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Outubro 16, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #7

Filed under: Combinatória,Combinatorics,Matemática,Matemática Discreta,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas — Américo Tavares @ 6:11 pm
Tags: Matemática, Problema do mês

pdmpom20101017

Mostre que :: Show that

$\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+k}n}{\displaystyle\binom{n}{k}\displaystyle\binom{n+k}{k}}-\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\dfrac{(-1)^{n+k}n}{\displaystyle\binom{n-1}{k}\displaystyle\binom{n-1+k}{k}}$

$=\dfrac{k}{\displaystyle\binom{2k}{k}}+\dfrac{(-1)^{N+k-1}k}{\displaystyle\binom{N}{k}\displaystyle\binom{N+k}{k}}$

Soluções: até 8 Novembro 2010, via acltavares@sapo.pt ou caixa de comentários.

Solutions: until November 8, 2010, via acltavares@sapo.pt or comment box.

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Outubro 11, 2010

Tradução do problema U151 de Mathematical Reflections e da minha solução

Filed under: Matemática,Math,Mathematical Reflections,Problem,Problemas — Américo Tavares @ 4:20 pm

Issue 2, 2010 — Mathematical Reflections — U151

« Seja $n$ um número positivo e seja

$f(x)=x^{n+8}-10x^{n+6}+2x^{n+4}-10x^{n+2}+x^{n}+x^{3}-10x+1.$

Determine $f(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ . »

Proposto por Dorin Andrica,

Babeş-Bolyai University, Cluj-Napoca, Roménia

Enunciado original:

” Let $n$ be a positive integer and let

$f(x)=x^{n+8}-10x^{n+6}+2x^{n+4}-10x^{n+2}+x^{n}+x^{3}-10x+1.$

Evaluate $f(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ . “

Proposed by Dorin Andrica,

Babeş-Bolyai University, Cluj-Napoca, Romania

Tradução da minha resolução (aceite):

Resolução: Se $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ , $b=a^{8}-10a^{6}+2a^{4}-10a^{2}+1$ e $c=a^{3}-10a+1$ , então $f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=f(a)=ba^{n}+c$ .

Dado que

$-10a^{2}=-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{2}=-20\sqrt{6}-50$

$2a^{4}=2\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{4}=40\sqrt{6}+98$

$-10a^{6}=-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{6}=-1980\sqrt{6}-4850$

$a^{8}=\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{8}=1960\sqrt{6}+4801$

$b=a^{8}-10a^{6}+2a^{4}-10a^{2}+1$

$=\left( 4801-4850+98-50+1\right) +\left( 1960-1980+40-20\right) \sqrt{6}$

$=0+0\cdot \sqrt{6}$

$=0$ ,

temos

$f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=f(a)=ba^{n}+c=c$ .

Agora calculamos $c$

$c=a^{3}-10a+1$

$=\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) ^{3}-10\left( \sqrt{2}+\sqrt{3}\right) +1$

$=\sqrt{2}-\sqrt{3}+1$ .

Logo

$f(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}-\sqrt{3}+1$ .

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Outubro 2, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #6. (Círculos :: Circles). Resolução :: Solution

Filed under: Geometria,Matemática,Matemática-Secundário,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas — Américo Tavares @ 11:59 am
Tags: Matemática, Matemática-Secundário, Math, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

pdmpom20101003

Problema: Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².

Resolução de Jacques Glorieux (minha tradução):

Seja $r$ o raio dos círculos. Visto que $DE=EF=2r$ tem-se $\measuredangle DEF=\pi /4$ . Como $DF$ é parlalelo a $AB$ , o ângulo $\measuredangle CAB=\pi /4$ . Assim, o ângulo $\measuredangle ABG=\pi /2$ . Logo $HBIF$ é um quadrado de lado $r$ . Tem-se

$BF=r\sqrt{2}$ .

$BC=BF+FC=r\sqrt{2}+3r=r\left( 3+\sqrt{2}\right)$ .

$AG=2\times BC=2r\left( 3+\sqrt{2}\right)$ .

A área $S$ de $ABG$ é, portanto, $r^{2}\left( 3+\sqrt{2}\right) ^{2}$ . Mas esta área $S=1$ . Por este motivo

$r=\dfrac{1}{3+\sqrt{2}} =\dfrac{3-\sqrt{2}}{7}$

Outras resoluções por: josejuan , Prof. Paulo Sérgio.

