Os números de 2012

Posted on Janeiro 12, 2013 por

Os números deste blogue segundo o Annual Report da WordPress:

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Equação diferencial de uma curva de perseguição — problema

Posted on Novembro 30, 2012 por

A curva de perseguição ou do cão (em inglês pursuit curve ) é uma curva clássica que foi estudada, entre outros,  por Pierre Bouguer, em 1732. Consiste na trajectória descrita por um ponto chamado perseguidor que se move em cada instante em direcção a outro, o perseguido. A curva descrita por este é conhecida por curva de fuga, sendo uma recta, no caso mais simples, como é o do problema deste post. O móvel  perseguidor e o perseguido podem representar, por exemplo, um cão e um gato, um homem e um porco, como neste puzzle antigo  de Sam Loyd’s, dois aviões, navios, etc. Pode ver-se uma demonstração animada em Hundenkurven.

Na questão Cat Dog problem using integration de pokrate, no MSE, é enunciado o seguinte problema que parece ter aparecido numa competição (das Olimpíadas da Física, segundo esta questão de Physics Forums), mas não consegui confirmar, e que passo a traduzir:

« Um gato sentado num campo vê de repente um cão. Para se salvar o gato foge em linha recta à velocidade u. O cão começa logo a correr a uma velocidade constante v>u para caçar o gato. No instante inicial a distância que os separa é L e v é perpendicular a u. Se o cão mudar constantemente de direcção, de modo a que esteja sempre a apontar para o gato, determinar o tempo que demora a apanhá-lo, em termos de v,u e L. »

Eis uma tradução da solução que apresentei:

Admita-se que: (a) o cão parte do ponto S=(L,0) e o gato da origem O=(0,0); (b) o gato move-se no sentido positivo ao longo do eixo dos yy, e o cão descreve uma curva de perseguição C no plano xy. Seja y=f(x) a equação de C.

catdogpursuitcurvevectors

1. No instante t a tangente a C no ponto P(x,y) passa pelo ponto Q=(0,ut), o que significa que a derivada y^{\prime }=f^{\prime }(x)=dy/dx é

y^{\prime }=\dfrac{y-ut}{x}

Resolvendo em ordem a t obtemos

t=\dfrac{y-xy^{\prime }}{u}.

2. Seja s a distância percorrida pelo cão de S a P, ou seja o comprimento do arco SP medido ao longo de C. Como a fórmula do comprimento de um arco é o integral

s=\displaystyle\int_{x}^{L}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi=-\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi,

e s=vt, tem-se

t=\dfrac{s}{v}=-\dfrac{1}{v}\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi)\right) ^{2}}d\xi =\dfrac{y-xy^{\prime }}{u}.

Igualando as duas expressões de t será pois

-\dfrac{u}{v}\displaystyle\int_{L}^{x}\sqrt{1+\left( f^{\prime }(\xi )\right) ^{2}}d\xi=y-xy^{\prime }

3. Diferenciando ambos os membros e simplificando vem

\begin{aligned}-\dfrac{u}{v}\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}}&=\dfrac{d}{dx}\left(y-xy^{\prime }\right)\\-\dfrac{u}{v}\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}} &=y^{\prime }-\left(y^{\prime }+xy^{\prime\prime }\right)=-xy^{\prime\prime}, \end{aligned}

obtendo-se a seguinte equação diferencial

\boxed{\sqrt{1+\left( y^{\prime }\right)^{2}}=kxy^{\prime \prime }},\qquad k=\dfrac{v}{u}>1

4. Fazemos agora w=y^{\prime } e resolvemos em ordem a w, aplicando o método de separação de variáveis, pelo que teremos

\sqrt{1+w^{2}}=kxw^{\prime }=kx\dfrac{dw}{dx}\Leftrightarrow\dfrac{dw}{\sqrt{1+w^{2}}}=\dfrac{dx}{kx}.

Logo

\begin{aligned}\displaystyle\int\dfrac{dw}{\sqrt{1+w^{2}}}&=\displaystyle\int\dfrac{dx}{kx}+C\\\text{arcsinh }w&=\dfrac{1}{k}\ln x+\ln C_{1}\end{aligned}

As condições iniciais x=L,w=y^{\prime }(L)=0 determinam o valor da
constante de integração C_{1}

0=\dfrac{1}{k}\ln L+\ln C_{1}\Rightarrow C_{1}=e^{-\frac{1}{k}\ln L}

Consequentemente

\text{arcsinh }w=\dfrac{1}{k}\ln x-\dfrac{1}{k}\ln L=\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{x}{L}.

