7.º ano do liceu

1968, Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada

I

1 — Para cada valor do parâmetro real m a expressão

f(x)\equiv\dfrac{x^2-3x+m}{x^3+3}

define uma função real de variável real x.

a) Aplicando directamente a definição de continuidade mostre que f(x) define uma função contínua em todo o campo real, qualquer que seja o valor atribuído a m.

b) Determine os valores de m para os quais o gráfico de f(x) não intersecta o eixo dos x.

c) Determine os máximos e mínimos relativos da função definida por f(x), quando m=0.

2 — Calcule quantos números ímpares, de cinco algarismos diferentes, é possícel escrever com os elementos do seguinte conjunto: \left\{ 2,3,4,5,6,7,8\right\} .

3 — Considere a equação ax^4+bx~2+c=0, com a\neq0. Demonstre que o produto das raízes desta equação é igual a \dfrac{c}{a}.

4 — Determine os intervalos de números reais x, tais que

\log_{10}\left( \dfrac{1}{x+1}-x\right) \ge 0

II

1 — Sabendo que \alpha é um ângulo do 2.º quadrante e que

\alpha\left( \dfrac{9}{2}\pi -\alpha\right)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}, calcule \tan (\pi +\alpha )

2 — Resolva a equação trigonométrica, \sin (5x)+\sin x=\sin (3x)

3 — Para determinar \overline{FF^{\prime }} (altura de um farol) fizeram-se as seguintes medições:

Figura Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada, 1968

Figura Prova escrita de Matemática do 3.º Ciclo do Ensino Liceal, 2.ª chamada, 1968

Comprimento de \overline{AB} : 20 metros

Amplitude do \measuredangle F\prime BF:30{{}^o}

Amplitude do \measuredangle F\prime AF:\alpha {{}^o}

Sabendo que \overline{F'B} é horizontal, determine o comprimento h de \overline{FF^{\prime }} em função de \alpha.

III

1 — Dados os pontos A\equiv (1,3) e B\equiv (-1,-3)

a) Escreva a equação reduzida da recta AB e determine uma equação de cada uma das bissectrizes dos ângulos formados pela recta AB e pelo eixo das abcissas.

b) Escreva uma equação da circunferência de diâmetro \overline{AB} e determine uma equação da tangente a essa circunferência no ponto onde ela intersecta a bissectriz do 1.º quadrante.

IV

1 — Indique dois axiomas que definam a adição de números naturais e represente, simbolicamente, as seguintes propriedades desta operação:

Comutatividade, associatividade, monotonia, lei do corte.

2 — Determine o menor número com doze divisores, primo com 35.

7 respostas a 7.º ano do liceu

  1. Paula Figueiredo diz:

    Boa tarde
    Tenho muita curiosidade em rever o exame de matemática do meu 7º ano do liceu. Alguém, por acaso, me sabe dizer onde posso, se é que é possível, encontrar exames da década de 70, mais especificamente 1978?
    Muito obrigada
    Paula

  2. Boa tarde!

    Desconheço. Mas talvez tentar no Ministério da Educação. A Professora Mária Almeida, segundo o Expresso de 18 do corrente recolheu e estudou exames da década de 50, 60 e princípios da 70. Pode ver este seu comentário.

  3. Paula Figueiredo diz:

    Boa noite
    Desde já muito obrigada pela pronta resposta.
    Vou tentar seguir o seu conselho. Desde sempre gostei muito de matemática e ao ajudar os meus filhos e sobrinhos fico sempre curiosa em fazer a comparação com os exames do meu tempo.
    Já agora aproveito para lhe fazer um pergunta, peço desculpa pelo abuso, mas será que me pode aconselhar onde arranjar manuais com exercicios de 12º ano com um grau de dificuldade maior, para assim ajudar a preparar os meus sobrinhos,e já agora, para eu evoluir também, pois como disse no inicio,gosto muito de matemática e estou sempre à procura de novos desafios.
    Será que é melhor procurar manuais antigos?
    Estive a tentar resolver o exame que o Sr. colocou de 1968 e sinceramente tive dificuldades principalmente na 2 e 3 do 2º grupo.
    Mais uma vez muito obrigada
    Paula Figueiredo

    • Boa noite!

      Antigamente havia os exercícios dos próprios livros de Álgebra, Trigonometria, Geometria Analítica e Aritmética Racional, além dos dois livros de Exercícios conhecidos pelos “Palma Fernandes”, que era o autor e já publiquei neste blogue uma cópia das capas e uns poucos exercícios, como exemplo. Existiam ainda as colecções de preparação para o exame da Porto Editora.

      Actualmente, além dos livros, há as colecções dos exames e livros de preparação. Mas não sei quais são os que vão mais ao encontro do que pretende.

      Quanto à dificuldade que indica, concordo. E deve-se salientar que o exame era de 1h30, com tolerância de 30m. Mas também é verdade que a Trigonometria, embora só fosse ensinada no 6.º e 7.º (e não no 5.º), o livro de J. Jorge Calado fazia um tratamento exaustivo e muito aprofundado, muito mais do que actualmente. Além de não ser fornecido formulário e não existirem ainda as calculadoras.

      Embora possa tentar encontrar livros dessas décadas, no entanto penso que o melhor é procurar manuais actuais. Até por hoje fazerem parte do programa Estatística, Probabilidades e os Complexos terem um tratamento diferente.

    • Questão 2 de II

      Por aplicação da chamada fórmula de transformação logaritmica dos senos

      \sin p+\sin q=2\sin \dfrac{p+q}{2}\cdot \cos \dfrac{p-q}{2}

      a equação

      \sin (5x)+\sin (x)=\sin (3x)

      é equivalente a

      2\sin (3x)\cdot \cos (2x)=\sin (3x)

      ou a

      \left( 2\cos (2x)-1\right) \sin (3x)=0

      Os seus zeros são, portanto, os de

      \sin (3x)=0

      e de

      2\cos (2x)-1=0.

  4. Paula Figueiredo diz:

    Boa tarde
    Mais uma vez lhe agadeço a sua resposta.
    Quanto aos manuais, tem toda a razão tenho de usar manuais actuais para ajudar os meus sobrinhos pois o programa está muito diferente. De qualquer forma vou ver se encontro, em algum sitio, os antigos mais para me obrigar a exercitar coisas diferentes, mas que ainda estejam dentro dos meus limites! Tenho imensa pena de não ter guardado os meus manuais e exames…
    Quanto ao exercicio, muito obrigada por colocar a resolução, pois essa formula estava completamente esquecida! Assim ficou tudo mais fácil. No programa actual do 12º ano a abordagem às formulas trignométricas é, a meu ver, muito superficial e não falam dessa. Vou continuar a fazer o resto do exame.

    Muito obrigada
    Paula

  5. Maria Silva diz:

    Este é do meu tempo!

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