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Gráfico de Γ(x) no intervalo ]-5,5]

gamanosreais

A função especial beta é definida para as variáveis reais x,y pelo integral

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\;dt (1)

que é impróprio mas convergente, no caso de x>0 e y>0 e   pelo menos uma das variáveis x<1 ou y<1.

A função B(x,y) (para x>0 e y>0) relaciona-se com a função especial gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\;dt (2)

através da conhecida identidade

B(x,y)=\dfrac{\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} (3)

que não vou demonstrar.

O que me proponho demonstrar é a chamada fórmula da reflexão ou dos complementos da função gama no domínio real, seguindo o método indicado nos exercícios não resolvidos 10 e 11 da página 683 do livro de Angus E. Taylor, Advanced Calculus, Blaisdell Publishing Company, 1955.

Proposição: Se a for real, é válida a identidade seguinte

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a) (4)

Notação:  \csc a\pi=1/\sin a\pi é  a cosecante de a\pi.

Demonstração: Se 0<a<1, tem-se

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

como resulta da mudança de variável y=1/x. O integral

\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{-a}}{1+x}\;dx

é convergente se a<1, porque nesta condição  \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{x^{a}} é convergente e \dfrac{x^{-a}}{x+1}\cdot x^a tende para 1, quando x tende para 0^+, e,  por outro lado, o integral

\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{y^{a-1}}{1+y}\;dy

também nesse caso é convergente, porque \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{dy}{y^{2-a}} converge e \dfrac{y^{a-1}\cdot y^{2-a}}{1+y} tende para 1, quando y tende para \infty.

Outra representação integral da função beta é:

B(x,y)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}\;du (5)

que se obtém de (1) através das substituição

t=\dfrac{u}{1+u}.

De (5) resulta

B(a,1-a)=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du

=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}}{1+u}\;du+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{-a}}{1+u}\;du=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}\;du

Usando agora o desenvolvimento em série  de

\dfrac{1}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^n,

obtém-se

\dfrac{u^{a-1}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{a-1+n}

e

\dfrac{u^{-a}}{1+u}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{-a+n},

e integrando termo a termo a função integranda \dfrac{u^{a-1}+u^{-a}}{1+u}, como

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{a-1+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

e

(-1)^{n}\displaystyle\int_{0}^{1}u^{-a+n}\;du=\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1},

depois de agrupar os termos pares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{a+n}

com os ímpares da série

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{-a+n+1}

obtém-se no fim a série

\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}.

Em consequência

B(a,1-a)=\Gamma (a)\Gamma (1-a)=\dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}

 Ora, a série de Fourier da função f(x)=\pi\cos ax, em que -\pi\le x\le\pi, é

\pi\cos ax=2a\sin a\pi\left( \dfrac{1}{2a^2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}\cos nx}{n^2-a^2}\right)

que assume o desenvolvimento particular para x=0:

\pi=\sin a\pi\left( \dfrac{1}{a}+2a\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2-a^2}\right)

donde, efectivamente

\dfrac{\pi}{\sin a\pi}=\pi \csc a\pi=B(a,1-a)=\Gamma(a)\Gamma(1-a)\qquad\blacksquare

Esta mesma identidade também se verifica para a complexo.

ADENDA de 23-1-2009: para a=1/2 obtém-se

\dfrac{\pi}{\sin \pi/2}=\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)

donde

\Gamma\left( \dfrac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi} (6)

Actualização de 15-2-2009: acrescentado gráfico da função gama.
 

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A desigualdade de Cauchy-Schwarz, já demonstrada anteriormente, é também uma consequência directa da identidade de Lagrange; neste sentido esta identidade constitui uma generalização dessa desigualdade, que
relembro ser

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^2\right)

\bigskip

Proposição: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se 

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

 =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

 \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima \qquad\square

Correcção de 1-12-2008: na fórmula da desigualdade de Cauchy-Schwarz, bem como no pdf.

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Proponho-me demostrar  a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }(t)+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }(t)

como aplicação do  teorema relativo à derivada total em relação a  t de uma função de duas variáveis reais ambas função de t.

Teorema: Sejam z=f\left( x,y\right) uma aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} diferenciável em \left( x_{0},y_{0}\right) e x=\varphi \left( t\right) e y=\psi \left( t\right) duas aplicações de \mathbb{R} em  \mathbb{R}  diferenciáveis em t_{0}.