Resolvendo em ordem a w e exprimindo em termos de funções exponenciais, atendendo à definição de \sinh x=\dfrac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x}\right) , obtemos

\dfrac{dy}{dx}=w=\sinh\left(\dfrac{1}{k}\ln\dfrac{x}{L}\right) =\dfrac{1}{2}\left( \left(\dfrac{x}{L}\right)^{1/k}-\left(\dfrac{x}{L}\right)^{-1/k}\right)

Esta segunda equação diferencial  é facilmente integrável

\begin{aligned}y&=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\left( \dfrac{x}{L}\right) ^{1/k}-\left( \dfrac{x}{L}\right) ^{-1/k}dx\\&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{L}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{1-\dfrac{1}{k}}\right)+C\end{aligned}

Determinamos C através das condições iniciais x=L,y=0

\begin{aligned}0&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{L}{L}\right)^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{L}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{L}{L}\right)^{1-\dfrac{1}{k}}\right)+C\\&\Rightarrow C=\dfrac{Lk}{k^{2}-1}.\end{aligned}

Chegamos assim à equação da trajectória:

\boxed{y=\dfrac{L}{2}\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+1}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{\dfrac{1}{k}+1}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{k}}\left(\dfrac{x}{L}\right) ^{1-\dfrac{1}{k}}\right) +\dfrac{Lk}{k^{2}-1}}.

5. Para obter o tempo T que o cão demora a apanhar o gato, basta fazer x=0 nesta equação e atender a que que o gato percorre a distância y=f(0)=uT:

y=f(0)=\dfrac{Lk}{k^{2}-1}=\dfrac{L\dfrac{v}{u}}{\left(\dfrac{v}{u}\right)^{2}-1}=\dfrac{uv}{v^{2}-u^{2}}L=uT.

donde

\boxed{T=L\dfrac{v}{v^{2}-u^{2}}}.

* * *

Nota 1: pode verificar-se facilmente que o  comprimento da curva C é igual à soma dos comprimentos dos segmentos de recta SM e MR. O ponto M está situado a meio da distância do ponto  S à origem O.

catdogpursuitcurve2straightlines

Nota 2: se k\le 1 o perseguidor nunca apanha o perseguido, como pode ver nas animações de Hundenkurven.

Nota 3: os gráficos foram criados como tikzpictures, em \LaTeX. O código foi adaptado desta resposta de percusse a esta minha questão no TEX (tex.stackexchange).

–

Referências:

Michael Lloyd, Pursuit Curves

Pursuit curve, Wikipedia (inglês)

Radiodrome, Wikipedia (alemão)

Pursuit curve, MathWorld

Helmut Knaust, The Curve of Pursuit

Carl E Mungan, A classic chase problem solved from a physics perspective

Dennis G. Zill, Michael R. Cullen, Michael R. Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems, Exercise 5.17, p. 214

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Conferência da F C Gulbenkian — Trigamia Intelectual: Poincaré, Hamilton e Perelman

Posted on Novembro 7, 2012 por

Informação recebida por mail com pedido de divulgação:

« Temos o gosto de convidar V. Exa. para participar na conferência TRIGAMIA INTELECTUAL: POINCARÉ, HAMILTON E PERELMAN, que será proferida pelo Prof. Doutor ANDRÉ NEVES (do Imperial College) e terá lugar no auditório 2 da Fundação Calouste Gulbenkian, no dia 14 de Novembro, às 18h00.

Junto enviamos o resumo e o currículo do Prof. Doutor André Neves.

Poderá ter acesso a todas as informações relativas ao ciclo de conferências no site: http://www.gulbenkian.pt/matematica2012  e assistir em direto através do site www.livestream.com/fcglive.

http://www.facebook.com/servicodecienciafundacaocaloustegulbenkian »

Resumo

« Um dos maiores acontecimentos matemáticos dos últimos vinte anos foi a demonstração da Conjetura de Poincaré, um problema por resolver há mais de cem anos.

Após tentativas sem êxito de inúmeros matemáticos, Perelman, baseando-se num trabalho anterior de Richard Hamilton, conseguiu resolver o problema mais famoso na área da Geometria. Nesta palestra vamos tentar explicar, de forma acessível, as ideias principais da demonstração da Conjetura de Poincaré. »

Currículo

« André Arroja Neves nasceu em 1975, em Lisboa, e tem desenvolvido investigação na área da geometria diferencial e análise de equações com derivadas parciais. Atualmente é professor do Departamento de Matemática Pura, do Imperial College, em Londres. Iniciou a vida académica no Instituto Superior Técnico e obteve o doutoramento em Matemática na Stanford University, nos Estados Unidos, tendo posteriormente feito um pós-doutoramento na Princeton University, onde foi promovido a professor assistente.

