Problemas Teoremas

Março 29, 2010

Problema do mês :: Problem of the month #4. (Integral impróprio :: Improper integral). Resolução :: Solution

Filed under: Calculus,Cálculo,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Math,Problem Of The Month,Problema do mês,Transformadas de Laplace — Américo Tavares @ 8:10 pm
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Problema

Prove ou infirme: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx

Solução de Prof. Paulo Sérgio

Para calcular esta integral, note que

\dfrac{1}{s^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx

Assim,

I:=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) }{s^{2}}ds

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}\left[ \cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) \right] dxds

Invertendo a ordem de integração e usando a definição de transformada de Laplace, temos:

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\int_{0}^{\infty }\left[ \mathcal{L}\left\{ \cos\left( s\right) \right\} -\mathcal{L}\left\{ \cos \left( 3s\right) \right\}\right] dx

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\left( \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}\right) dx

ou seja,

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{9}{9+x^{2}}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\left[ 3\arctan \left( \dfrac{x}{3}\right) -\arctan \left( x\right) \right] _{0}^{\infty }

=\dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi .

Outra resolução: fatima

* * *

Problem

Prove or disprove: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx.

 

Solution by Prof. Paulo Sérgio

To evaluate this integral note that

\dfrac{1}{s^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx

Hence,

I:=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) }{s^{2}}ds

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}\left[ \cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) \right] dxds

By reversing the order of integration and using the definition of the Laplace transform we get:

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\int_{0}^{\infty }\left[ \mathcal{L}\left\{ \cos\left( s\right) \right\} -\mathcal{L}\left\{ \cos \left( 3s\right) \right\}\right] dx

=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\left( \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}\right) dx

therefore,

I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{9}{9+x^{2}}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\left[ 3\arctan \left( \dfrac{x}{3}\right) -\arctan \left( x\right) \right] _{0}^{\infty }

=\dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi .

Other Solver: fatima

Março 5, 2010

Duas Questões de Exame de Introdução à Análise Complexa: Contribuição do Prof. Paulo Sérgio

Filed under: Análise Complexa,Cálculo,Exames,Exercícios Matemáticos,Exercise,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Math,Problem,Problemas,Transformadas de Laplace — Américo Tavares @ 1:25 pm
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Publico a resolução apresentada pelo Prof. Paulo Sérgio (nestes dois comentários) às duas questões seguintes.

  Duas questões de Análise Complexa (listadas também aqui)

« Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

 http://echoone.wordpress.com/,  entrada  Introductory Complex Analysis Final 

 (tradução e adaptação do inglês). »

« (…) Demonstre que as equações de  Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

u_r=\dfrac{v_\theta}{r}

e

v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}

(…) Determine o valor de

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx  (…) »

Resolução :

Seja f(z)=u+iv, satisfazendo u_{x}=v_{y} e u_{y}=-v_{x}.

Sendo

u=u(x,y), v=v(x,y),

x=x(r,\theta )=r\cos \theta e y=y(r,\theta )=r\sin \theta .

Assim,

u_{r}=u_{x}x_{r}+u_{y}y_{r}=u_{x}\cos \theta +u_{y}\sin \theta

=v_{y}\cos \theta -v_{x}\sin \theta =\dfrac{v_{y}r\cos \theta +v_{x}\left( -r\sin \theta \right) }{r}

=\dfrac{v_{\theta }}{r}

A outra é análoga.

A resolução da integral está neste link.

http://img63.imageshack.us/img63/7049/integrald.png

–

Transcrição:

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}x}{x^2}dx=\dfrac{\pi }{2}.

De fato,

\dfrac{1}{s^{2}}=\mathcal{L}\{x\}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx.

Assim,

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds= \displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}x\sin ^2 s\;dx\,ds =\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-sx}\sin ^{2}s\;ds\right) dx

Sendo

\sin ^{2}s=\dfrac{1-\cos 2s}{2},

temos:

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x\left[ \mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{\cos \left( 2s\right) \}\right] dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{x^{2}+4}\right) dx

Logo,

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\sin ^{2}s}{s^{2}}ds=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left( \dfrac{4}{x^{2}+4}\right) dx= \arctan \left. \left( \dfrac{x}{2}\right) \right\vert _{0}^{\infty }=\dfrac{\pi }{2}

* * *

5.04.10 – Notas (de Américo Tavares) sobre a notação aqui utilizada

i. derivadas parciais

Exemplo: u_{x}=\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}

ii. transformada de Laplace

A transformada de Laplace de uma função F\left( t\right) , definida para t>0, é o integral

\mathcal{L}\left\{ F\left( t\right) \right\} =f\left( s\right) =\displaystyle\int_{0}^{\infty }e^{-st}F\left( t\right) \;dt

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