que é uma aplicação de duas desigualdades particulares do tipo

em que e são dois complexos quaisquer cuja soma não seja nula. Como exercício, proponho a demonstração de ,  sugerindo que parta da desigualdade triangular

e obtenha a desigualdade

pelos métodos da Análise Complexa. Apresento a tradução da minha resposta.

Seja

O resíduo de em é

Designemos  o contorno da metade superior do disco , percorrido no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (ver figura) por . Pelo teorema dos resíduos

Assim,

Quando , verifica-se (veja identidade mais geral aqui.)

o que significa que e

Podemos aplicar o lema de Jordan, qualquer que seja a constante positiva , e concluir que

Em consequência,

e

Nota: O exercício 3 da página 265 de Complex Variables and Applications por James Brown e Ruell Churchill generaliza este integral para

Filed under: Análise Complexa, Integrais, Matemática, Mathematics Stack Exchange Tagged: Exercícios, Matemática, MSE ]]> http://problemasteoremas.wordpress.com/2011/10/13/integral-real-calculado-pelo-metodo-dos-residuos-com-aplicacao-do-lema-de-jordan/feed/ 0 ATavares contourjordan 001 http://problemasteoremas.wordpress.com/2011/10/03/determinacao-de-uma-matriz-que-transforma-um-vector-noutro/ http://problemasteoremas.wordpress.com/2011/10/03/determinacao-de-uma-matriz-que-transforma-um-vector-noutro/#comments Mon, 03 Oct 2011 12:08:55 +0000 Américo Tavares http://problemasteoremas.wordpress.com/?p=15386 Continuar a ler →]]> Nesta questão de Miro, no MSE, é dado um vector e pretende-se determinar uma matriz tal que . A matriz deverá rodar .

Tradução da minha resposta: o seu problema é equivalente a determinar a transformação entre as coordenadas de um ponto e as coordenadas do mesmo ponto num sistema de coordenadas rodado em relação ao inicial, seguida da multiplicação pelo factor  , de tal maneira que  and . O ângulo de rotação deve ser (ver figura).

Da trigonometria sabemos que

e como

tem-se

Em notação matricial

Assim

Por definição do integral duplo de uma função contínua numa região  fechada e limitada , no plano , tem-se

em que é a área de uma célula rectangular genérica e o número de células.

Se , obtém-se a área de

Se decompusermos em células com a forma de sector circulares definidos por dois arcos cuja diferença de raios é para a -ésima célula genérica e por  dois raios que fazem um ângulo entre eles, a área da célula, utilizando a respectiva fórmula, é

em que é o raio do ponto médio da célula. A mesma área de  pode ser expressa por , o que, por definição de um integral duplo, é igual a

Figura: -ésima célula genérica em coordenadas polares com a forma de um sector circular

Esta transformação é definida rigorosamente pelo valor absoluto do  jacobiano da transformação  do sistema de coordenadas cartesianas no de polares ():

Cálculo do determinante jacobiano:

–

Nota: Um raciocínio idêntico que o generaliza  permite intepretar geometricamente a transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas, ao calcular o integral triplo  do elemento de volume.

(Fonte)

Entrevista a Miguel Abreu (Professor Catedrático  do Departamento de Matemática IST ):

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O gosto pela matemática começou quando? A partir daí foi em exponencial…

Começou na escola. Tinha jeito e é fácil gostar daquilo que conseguimos fazer bem. Fui aluno no Colégio Militar e tive lá, durante os três anos do ensino secundário, um professor de matemática fantástico: o Dr. José Sena Neves. Marcou-me muito, tanto a nível pessoal como matemático. Ficámos amigos e continuamos a falar regularmente. Depois entrei para engenharia electrotécnica no Instituto Superior Técnico (IST) e ao fim de um ano e meio percebi que só gostava das cadeiras de matemática. Tive a sorte de poder mudar para o curso de matemática que tinha acabado de abrir no IST e a partir daí “foi em exponencial”…

(…)

Lecciona no IST. O que ensina em concreto?

Ensino as cadeiras de cálculo e álgebra comuns à quase totalidade dos cursos do IST, bem como cadeiras de geometria para os alunos de matemática. Nos últimos anos tenho dado frequentemente a cadeira de Cálculo Diferencial e Integral I. Tenho tido assim o privilégio de ensinar aos caloiros do IST o Teorema Fundamental do Cálculo, certamente um dos teoremas mais bonitos e importantes, tanto para a matemática como para toda a ciência em geral.

Faz investigação Matemática em Geometria e Topologia Simplética. Consegue explicar devagarinho o que é ou será melhor passarmos à próxima pergunta?

A Geometria e Topologia Simplética tem origem na Física, mais precisamente nos espaços de fase e transformações canónicas da Mecânica Clássica. Estuda propriedades de generalizações desses espaços e transformações. No caso mais simples de espaços de dimensão 2, que inclui por exemplo o plano e a superfície de uma esfera, a Geometria e Topologia Simpléctica estuda propriedades das transformações destes espaços que preservam área.

(…)

O que faz a “SPM — Sociedade Portuguesa de Matemática” em concreto?

A SPM faz o que está especificado nos seus estatutos: promover o ensino, investigação e divulgação da matemática. Exemplos concretos na área do ensino são a formação de professores, acreditação de manuais escolares e análise das provas nacionais de avaliação. Na investigação, a SPM promove, apoia e divulga a organização de encontros científicos e contribui para a representação da comunidade matemática portuguesa em organizações internacionais, como a União Matemática Internacional e a Sociedade Europeia de Matemática. Na divulgação, temos por exemplo as Tardes de Matemática e o Clube de Matemática da SPM. Temos também actividades transversais a mais do que uma destas vertentes, como as Olimpíadas de Matemática, os Encontros Nacionais e as Escolas de Verão. Temos 3 publicações periódicas (Boletim, Gazeta e Jornal de Matemática Elementar) e lançamos regularmente livros. Apoiamos também as actividades do Seminário Nacional de História de Matemática que é uma secção autónoma da SPM.

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