Período da dízima que representa 629/9801

Neste comentário o leitor Ronaebson perguntou-me:

Quantas algarismos possui o período da dízima

 

Resposta: o número de dígitos do período da dízima é igual a 396.

Obtive-o no software PARI/GP:

0, ( 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7  2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 9 7 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 8 3 1 8 5 3 8 9 2 4 5 9 9 5 3 0 6 6 0 1 3 6 7 2 0 7 4 2 7 8 1 3 4 8 8 4 1 9 5 4 9 0 2 5 6 0 9 6 3 1 6 7 0 2 3 7 7 3 0 8 4 3 7 9 1 4 4 9 8 5 2 0 5 5 9 1 2 6 6 1 97 3 2 6 8 0 3 3 8 7 4 0 9 4 4 8 0 1 5 5 0 8 6 2 1 5 6 9 2 2 7 6 2 9 8 3 3 6 9 0 4 3 9 7 5 1 0 4 5 8 1 1 6 5 1 8 7 2 2 5 7 9 3 2 8 6 3 9 9 3 4 7 0 0 5 4 0 7 6 1 1 4 6 8 2 1 7 5 2 8 8 2 3 5 8 9 4 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1)

ou, de forma menos precisa, mas talvez mais sugestiva:

0, 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ 0 6 4 1 7 7 1 2 4 7 . . . 2 9 6 5 0 0 3 5 7 1′ . . .

Contei o número de dígitos:

 

Represento por e os dois factores, que se podem exprimir nas fracções:

e

O produto

é igual a

em que é o inteiro

e o período da dízima, ou seja:

sendo

 

um número inteiro.

Problema em aberto: provar teoricamente que é o menor valor de   tal que e

.

[Editado: acrescentados pormenores e feitas alterações diversas, incluindo o título]. 

Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence

Enunciado do Desafio/Challenge Statement

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

E o termo de ordem ? / And its   term?

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

    Solução/Solution

O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:

   

mas expresso como fracção reduzida  [gcd (greatest common divisor) é o m.d.c. ou mdc  (máximo divisor comum)]/but written as a  fraction in its lowest terms 

  

 

 

Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP

        for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))

isto / we get

    1 : 1/4
    2 : 1/8
    3 : 1/8
    4 : 3/16
    5 : 3/8
    6 : 15/16
    7 : 45/16
    8 : 315/32
    9 : 315/8
    10 : 2835/16
    11 : 14175/16
    12 : 155925/32
    13 : 467775/16
    14 : 6081075/32
    15 : 42567525/32
    16 : 638512875/64
    17 : 638512875/8
    18 : 10854718875/16
    19 : 97692469875/16
    20 : 1856156927625/32
   
   

Assim o sexto é/Hence the 6th term is

 e o vigésimo/and the 20th,

.

   
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here

– 24.03.10 –  acrescentado / added