Problemas Teoremas

Outubro 11, 2010

Tradução do problema U151 de Mathematical Reflections e da minha solução

Filed under: Matemática,Math,Mathematical Reflections,Problem,Problemas — Américo Tavares @ 4:20 pm

Issue 2, 2010 — Mathematical Reflections — U151

« Seja n um número positivo e seja

f(x)=x^{n+8}-10x^{n+6}+2x^{n+4}-10x^{n+2}+x^{n}+x^{3}-10x+1.

Determine f(\sqrt{2}+\sqrt{3}). »

Proposto por Dorin Andrica,

Babeş-Bolyai University, Cluj-Napoca, Roménia

Enunciado original:

” Let n be a positive integer and let

f(x)=x^{n+8}-10x^{n+6}+2x^{n+4}-10x^{n+2}+x^{n}+x^{3}-10x+1.

Evaluate f(\sqrt{2}+\sqrt{3}). “

Proposed by Dorin Andrica,

Babeş-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania

Tradução da minha resolução (aceite):

Resolução: Se a=\sqrt{2}+\sqrt{3}, b=a^{8}-10a^{6}+2a^{4}-10a^{2}+1 e c=a^{3}-10a+1, então f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=f(a)=ba^{n}+c.

Dado que

-10a^{2}=-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{2}=-20\sqrt{6}-50

2a^{4}=2\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{4}=40\sqrt{6}+98

-10a^{6}=-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{6}=-1980\sqrt{6}-4850

a^{8}=\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{8}=1960\sqrt{6}+4801

e

b=a^{8}-10a^{6}+2a^{4}-10a^{2}+1

=\left( 4801-4850+98-50+1\right) +\left( 1960-1980+40-20\right) \sqrt{6}

=0+0\cdot \sqrt{6}

=0,

temos

f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=f(a)=ba^{n}+c=c.

Agora calculamos c

c=a^{3}-10a+1

=\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{3}-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) +1

=\sqrt{2}-\sqrt{3}+1.

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f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}-\sqrt{3}+1.

Novembro 6, 2009

Soma telescópica. A Mathematical Reflections Undergraduate Problem. A Telescoping Sum

Filed under: Matemática,Math,Mathematical Reflections,Problem,Problemas — Américo Tavares @ 4:04 pm
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Here is the solution to the U115 Mathematical Reflections Problem I submitted a few months ago.

MR_U115

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