Problem: The four circles have equal radius. Find it if the size of the triangle is 1 m².

Solution by Jacques Glorieux:

Let $r$ be the radius of the circles. We have $DE=EF=2r$ thus $\measuredangle DEF=\pi /4$ . As $DF$ is parallel to $AB$ , angle $\measuredangle CAB=\pi /4$ . Thus angle $\measuredangle ABG=\pi /2$ . Thus $HBIF$ is a square of side $r$ . We have

$BF=r\sqrt{2}$ .

$BC=BF+FC=r\sqrt{2}+3r=r\left( 3+\sqrt{2}\right)$ .

$AG=2\times BC=2r\left( 3+\sqrt{2}\right)$ .

The area $S$ of $ABG$ is thus $r^{2}\left( 3+\sqrt{2}\right) ^{2}$ . But this area $S=1$ . Thus

$r=\dfrac{1}{3+\sqrt{2}} =\dfrac{3-\sqrt{2}}{7}$

Other solvers: josejuan , Prof. Paulo Sérgio.

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Setembro 19, 2010

Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Filed under: Cálculo financeiro,Matemática,Problem,Problemas,Purdue University,Séries,Sucessões — Américo Tavares @ 11:49 pm
Tags: Cálculo financeiro, Matemática, Problema

Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de $i\%$ , composta anualmente, de maneira a poder levantar-se $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dólares no final do ano $1,2,3,\ldots$ , perpetuamente? (Para $i=10$ , a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

“ What is the smallest amount that may be invested at interest rate $i\%$ , compounded annually, in order that we may withdraw $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For $i=10$ , the answer is 2310 dollars.) “

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}$ .

Proposição: se $-1<x<1$ , a série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}$ converge para $\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}$ .

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para $|x|<1$ :

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)$

e diferenciemos ambos os membros $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}$ . Agora multipliquemo-los por $x$ : $x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}$ . Diferenciando novamente, obtemos $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}$ . Multipliquemos ambos os membros por $x$ e completaremos a demonstração da Proposição:

$x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}$ $=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)$

Pondo $x=1/c$ obtemos na forma alternativa, válida para $|c|>1$ ,

$x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n}$ $=\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)$

Designemos por $P$ o valor actual total da série de levantamentos $1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots$ dólares, no fim do ano $1, 2, 3,\ldots$ . O levantamento $n^{2}$ no final do ano $n$ contribui para $P$ no valor de $n^{2}/(1+i/100)^{n}$ , em que $i$ é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde $n=1$ a $\infty$ dá $P$ (no princípio do ano 1), que é o montante $A$ mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar ( $A-P=0$ ) os levantamentos como enunciado no problema: $P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}$ .

Usando $(3)$ com $c=1+i/100>1$ obtemos o valor actual $P(i)=A(i)$ , em dólares, em função da taxa de juro $i$ em percentagem:

$A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)$

Para $i=10$ , confirmamos que $A(10)=P(10)=2310$ .

Cópia do Texto original

[Correcção gramatical: "alternative form" em vez de "alternatively form"]

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

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Setembro 12, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #6

Filed under: Calculus,Cálculo,Geometria,Matemática,Matemática-Secundário,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas,Trigonometria — Américo Tavares @ 11:42 pm
Tags: Matemática, Matemática-Secundário, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

pdmpom20100913

Enunciado do Problema

Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².

Serão bem-vindas soluções até ao fim do mês, comentando ou por email: acltavares@sapo.pt

Problem Statement

The four circles have equal radius. Find it if the size of the triangle is 1 m².

Solutions till the end of the month will be welcome, in the comments
box or via e-mail: acltavares@sapo.pt

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Setembro 8, 2010

Série de termo geral n²/xⁿ :: Series of general term n²/xⁿ

Filed under: Análise Matemática,Calculus,Cálculo,Exercícios Matemáticos,Matemática,Math,Problem,Problemas,Séries — Américo Tavares @ 9:37 pm
Tags: Exercícios, Matemática, Problem, Problema

Demostre que para $x>1$ , $x\in\mathbb{R}$ a função $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}}$ é convergente e determine, justificando, a sua expressão analítica, na forma de fracção racional $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ .

