Problemas Teoremas

Abril 18, 2012

Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Filed under: Demonstração,Desigualdades matemáticas,Identidade matemática,Matemática,Matemática Discreta,Matemáticas Gerais,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:21 am
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Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)

Demonstração

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3}desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

Identidade de Lagrange

A identidade de Lagrange generaliza a desigualdade anterior.

Teorema: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima.

\square

Ficheiro pdf

Junho 25, 2011

Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

Filed under: Combinatória,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Matemática Discreta,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 1:05 pm
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(Inicialmente publicada nesta entrada.)

Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória

\dbinom{n+m}{r}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j}

que é a chamada convolução de Vandermonde.

Pondo n=m, obtém-se

\dbinom{2n}{r}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\binom{n}{r-j}

e para r=n, finalmente,

\dbinom{2n}{n}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\dbinom{n}{n-j}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}.

\bigskip

Demonstração:

Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde:

Dado o conjunto C = \left\{ c_{1,}c_{2},\ldots,c_{n},c_{n+1},c_{n+2},\ldots ,c_{n+m}\right\}, considerem-se dois subconjuntos de C disjuntos, isto é, sem elementos comuns, um C_{1}=\left\{ c_{1,}c_{2},\ldots ,c_{n}\right\} com n elementos e outro com m, C_{2}=\left\{ c_{n+1,}c_{n+2},\ldots ,c_{n+m}\right\}, tais que C=C_{1}\cup C_{2}.

O segundo membro conta o número de maneiras distintas de escolher r elementos de entre os n+m de C.

Quanto ao primeiro membro, comecemos por reparar que

(a) há \dbinom{n}{j} maneiras distintas de escolher j elementos entre os n de C_{1};

(b) há \dbinom{m}{r-j} maneiras distintas de escolher r-j elementos entre os m de C_{2};

(c) pelo que há \dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j} maneiras distintas de seleccionar j elementos de C_{1} e simultaneamente r-j de C_{2}.

Ora, se somarmos todas estas parcelas \dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j} para os possíveis valores que j pode tomar, desde j=0 até j=n, obtemos evidentemente o mesmo número \dbinom{n+m}{r}. Como mostrámos a igualdade dos dois membros da identidade da convolução de Vandermonde, concluímos a justificação. \blacksquare

Os casos particulares referidos obtêm-se imediatamente. A última identidade é também um caso particular de

Proposição: Quaisquer que sejam os inteiros k e n tais que 0\leq k \leq n, tem-se

\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n}

que foi demonstrada aqui e que repito.

Demonstração:

Comecemos por reparar que poderíamos ter escolhido para limite inferior do somatório 0 , em vez de k, porque para i<k, \binom{i}{k}=0, por convenção usual.

O segundo membro (lado direito) conta o número de maneiras diferentes de escolher k elementos dum conjunto, tal como S=\left\{ s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\right\} com n elementos e, ao mesmo tempo, n elementos doutro conjunto, por exemplo X=\left\{ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},\ldots,x_{2n-k}\right\} com 2n-k elementos.

Quanto ao primeiro membro, considerem-se dois subconjuntos de X disjuntos (sem elementos comuns), um X_{1}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right\} com n elementos, e outro X_{2}=\left\{x_{n+1},\ldots,x_{2n-k}\right\} com 2n-k elementos, tais que X_{1}\cup X_{2}=X.

Escolhamos agora n elementos de X pertencendo i deles a X_{1} e n-i a X_{2}, com 0\leq i\leq n.

(a) Há \dbinom{n}{i} maneiras diferentes de escolher i elementos entre os n de X_{1};

(b) há \dbinom{n-k}{n-i}=\dbinom{n-k}{i-k} maneiras diferentes de escolher n-i elementos entre os n-k de X_{2};

(c) daqui decorre que, para um dado i, há \dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k} maneiras distintas de seleccionar esses n elementos de X. Assim, cada parcela, \dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k}\dbinom{n}{k} conta o número de maneiras diferentes de escolher n elementos de X (dos quais i\in X_{1} ) e, simultaneamente, k de S. Somando, para todos os possíveis valores de i , estas parcelas, obtemos o número total

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k}\dbinom{n}{k}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}

A primeira igualdade é justificada por

\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{i-k}=\dbinom{n}{i}\dbinom{i}{k}

e a segunda pela observação inicial.

