for m.

  • Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
  • The best justified estimate will win.
  • Claim: 10 is an upper bound for m. Find a smaller one.
  • The deadline for submitting solutions is July 19, 2009.

 SOLUTION

#2

Enunciado do Problema

Admita que n=1,2,3,\dots . Seja x\ge 0 um número real, \dbinom{x}{0}=1 e \dbinom{x}{n}=\dfrac{x\left( x-1\right) \cdots\left( x-n+1\right) }{n!}. Deduza a identidade \dbinom{x}{n}+\dbinom{x}{n-1}=\dbinom{x+1}{n}.

  • O prazo limite para apresentação das resoluções é 9.09.2009, quer via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

RESOLUÇÃO

Problem Statement

Suppose that n=1,2,3,\dots . Let x\ge 0 be a real number, \dbinom{x}{0}=1 and \dbinom{x}{n}=\dfrac{x\left( x-1\right) \cdots\left( x-n+1\right) }{n!}. Derive the identity \dbinom{x}{n}+\dbinom{x}{n-1}=\dbinom{x+1}{n}.

  • The deadline for submitting solutions is September 9, 2009 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.

SOLUTION