Sugestão: utilize a série geométrica de razão $x$ e 1.º termo $1$ , diferencie e multiplique por $x$ duas vezes.

Prove that for $x>1$ , $x\in\mathbb{R}$ the function $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}}$ converges and find, with proof, its analytical expression in the form of a rational function $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ .

Hint: use the geometrical series with ratio $x$ and first term $1$ , differentiate and multiply by $x$ twice.

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Maio 18, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #5. (Uma função real contínua ilimitada :: An unbounded continuous real function). Resolução :: Solution

Filed under: Matemática,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas — Américo Tavares @ 4:41 pm
Tags: Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

ver/see Problema do mês Problem of the month

$\bigskip$
Problem: Let $f(x)$ be a continuous unbounded real function in the interval $I=[0,\infty \lbrack$ . May the improper integral $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ converge?

Solution by Jacques Glorieux:

The graph of this function is made of a series of triangles. For $n=1,2,3,\dots$ , triangle number ‘ $n$ ‘ has $2n$ for height and $\dfrac{1}{n^3}$ for base. The curve so delimited is related to a continuous and unbounded function. The integral of this function is the sum of the areas of the triangles. The area of triangle number $n$ is $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right)=\dfrac{1}{n^2}$ . The sum of the areas is thus the sum from $n=1$ to infinity of the terms of the form $\dfrac{1}{n^2}$ . This sum is $\dfrac{\pi^2}{6}$ (a well known result (*) ). Thus the integral converges.

Other solver: fatima

* * *

Problema: Seja $f(x)$ uma função real contínua ilimitada no intervalo $I=[0,\infty \lbrack$ . O integral impróprio $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ pode ser convergente?

Resolução de Jacques Glorieux:

O gráfico desta função é constituído por uma série de triângulos. Para $n=1,2,3,\dots$ , o triângulo número ‘ $n$ ‘ tem $2n$ de altura e $\dfrac{1}{n^3}$ de base. A curva assim delimitada está relacionada com uma função contínua ilimitada, cujo integral é a soma das áreas dos triângulos. A área do triângulo número $n$ é $\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2n}{n^3}\right) =\dfrac{1}{n^2}$ . Por este motivo a soma das áreas é igual à soma de $n=1$ até infinito dos termos da forma $\dfrac{1}{n^2}$ . Esta soma é $\dfrac{\pi^2}{6}$ (um resultado bem conhecido (*) ). Por conseguinte o integral é convergente.

Outra resolução: fatima

(*) [A proof here (in Portuguese) / Uma prova aqui, A. Tavares]

[Typo corrected, corrigida gralha $\dfrac{\pi^2}{6}$ A. Tavares]

[Graph corrected, corrigido gráfico A. Tavares]

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Abril 23, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #5

Filed under: Matemática,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas — Américo Tavares @ 12:53 pm
Tags: Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

Enunciado do Problema

Seja $f(x)$ uma função real contínua ilimitada no intervalo $I=[0,\infty \lbrack$ . O integral impróprio $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ pode ser convergente?

O prazo limite para a apresentação de resoluções é 17.05.2010, aqui ou por e-mail:

acltavares@sapo.pt

Problem Statement

Let $f(x)$ be a continuous unbounded real function in the interval $I=[0,\infty \lbrack$ . May the improper integral $\displaystyle\int_{I}f(x)\;dx$ converge?

The deadline for submitting solutions is May 17, 2010. Submissions may be here or via e-mail:

acltavares@sapo.pt

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Março 6, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #4

Filed under: Matemática,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês,Problemas — Américo Tavares @ 10:07 am
Tags: Matemática, Math, Problem, Problem Of The Month, Problema, Problema do mês

ver/see Problema do mês Problem of the month

$\bigskip$

Enunciado do Problema

Prove ou infirme: $\pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx$

Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores.
O prazo limite para apresentar resoluções é 28.03.2010 via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement

Prove or disprove: $\pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx$ .

Remark: the use of calculators or computers is not allowed.
The deadline for submitting solutions is March 28, 2010 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.

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Março 5, 2010

Duas Questões de Exame de Introdução à Análise Complexa: Contribuição do Prof. Paulo Sérgio

Filed under: Análise Complexa,Cálculo,Exames,Exercícios Matemáticos,Exercise,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Math,Problem,Problemas,Transformadas de Laplace — Américo Tavares @ 1:25 pm
Tags: Exames, Exercícios, Integração, Matemática, Problema

Publico a resolução apresentada pelo Prof. Paulo Sérgio (nestes dois comentários) às duas questões seguintes.