Foi o primeiro matemático português a receber do European Research Council uma Starting Grant. Foi distinguido com outros prémios e bolsas, nomeadamente, pela National Science Foundation, pela Clay Mathematics Institution e pela Fundação Calouste Gulbenkian. Tem inúmeros artigos publicados, designadamente, no Annals of Mathematics e no Inventiones Mathematicae.»

________________
Informações | Serviço de Ciência | Fundação Calouste Gulbenkian
Av. de Berna 45 A, 1067-001 LISBOA
T. 21 782 35 25
E. matematica2012@gulbenkian.pt
W. http://www.gulbenkian.pt/matematica2012
F. http://www.facebook.com/servicodecienciafundacaocaloustegulbenkian

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“Isto é Matemática” todos os sábados, às 20h50, na SIC Notícias

Posted on Outubro 10, 2012 por

Recebido da SPM Comunicação:

“Isto é Matemática” estreia no próximo sábado, dia 13, na SIC Notícias

No próximo dia 13 de outubro, às 20h50, não perca na SIC Notícias a estreia do “Isto é Matemática“, um programa inovador e dinâmico, conduzido por Rogério Martins, que mostra de forma clara e surpreendente como a matemática faz parte de tudo aquilo que nos rodeia.

O “Isto é Matemática” será transmitido todos os sábados, às 20h50, com várias repetições ao longo da semana:

Domingos, às 08h50
Terças-feiras, às 15h50
Quartas-feiras, às 04h30
Sextas-feiras, às 09h50

Para ficar a par de todas as novidades, siga a página do programa no Facebook.

O “Isto é Matemática” é um projeto da Sociedade Portuguesa de Matemática, produzido pela Sigma 3, com o apoio do COMPETE e Ciência Viva.

PS.

Eis o 1.º vídeo

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Conjectura ABC

Posted on Outubro 2, 2012 por

Sobre a conjectura ABC divulgo o

Artigo de Miguel Abreu – Presidente da Sociedade Portuguesa de Matemática, publicado a 30 de Setembro de 2012, em “(Di)visões”, do Clube de Matemática:

«A conjectura ABC

Há precisamente 18 meses, no (Di)visões de Abril de 2011, escrevi sobre descobertas matemáticas, grandes matemáticos contemporâneos e os prémios que receberam. Disse na altura que todos os dias é “produzida” nova matemática e que “alguns destes desenvolvimentos acabam por estar na base de descobertas matemáticas mais significativas, que nos surpreendem, maravilham e abrem novas perspectivas.”
 
É possível que os 4 artigos científicos, totalizando cerca de 500 páginas e 4 anos de trabalho, que o matemático japonês Shinichi Mochizuki, do Instituto de Investigação em Ciências Matemáticas da Universidade de Kyoto, disponibilizou na sua página pessoal no passado dia 30 de Agosto, venham a constituir uma dessas descobertas matemáticas muito significativas. Nas palavras de Minhyong Kim, matemático da Universidade de Oxford citado num artigo do NY Times  de 17 de Setembro, Mochizuki criou um novo universo de objetos matemáticos que permite dizer coisas novas sobre o universo matemático usual. Uma dessas coisas é a primeira demonstração da famosa Conjectura ABC sobre propriedades dos fatores primos do produto abc, em que a, b e c são números inteiros primos entre si com a+b=c.
 
Não me é infelizmente possível dar aqui mais detalhes sobre esta conjectura. No entanto, para dar uma ideia da sua relevância, refiro que num artigo com o título “It’s as easy as ABC”, publicado em Novembro de 2002 nas Notices da American Mathematical Society, Andrew Granville e Thomas J. Tucker explicam como a Conjectura ABC, a ser verdadeira, implica vários dos resultados mais importantes na Teoria dos Números do século XX:

·       O Teorema de Roth que deu ao seu autor, Klaus Roth, a Medalha Fields em 1958.
·       O Teorema de Baker que deu ao seu autor, Alan Baker, a Medalha Fields em 1970.
·       O Teorema de Bombieri que deu ao seu autor, Enrico Bombieri, a Medalha Fields em 1974.
·       A Conjectura de Mordell provada por Gerd Faltings em 1983, tendo por isso recebido a Medalha Fields em 1986.
·       O último Teorema de Fermat provado por Andrew Wiles em 1995, tendo por isso recebido um prémio especial da União Matemática Internacional em 1998 (Wiles não era elegível para receber uma Medalha Fields por ter mais de 40 anos).