É claro que as duas contagens, a directa representada pelo produto do segundo membro e a indirecta, pela soma do primeiro (lado esquerdo) hão-de ser iguais, o que mostra

\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n},

como pretendíamos. \blacksquare

Nota: o leitor poderá ver várias demonstrações algébricas e analíticas no blogue Fatos Matemáticos do Prof. Paulo Sérgio, na entrada   Algumas Demonstrações da Convolução de Vandermonde-Euler.

Janeiro 22, 2009

Fórmula de reflexão (da função gama) de Euler

Filed under: Análise de Fourier,Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Demonstração,Função Gama,Funções Especiais,Identidade matemática,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:32 am
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Gráfico de Γ(x) no intervalo ]-5,5]

gamanosreais

A função especial beta é definida para as variáveis reais x,y pelo integral

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt (1)

que é impróprio mas convergente, no caso de x>0 e y>0 e   pelo menos uma das variáveis x<1 ou y<1.

A função B(x,y) (para x>0 e y>0) relaciona-se com a função especial gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt (2)

através da conhecida identidade

B(x,y)=\dfrac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} (3)

que não vou demonstrar.

O que me proponho demonstrar é a chamada fórmula da reflexão ou dos complementos da função gama no domínio real, seguindo o método indicado nos exercícios não resolvidos 10 e 11 da página 683 do livro de Angus E. Taylor, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, 1955.

Proposição: Se a for real, é válida a identidade seguinte

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a) (4)

Notação:  \csc a\pi=1/\sin a\pi é  a cosecante de a\pi.

Demonstração: Se 0<a<1, tem-se

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

como resulta da mudança de variável y=1/x. O integral

\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

é convergente se a<1, porque nesta condição  \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{a}} é convergente e \dfrac{x^{-a}}{x+1}\cdot x^a tende para 1, quando x tende para 0^+, e,  por outro lado, o integral

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy

também nesse caso é convergente, porque \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{dy}{y^{2-a}} converge e \dfrac{y^{a-1}\cdot y^{2-a}}{1+y} tende para 1, quando y tende para \infty.

Outra representação integral da função beta é:

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\;du (5)

que se obtém de (1) através das substituição

t=\dfrac{u}{1+u}.

De (5) resulta

B(a,1-a)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du

=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{-a}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}\;du

Usando agora o desenvolvimento em série  de

\dfrac{1}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^n,

obtém-se

\dfrac{u^{a-1}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{a-1+n}

e

\dfrac{u^{-a}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{-a+n},

e integrando termo a termo a função integranda \dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}, como

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{a-1+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

e

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{-a+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1},

depois de agrupar os termos pares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

com os ímpares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1}

obtém-se no fim a série

\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}.

Em consequência

B(a,1-a)=\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}

 Ora, a série de Fourier da função f(x)=\pi\cos ax, em que -\pi\le x\le\pi, é

\pi\cos ax=2a\sin a\pi\left( \dfrac{1}{2a^2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}\cos nx}{n^2-a^2}\right)

que assume o desenvolvimento particular para x=0:

\pi=\sin a\pi\left( \dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}\right)

donde, efectivamente

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a)\qquad\blacksquare

Esta mesma identidade também se verifica para a complexo.

ADENDA de 23-1-2009: para a=1/2 obtém-se

\dfrac{\pi}{\sin \pi/2}=\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)

donde

\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi} (6)

Actualização de 15-2-2009: acrescentado gráfico da função gama.
 

Novembro 27, 2008

Identidade de Lagrange

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:04 pm
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A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que relembro ser

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^2\right)

\bigskip

Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

 =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima \qquad\square

Correcção de 1-12-2008: na fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz, bem como no pdf.

Novembro 17, 2008

Derivadas: a total de uma função composta de duas variáveis reais e de uma função elevada a outra função

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Proponho-me demostrar  a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)

como aplicação do  teorema relativo à derivada total em relação a  t de uma função de duas variáveis reais ambas função de t.