Duas questões de Análise Complexa (listadas também aqui)

« Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

http://echoone.wordpress.com/, entrada Introductory Complex Analysis Final

(tradução e adaptação do inglês). »

« (…) Demonstre que as equações de Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

$u_r=\dfrac{v_\theta}{r}$

$v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}$

(…) Determine o valor de

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx$ (…) »

Resolução :

Seja $f(z)=u+iv$ , satisfazendo $u_{x}=v_{y}$ e $u_{y}=-v_{x}$ .

Sendo

$u=u(x,y)$ , $v=v(x,y)$ ,

$x=x(r,\theta )=r\cos \theta$ e $y=y(r,\theta )=r\sin \theta$ .

Assim,

$u_{r}=u_{x}x_{r}+u_{y}y_{r}=u_{x}\cos \theta +u_{y}\sin \theta$

$=v_{y}\cos \theta -v_{x}\sin \theta =\dfrac{v_{y}r\cos \theta +v_{x}\left( -r\sin \theta \right) }{r}$

$=\dfrac{v_{\theta }}{r}$

A outra é análoga.

A resolução da integral está neste link.

http://img63.imageshack.us/img63/7049/integrald.png

–

Transcrição:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^2}dx=\dfrac{\pi }{2}$ .

De fato,

$\dfrac{1}{s^{2}}=\mathcal{L}\{x\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx$ .

Assim,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=$ $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}x\sin ^2 s\;dx\,ds$ $=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}\sin ^{2}s\;ds\right) dx$

Sendo

$\sin ^{2}s=\dfrac{1-\cos 2s}{2}$ ,

temos:

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x\left[ \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos \left( 2s\right) \}\right] dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+4}\right) dx$

Logo,

$\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left( \dfrac{4}{x^{2}+4}\right) dx=$ $\arctan \left. \left( \dfrac{x}{2}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\dfrac{\pi }{2}$

* * *

5.04.10 – Notas (de Américo Tavares) sobre a notação aqui utilizada

i. derivadas parciais

Exemplo: $u_{x}=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}$

ii. transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função $F\left( t\right)$ , definida para $t>0$ , é o integral

$\mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =f\left( s\right) =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right) \;dt$

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Março 2, 2010

9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Filed under: Análise Complexa,Análise Matemática,Cálculo,Exames,Exercícios Matemáticos,Função Gama,Identidade matemática,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Math,Problem,Problemas,Transformadas de Fourier — Américo Tavares @ 12:32 pm
Tags: Exames, Exercícios, Integração, Matemática, Math, Problema

Agrupo aqui todos os Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos de todos os níveis.

(a) Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

$\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}$

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda/integrand function corrected. Deve ser/Should be

$\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}$

em vez de/instead of

$\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}$ .

Resolução/Solution (25-05-10)

(b) 1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

$\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right)$ ,

where/em que $(p,q)\in\mathbb{Z}^{2}$ .

(c) Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma $s=\pi+e$ e a diferença $d=\pi-e$ não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos ( $s$ e $d$ ) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

(d) Three gamma function identities

Let $n=1,2,\ldots$ . Show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)$

and

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right)$ .

Let $x\in\mathbb{R}$ . If $x>0$ , show that

$\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right)$ .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B $(x,x)$ and by means of an appropriate change of variable find a relation between B $(x,x)$ and B $\left(x,\dfrac{1}{2}\right)$ .

(e) Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função trigonométrica periódica

$f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2}$ ,

representada no gráfico, no intervalo $\left[ -\pi ,\pi \right] .$

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver $f(t)$ e obter

$f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t$ .

2 – Calcular a derivada de $f(t)$ : $f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t$ .

3 – Resolver a equação $f^{\prime}(t)=0$ e obter as soluções

$t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

4 – Observar o andamento da função no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é $f\left( t_{\max }\right)$ e o mínimo $f\left( t_{\min }\right)$ , em que

$t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi$

$t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi$ .