Shinichi Mochizuki já era considerado um matemático de primeiríssima classe, bastante conceituado e respeitado, pelo que estes 4 artigos estão a ser levados muito a sério pelos especialistas da área. No entanto, mesmo para estes, o novo universo matemático introduzido por Mochizuki vai levar alguns meses a ser assimilado, para só depois se poder garantir, ou não, que os seus argumentos estão corretos e a Conjectura ABC provada. Se isso acontecer, estaremos perante mais uma descoberta matemática muito significativa e com enorme potencial para desenvolvimentos futuros.»

Consideremos um número inteiro n e chamemos ao produto dos seus factores primos  distintos  radical de n, cuja notação mais habitual é  \mathrm{rad}\,(n),  isto é

\displaystyle\mathrm{rad}\,(n)=\underset{p\mid n}{\prod }p.

Fonte: Oesterlé, Nouvelles approches du théorème de Fermat. Séminaire Bourbaki, 30 (1987-1988), Exp. No. 694

Um dos enunciados da conjectura ABC (ou abc), formulada pelos matemáticos Joseph Oesterlé  e David Masser, em 1985,  é o seguinte, adaptado de The ABC-conjecture, Frits Beukers, ABC-day, Leiden:

Se

i) a,b,c forem três inteiros positivos primos entre si,

ii) a+b=c,

iii) \epsilon for um número positivo,

então, à parte um número finito de excepções, tem-se

c<\left(\mathrm{rad}\,(abc)\right)^{1+\epsilon }.\qquad (1)

Outra formulação mais explícita, adaptada da de Oesterlé e  de Enumerating ABC triples, Willem Jan Palenstijn:

Dado um número positivo \epsilon qualquer (por menor que seja), pode-se sempre encontrar um número positivo K_{\epsilon }  de modo que se tenha

c\leq K_{\epsilon }\left(\mathrm{rad}\,(abc)\right)^{1+\epsilon },\qquad (2)

para todos os inteiros positivos a,b,c primos entre si, com c=a+b. A constante K_{\epsilon } depende de  \epsilon mas não de a,b,c.

Nesta nota  de Oesterlé e  nesta de Masser poderá ler duas notas históricas sobre a origem da conjectura.

A página ABC conjecture do PolyMath reúne links para o(s) artigo(s)  de Shinichi Mochizuki referentes a esta conjectura, bem como posts, informações, comentários e notícias.

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Dois métodos de cálculo de ζ(2)

Posted on Agosto 24, 2012 por

Desta minha resposta no MSE.

1. Desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier de x^{2}

Podemos usar a função f(x)=x^{2} com -\pi\leq x\leq\pi e determinar  o seu desenvolvimento em série trigonométrica de Fourier

\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin x),

que é periódico e converge para f(x) em -\pi\leq x\leq\pi.

Reparando que f(x) é par, basta determinar os coeficientes

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,3,\dots,

porque

b_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\;dx=0\qquad n=1,2,3,\dots

Para n=0 temos

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\dfrac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi}x^{2}dx=\dfrac{2\pi ^{2}}{3}.

E para n=1,2,3,\dots obtemos

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx

=\dfrac{2}{\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\dfrac{2}{\pi }\times \dfrac{2\pi }{n^{2}}(-1)^{n}=(-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}},

porque

\displaystyle\int x^2\cos nx\;dx=\dfrac{2x}{n^{2}}\cos nx+\left( \dfrac{x^{2}}{n}-\dfrac{2}{n^{3}}\right) \sin nx.

Assim

f(x)=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{1}{n^{2}}\cos nx\right).

Como f(\pi )=\pi ^{2} obtemos

\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\dfrac{4}{n^{2}}\cos \left( n\pi \right) \right)

\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}(-1)^{n} \dfrac{1}{n^{2}}\right)

\pi ^{2}=\dfrac{\pi ^{2}}{3}+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}.