Teorema: Sejam z=f\left( x,y\right) uma aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} diferenciável em \left( x_{0},y_{0}\right) e x=\varphi \left( t\right) e y=\psi \left( t\right) duas aplicações de \mathbb{R} em  \mathbb{R}  diferenciáveis em t_{0}.

Então

\left(\dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}

Demonstração: seja \Delta z o incremento de z=f\left( x,y\right) em \left( x_{0},y_{0}\right) associado a um incremento \Delta t em t_{0}:

\Delta z=f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi\left( t_{0}\right) \right)

 =\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

+\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

Por hipótese, \varphi e \psi são diferenciáveis em t_{0} pelo que existem variáveis reais \xi,\eta que tendem ambas para 0 com \Delta t tais que

h=\varphi\left( t_{0}+\Delta t\right) -\varphi\left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\xi \right)

 k=\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) -\psi \left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\eta \right)

 Admitindo que f_{y}^{\prime } é contínua existe um número real \theta \left( 0<\theta <1\right) tal que a primeira parcela de \Delta z se pode exprimir na forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =

 =kf_{y}^{\prime }\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\theta k\right) \right) =k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

A variável real \beta tende para 0 com \Delta t. Existe ainda outra variável real \alpha que também tende para 0 com \Delta t ; é  tal que a segunda parcela de \Delta z é  da forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right)  .

Vem, portanto

\Delta z=h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right) +k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

Assim, tem-se

\dfrac{\Delta z}{\Delta t}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varepsilon

em que

\varepsilon =\xi f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \alpha +\xi \alpha +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \beta +\eta f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\eta \beta

que tende para 0 com \Delta t. Logo

\left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \varphi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \psi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right)

como se queria demonstrar \qquad\square

\bigskip

Exemplo 1: demonstre a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }

Neste caso temos z=f(x,y)=u^{v}, em que x=u\left( t\right) e y=v\left( t\right)  . A derivada f^{\prime }(t) será

f^{\prime }(t)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\times \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\times \dfrac{dy}{dt}

sendo

\dfrac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}

\dfrac{\partial z}{\partial y}=\left( \ln x\right) x^{y}=\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }

donde se chega imediatamente à  regra enunciada. \qquad\blacktriangleleft

\bigskip

Exemplo 2: determine \left( x^{x}\right) ^{\prime }

Aplica-se a regra do exemplo 1:

\left( x^{x}\right) ^{\prime }=xx^{x-1}+\left( \ln x\right) x^{x}=\left( 1+\ln x\right) x^{x} \qquad\blacktriangleleft

NOTA DE 8-12-2008: a regra de derivação do exemplo 1 pode ser deduzida sem recorrer ao teorema da derivada da função composta, reparando que

\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=e^{v(t)\ln(u)}

atendendo a u(t)=e^{\ln(u(t))} e aplicando de seguida a regra de derivação da função exponencial.

Agosto 18, 2008

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Desigualdades matemáticas,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:06 am
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A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)   

Demonstração 

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

 

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

[Actualização de 30-9-2008: acrescentado pdf]

ADENDA de 27-11-2008: esta desigualdade é uma consequência directa da identidade de Lagrange demonstrada nesta entrada

Correcção de 1-12-2008: na segunda desigualdade do Teorema

Julho 21, 2008

Séries de Fourier

Filed under: Análise de Fourier,Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Demonstração,Exercícios Matemáticos,Matemática,Problemas,Séries,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:43 pm
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Para facilidade de consulta, decidi reunir aqui as entradas já publicadas sobre Séries de Fourier:

Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais 

Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval 

Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier 

Séries de Fourier 4 - Problemas 

Séries de Fourier 5 – Problemas II 

Séries de Fourier 6 – Problemas III 

Actualização de 20-11-2008: Suprimido o texto, ficando apenas os links, para evitar diferenças de actualização. 