(f) Problema não resolvido sobre triângulos e outros polígonos de área máxima inscritos numa circunferência

Mostre que de todos os possíveis triângulos inscritos na circunferência $x^2+y^2=r^2$ os de maior área são os equiláteros. Se um dos vértices tiver coordenadas $\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right)$ , quais são as dos outros dois?

Generalize para um polígono de $n$ lados.

(g) Dois Problemas não resolvidos: Transformada de Fourier e Função de Bessel

PROBLEMA 1

1. Calcule a transformada de Fourier da função

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x\qquad x\in\lbrack 0,\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,\pi\rbrack\end{array}\right.$

2. A partir da transformada do ponto anterior obtenha a transformada da função:

$g(x)=\left\{\begin{array}{c}|\sin x|\qquad x\in\lbrack 0,4\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,4\pi\rbrack\end{array}\right.$

3. As funções $f$ e $g$ pertencem à classe das funções contínuas num intervalo $\lbrack a ,b\rbrack$ e nulas fora deste intervalo. Mostre que as funções desta classe possuem transformada de Fourier.

4. Diga se a transformação inversa de Fourier é válida para as funções do ponto 3. Justifique.

PROBLEMA 2

A função de Bessel de ordem zero $J_0(x)$ satisfaz a equação integral

$\displaystyle\int_{0}^{x}J_0(y)J_0(x-y)\; dy=\sin x$

1. Calcule a sua transformada de Laplace.

2. Determine $J_0(0^+)$ e $J_{0}^{^{\prime }}(0^{+})$ (considere $J_0(0^+)>0$ .

3. Obtenha o desenvolvimento de $J_0(x)$ em série de potências de $x$ .

(h) Duas questões de Análise Complexa

Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

http://echoone.wordpress.com/,

entrada

Introductory Complex Analysis Final

(tradução e adaptação do inglês).

« (…) Demonstre que as equações de Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

$u_r=\dfrac{v_\theta}{r}$

$v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}$

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(…) Determine o valor de

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx$ (…) »

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(i) Integrais impróprios; a função gama

(…)

PROBLEMA: mostre que a função gama

$\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt$

é convergente se e só se $x>0$ . Integre por partes e obtenha a relação

$\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)$

e verifique que $\Gamma (1)=1$ , pelo que

$\Gamma (n+1)=n!$ .

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Fevereiro 23, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #3. (Polinómio real :: Real polynomial). Resolução :: Solution

Filed under: Matemática,Math,Problem,Problem Of The Month,Problema do mês — Américo Tavares @ 10:29 am
Tags: Matemática, Math, Problem Of The Month, Problema do mês

ver/see Problema do mês Problem of the month

Nota: As resoluções seleccionadas não são necessariamente as de maior qualidade matemática.

Remark: Selected solutions are not necessarily the ones that have the best mathematical quality.

Problema: Seja $P(x)$ um polinómio real de grau $n\geq 2$ . Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de $P$ é igual a $1$ . Prove que $\dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}$ , em que $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1}$ são as raízes de $P^{\prime }(x)$ .

Solución de M ( aqui, [Gaussianos], copia):

$p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right)$ ,

entonces

$\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert$ (para $x\neq a_{i}$ ).

Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces):

$\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}$ .

Tu caso se particulariza con $\left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\}$ .

Otras soluciones: Dani (aquí [Gaussianos], copia) y MathOMan (aquí).

* * *

Resolução de M ( aqui, [Gaussianos], cópia); tradução de Américo Tavares

$p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right)$ ,

então

$\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert$ (para $x\neq a_{i}$ ).

Derivando (tendo especial cuidado com o sinal entre as raízes):

$\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}$ .

A solução é o caso particular $\left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\}$ .

Outras resoluções: Dani (aqui [Gaussianos], cópia) y MathOMan (aquí).

* * *

Problem: Let $P(x)$ be a real polynomial of degree $n\geq 2$ . Assume that the leading coefficient of $P$ is equal to $1$ . Prove that $\dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}$ , where $w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1}$ are the roots of $P^{\prime }(x)$ .

Solution by M ( here, [Gaussianos], copy); translated by Américo Tavares.

$p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right)$ ,

then

$\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert$ (para $x\neq a_{i}$ ).

Now, after diferentiating ( taking special care to the sign between roots), we get:

$\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}$ .

The solution for this problem is the particular case $\left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\}$ .

Other solvers: Dani ( here [Gaussianos], copy), and MathOMan (here).

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