Logo

\zeta(2)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{\pi ^{2}}{4}-\dfrac{\pi ^{2}}{12}=\dfrac{\pi ^{2}}{6}

2. Desenvolvimento em série de \text{Log}(1-e^{ix}) (por Eric Rowland; disponível online há alguns anos atrás)

A partir de

\log (1-t)=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{t^n}{n},

fazendo a substituição t=e^{ix}, obtém-se a série

w=\text{Log}(1-e^{ix})=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{e^{inx}}{n}=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\cos nx-i\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\sin nx,

cujo raio de convergência é  igual a 1. Tomando a parte imaginária de ambos os membros, o 2.º transforma-se em

\Im w=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\sin nx,

e o 1.º,

\Im w=\arg\left( 1-\cos x-i\sin x\right) =\arctan\dfrac{-\sin x}{1-\cos x}.

Como

\arctan\dfrac{-\sin x}{1-\cos x}=-\arctan\dfrac{2\sin\dfrac{x}{2}\cdot\cos\dfrac{x}{2}}{2\sin ^{2}\dfrac{x}{2}}

=-\arctan\cot \dfrac{x}{2}=-\arctan\tan\left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{x}{2} \right) =\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi }{2},

é válido o seguinte desenvolvimento em série

\dfrac{\pi }{2}-\dfrac{x}{2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n}\sin nx.\qquad(\ast )

Integrando (\ast ), obtém-se

\dfrac{\pi }{2}x-\dfrac{x^{2}}{4}+C=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}\cos nx.\qquad (\ast\ast )

Fazendo x=0, obtemos a relação entre C e \zeta (2)

C=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}=-\zeta (2).

E para x=\pi, como

\zeta (2)=2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}},

deduz-se

\dfrac{\pi ^{2}}{4}+C=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{2}}\cos n\pi =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}=\dfrac{1}{2}\zeta (2)=-\dfrac{1}{2}C.

Resolvendo em ordem a C

C=-\dfrac{\pi ^{2}}{6},

prova-se assim que

\zeta (2)=\dfrac{\pi ^{2}}{6}.

Nota: este método gera todos os valores de \zeta (2n), integrando repetidamente (\ast\ast ). Infelizmente não resulta para \zeta (2n+1).

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Exercício de aplicação dos teoremas de Pitágoras e das raízes racionais de um polinómio

Posted on Agosto 16, 2012 por

Determinar o valor de x na figura

Desta questão de Rajesh K Singh, no MSE.

Resolução (tradução da minha resposta). Pelo teoremas de Pitágoras tem-se

CE=\sqrt{10^{2}-\left( x-3\right) ^{2}}=\sqrt{91-x^{2}+6x}

e

CD^{2}+AD^{2}=AC^{2}=\left( CE+AE\right) ^{2}

Assim temos de resolver a seguinte equação irracional

\left( x-3\right) ^{2}+\left( x+4\right) ^{2}=\left( \sqrt{91-x^{2}+6x}+x\right) ^{2},

que pode simplificar-se para a forma

x^{2}-2x-33=\sqrt{-x^{4}+6x^{3}+91x^{2}}.

Após elevar ao quadrado ambos os membros e agrupar os termos do mesmo grau obtém-se a equação quártica

2x^{4}-10x^{3}-153x^{2}+132x+1089=0

O coeficiente de x^{4} é 2=1\times 2 e o termo constante, 1089=1\times 3^{2}11^{2}. Para encontrar possíveis raízes racionais desta equação, aplicamos o teorema das raízes racionais e testamos números da forma

x=\pm\dfrac{p}{q},

em que p\in \left\{ 1,3,9,11,33,99,121,363,1089\right\} é um divisor de 1089 e q\in \left\{ 1,2\right\} um divisor de 2. Acontece que x=3 and x=11 são raízes. Agora dividimos o primeiro membro por x-3

\dfrac{2x^{4}-10x^{3}-153x^{2}+132x+1089}{x-3}=2x^{3}-4x^{2}-165x-363

e este quociente por x-11

\dfrac{2x^{3}-4x^{2}-165x-363}{x-11}=2x^{2}+18x+33.

Assim obtemos a equação equivalente

\left( x-3\right) (x-11)\left( 2x^{2}+18x+33\right) =0

Como as raízes de 2x^{2}+18x+33 são ambas negativas e x=3 não é uma raíz da equação irracional original, a solução é portanto

x=11

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Soma trigonométrica convertível em telescópica — senos dos múltiplos de um dado ângulo

Posted on Agosto 11, 2012 por

Embora as somas telescópicas sejam facilmente calculáveis, muitas vezes a principal dificuldade está em converter uma soma que não é explicitamente telescópica em outra que o seja. É o caso de

\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\sin (j\theta)

Um método de resolução é sugerido nesta questão, de mathstudent, no MSE. Pode ver o cálculo na minha resposta, seguindo a pista fornecida.

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