Então

\left(\dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dx}{dt}\right) _{t_{0}}+\left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right) _{\left( x_{0},y_{0}\right) }\left(\dfrac{dy}{dt}\right) _{t_{0}}

Demonstração: seja \Delta z o incremento de z=f\left( x,y\right) em \left( x_{0},y_{0}\right) associado a um incremento \Delta t em t_{0}:

\Delta z=f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi\left( t_{0}\right) \right)

 =\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

+\left[ f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) \right]

Por hipótese, \varphi e \psi são diferenciáveis em t_{0} pelo que existem variáveis reais \xi,\eta que tendem ambas para 0 com \Delta t tais que

h=\varphi\left( t_{0}+\Delta t\right) -\varphi\left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\xi \right)

 k=\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) -\psi \left( t_{0}\right) =\Delta t\left( \psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) +\eta \right)

 Admitindo que f_{y}^{\prime } é contínua existe um número real \theta \left( 0<\theta <1\right) tal que a primeira parcela de \Delta z se pode exprimir na forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\Delta t\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =

 =kf_{y}^{\prime }\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}+\theta k\right) \right) =k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

A variável real \beta tende para 0 com \Delta t. Existe ainda outra variável real \alpha que também tende para 0 com \Delta t ; é  tal que a segunda parcela de \Delta z é  da forma

f\left( \varphi \left( t_{0}+\Delta t\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) -f\left( \varphi \left( t_{0}\right) ,\psi \left( t_{0}\right) \right) =h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right)  .

Vem, portanto

\Delta z=h\left( f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\alpha \right) +k\left( f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\beta \right)

Assim, tem-se

\dfrac{\Delta z}{\Delta t}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varepsilon

em que

\varepsilon =\xi f_{x}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \alpha +\xi \alpha +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \beta +\eta f_{y}^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\eta \beta

que tende para 0 com \Delta t. Logo

\left( \dfrac{dz}{dt}\right) _{t_{0}}=\varphi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \varphi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right) +\psi ^{\prime }\left( t_{0}\right) \psi ^{\prime }\left( x_{0},y_{0}\right)

como se queria demonstrar \qquad\square

\bigskip

Exemplo 1: demonstre a seguinte regra de derivação

\dfrac{d}{dt}\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}u^{\prime }+\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }v^{\prime }

Neste caso temos z=f(x,y)=u^{v}, em que x=u\left( t\right) e y=v\left( t\right)  . A derivada f^{\prime }(t) será

f^{\prime }(t)=\dfrac{\partial z}{\partial x}\times \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\times \dfrac{dy}{dt}

sendo

\dfrac{\partial z}{\partial x}=yx^{y-1}=v\left( t\right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) -1}

\dfrac{\partial z}{\partial y}=\left( \ln x\right) x^{y}=\left( \ln u\left( t\right) \right) \left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }

donde se chega imediatamente à  regra enunciada. \qquad\blacktriangleleft

\bigskip

Exemplo 2: determine \left( x^{x}\right) ^{\prime }

Aplica-se a regra do exemplo 1:

\left( x^{x}\right) ^{\prime }=xx^{x-1}+\left( \ln x\right) x^{x}=\left( 1+\ln x\right) x^{x} \qquad\blacktriangleleft

NOTA DE 8-12-2008: a regra de derivação do exemplo 1 pode ser deduzida sem recorrer ao teorema da derivada da função composta, reparando que

\left[ u\left( t\right) \right] ^{v\left( t\right) }=e^{v(t)\ln(u)}

atendendo a u(t)=e^{\ln(u(t))} e aplicando de seguida a regra de derivação da função exponencial.

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A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)   

Demonstração 

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

 

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

[Actualização de 30-9-2008: acrescentado pdf]

ADENDA de 27-11-2008: esta desigualdade é uma consequência directa da identidade de Lagrange demonstrada nesta entrada

Correcção de 1-12-2008: na segunda desigualdade do Teorema

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Para facilidade de consulta, decidi reunir aqui as entradas já publicadas sobre Séries de Fourier:

Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais 

Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval 

Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier 

Séries de Fourier 4 - Problemas 

Séries de Fourier 5 – Problemas II 

Séries de Fourier 6 – Problemas III 

Actualização de 20-11-2008: Suprimido o texto, ficando apenas os links, para evitar diferenças de actualização. 

Américo Tavares

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