Maio 20, 2008

Teorema de Pitágoras

Filed under: Caderno,Exercícios Matemáticos,Geometria,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Teorema — Américo Tavares @ 2:01 pm
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Esquema da demonstração de Euclides 

 1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

Notação: c = hipotenusa  a = cateto azul  b = cateto verde

2. Teorema: c^2=a^2+b^2. A área do quadrado vermelho (sobre o lado c) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado a) e verde (sobre o lado b)

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

* * *

Notas: poderá ver uma demonstração deste teorema no blogue Fatos Matemáticos; em  Cut  the knot poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema; ou ainda  nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários; e nesta minha entrada uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

* * *

Actualização de 17.03.2010.

Eis uma das formas como este teorema era demonstrado no Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim (no volume 2.º, ano 4.º, páginas 57 a 59, de 1943, da Coimbra Editora L.da), em edição fac-símile, de 2004, da SPM, integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, que adquiri ontem e assim apresentado pela SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

« Autor: Diogo Pacheco de Amorim

Em Portugal foram editados muitos bons livros de texto, escritos em linguagem clara e convincente, que dão numerosos (e por vezes invulgares) exemplos, que contêm complementos de muito interesse, que em vários casos expõem assuntos hoje menos conhecidos, que até estabelecem terminologia, mas que não estão acessiveis por as edições se encontrarem esgotadas há muito tempo. A publicação de uma série de textos didácticos de qualidade poderá dar também um incentivo aos matemáticos de hoje para que se empenhem na edição de livros de texto para os ensinos básico, secundário e superior.

Nesta edição, integrada na Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática reproduzimos a obra de Diogo Pacheco de Amorim – “Compêndio de Geometria” de 1943. »

* * *

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Exercícios 

Exercício: Determine o comprimento a=c de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base b e área A.

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(2.3,3.2){\textit{a}}\put(5.7,3.1){\textit{c}}\put(3.8,0.5){\textit{b}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\end{picture}

Resolução: Seja b a  base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a \dfrac{b}{2}. Esta altura divide o triângulo isósceles de lados a,b,c em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de lados a,\dfrac{b}{2} e h e o da direita c,\dfrac{b}{2} e h, cada um com uma área igual a A/2. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

a^2=h^2+\dfrac{b^2}{4}

Como a área do triângulo de lados a,b,c é A=\dfrac{b\times h}{2}, h=\dfrac{2A}{b}, podemos exprimir a em função de A,b:

a=c=\sqrt{\dfrac{4A^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{4}}

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que A=12\text{ cm}^2 e  b=6\text{ cm}, determine a.

Resposta

a=5\text{ cm}

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas).  Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

[Reformulação geral em 17.03.2010 ]

18.03.10: Pode ver aqui um desafio relacionado com o teorema de Pitágoras, que reproduzo na íntegra:

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007

de

Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney)

P.S. E agora?

Reportando-me à figura, as letras a,b,c são os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a a+b, tem de área (a+b)^2. A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

c^2+4\times\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab

A área total do da direita é

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Igualando estas áreas, tem-se

c^2+2ab=a^2+b^2+2ab

donde se demonstra que

c^2=a^2+b^2\ \square

* * *

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

larecherchepitagoras1

________________

REFERÊNCIA: Philip Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, p. 146, Gradiva, 1995. 

Abril 12, 2008

Noções básicas sobre Séries

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Demonstração,Matemática,Matemáticas Gerais,Séries,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 6:46 pm
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No caderno pode ver uma pequena exposição sobre séries.

 

Janeiro 4, 2008

A Demonstração de Euler do Teorema da infinidade de números primos

Filed under: Análise Matemática,Demonstração,Matemática,Teorema,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:34 am
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Na entrada anterior referi uma demonstração atribuída a Euclides sobre a inexistênciade um número primo maior do que qualquer outro. Este enunciado é equivalente a:

  • A sucessão dos números primos é ilimitada.
  • Há uma infinidade de números primos, ou seja, o conjunto de números primos é infinito.

Parte-se da  representação da função zeta através do produto de Euler

\displaystyle\zeta\left(s\right)= \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1},

em que os factores do produto varrem todos os números primos p. Se o número  de primos fosse finito, o que aconteceria ao produto de Euler, quando tomamos limites, fazendo tender s através da recta real para 1 por valores superiores?

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\prod\limits_{p}\left(1-p^{-s}\right)^{-1} =\displaystyle\prod\limits_{p}\frac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

É claro que

\displaystyle\prod\limits_{p}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{p}}

assumiria um valor finito, se houvesse um número finito de números primos. Mas, como sabemos que a série harmónia é divergente 

\displaystyle\lim_{s\rightarrow 1^{+}} \displaystyle\zeta\left(s\right)=  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{n}

obtemos uma contradição, pelo facto de inicialmente termos admitido que haveria um número finito de primos. \blacksquare

Bibliografia consultada: PATTERSON, S. J., An introduction to the theory of the Riemann Zeta-Function, Cambridge Studies In Advanced Mathematics 14, Cambridge University Press, 1988.

Janeiro 3, 2008

Teorema sobre a sucessão dos números primos

Filed under: Matemática,Matemática-Secundário,Teorema,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:50 am
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Teorema: Não existe um número primo maior do que todos os outros.

Demonstração: (atribuída a Euclides)

Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros e vamos ver que obtemos uma contradição.

Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos

P = 2 x 3 x 5 x … x p ,

vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão

(2, 3, 5, …, p)

de todos os primos, pelo que, em símbolos:

 

 

p’ | (P + 1);

 

 

mas, como p’ é também um dos divisores de P,

p’ | P ,

 p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:

p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. O teorema fica assim demonstrado.  \blacksquare

Adaptado de CALADO, J., Compêndio de Aritmética Racional, Ensino Liceal, 3º ciclo, Ministério da Educação Nacional, Livraria Cruz, Braga, 1967.

 

 

Dezembro 9, 2007

Relação de Parseval

Filed under: Análise de Fourier,Análise Matemática,Matemática,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:22 am
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A relação de Parseval que  toma a forma

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 = ||f||^2,

quando a função f real, de quadrado integrável  num dado intervalo I, admite um desenvolvimento em série de Fourier relativamente às funções reais ortonormadas (ortogonais e de norma unitária) \phi_i (i\ge0) do tipo

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n \phi_n (x),

em que os coeficientes c_n são os integrais

c_n=(f,\phi_n)=\displaystyle\int_I f(x)\phi_n(x)\;dx

verifica-se, se e só se,

\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }||f-\sum_{k=0}^{n}c_{k}\phi_{k}(x)||=0.

Notas:

  • A norma ||f|| designa o integral ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

  • A fórmula ou relação de Parseval  = ||f||^2=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2 generaliza a notação vectorial x=(x_1,x_2,...,x_N) pois sabe-se que ||x||^2 =\displaystyle\sum_{n=1}^{N}|x_n|^2.

  • O produto interno de duas funções reais f e g é

 (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)g(x)\;dx

          e

(f,f)=f^2=\displaystyle\int_If(x)f(x)\;dx=\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx,

||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I [f(x)]^2\;dx}.

Se as funções f,g,\phi_n forem complexas, as definições alteram-se para:

  • (f,g)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{g(x)}\;dx

  • c_n=(f,\phi_n)=\displaystyle\int_I f(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx

  • ||f||=(f,f)^\frac{1}{2}=\displaystyle\sqrt{\displaystyle\int_I f(x)\overline{f(x)}\;dx} 

A demonstração pode ser vista, por exemplo, em [Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., Addison-Wesley Publishing Company, 1974, p. 309]. 

No caso do sistema de funções \phi(n) ser apenas ortogonal mas não ter uma norma unitária, os coeficientes c_n são os integrais

c_n=\displaystyle\frac{(f,\phi_n)}{||\phi_n||^2}= \displaystyle\frac{\displaystyle\int_If(x)\phi_n(x)\;dx}{\displaystyle\int_I\phi_n(x)\overline{\phi_n(x)}\;dx}.

ADENDA de 8-6-2008: poderá ver nesta entrada outra apresentação desta relação.

Nota: aí utilizo uma notação de produto interno de duas funções diferente.

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