Problemas Teoremas

Maio 2, 2012

Equação quártica simétrica

Filed under: Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 12:37 pm
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A determinação das quatro soluções da equação quártica simétrica

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0\qquad (1)

é bastante fácil, como passo a explicar. Não sendo o termo constante a nulo x=0 não é raíz da equação. Dividindo por x^2 fica

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c+bx^{-1}+ax^{-2}&=0\\a\left( x^{2}+x^{-2}\right) +b\left( x+x^{-1}\right) +c&=0\end{aligned}

Fazendo a seguinte mudança de variáveis

z=x+x^{-1}\qquad (2)

obtemos

x^{2}+x^{-2}=z^{2}-2

e

\begin{aligned}a\left( z^{2}-2\right) +bz+c&=0\\az^{2}+bz+c-2a&=0\end{aligned}

Esta equação em z tem as duas raízes

z_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}

z_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}.

Resolvendo (2) em ordem a x, tem-se

x=\dfrac{1}{2}z\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{z^{2}-4}=\dfrac{1}{2}z\pm\sqrt{\dfrac{z^{2}}{4}-1}

donde as quatro soluções de (1) são

\begin{aligned}x_{1}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{2}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\end{aligned}

e

\begin{aligned}x_{3}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{4}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}.\end{aligned}

Artigo relacionado: Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

Abril 19, 2012

Transformação de séries em fracções contínuas

Filed under: Demonstração,Fracções Contínuas,Matemática,Mathematics Stack Exchange,Séries,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 1:03 pm
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Neste post vou apresentar um exemplo: o desta questão de James, no Mathematics Stack Exchange, em que a série a transformar é

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{2^{2^{i}}}

Tradução da minha resposta

Podemos aplicar a seguinte fórmula de transformação geral de uma série numa fracção contínua, que se pode justificar (ver Notas 1 e 2) comparando as relações de recorrência fundamentais de uma fracção contínua com a da soma parcial da série:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{u_{1}}{v_{1}+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}\right)\right) }.

Neste caso tem-se u_{n}=1, v_{n}=2^{\left( 2^{n}\right) }:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{v_{n}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left( \left( -v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+v_{n}\right)\right) }

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right)\right) }

=\dfrac{1}{4+}\dfrac{-16}{20+}\cdots \dfrac{-2^{2^{n+1}}}{2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+}{\cdots }\dfrac{-2^{2^{N}}}{2^{2^{N}}+2^{2^{N-1}}}.

A transformação da série em fracção contínua é então

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right) \right) }.

Nota 1: As somas parciais

s_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{u_{k}}{v_{k}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verificam, para n\geq 2,

s_{n}=s_{n-1}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{A_{n-1}}{B_{n-1}}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{v_{n}A_{n-1}+u_{n}B_{n-1}}{v^{n}B_{n-1}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

o que significa que

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}.

A fracção contínua truncada

\displaystyle\underset{k=1}{\overset{n}{\mathbb{K}}}\left( u_{k}/v_{k}\right) =\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verifica

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}\qquad A_{0}=0

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}\qquad B_{0}=1.

Nota 2: Cálculo algébrico pormenorizado. Para n=1 tem-se

\dfrac{u_{1}}{v_{1}}=\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{A_{1}}{B_{1}}\qquad u_{1}=a_{1}\qquad v_{1}=b_{1}.

Substituindo n por n-1  na primeira recorrência obtem-se para n\geq 3

A_{n-1}=v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n-1}=v_{n-1}\;B_{n-2}

o que por sua vez dá:

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

=v_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +u_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right)

=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}.

A mesma substituição na segunda recorrência conduz a (para n\geq 3):

A_{n-1}=b_{n-1}\;A_{n-2}+a_{n-1}\;A_{n-3}

B_{n-1}=b_{n-1}\;B_{n-2}+a_{n-1}\;B_{n-3}.

Combinando tudo obtém-se:

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;A_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;B_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

Comparando as duas fórmulas de A_{n} e B_{n} vem

A_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

A_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

concluindo-se que

v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;u_{n-1}

v_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}.

Assim

a_{n}=v_{n}\;v_{n-1}-b_{n}\;v_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;v_{n-1}/u_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-v_{n}\;v_{n-1}-u_{n}\;v_{n-1}\;v_{n-1}/u_{n-1}

=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2},

e

b_{n}\;u_{n-1}=v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Logo para n\geq 2,

a_{n}=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Abril 18, 2012

Desigualdade de Cauchy-Schwarz e Identidade de Lagrange

Filed under: Demonstração,Desigualdades matemáticas,Identidade matemática,Matemática,Matemática Discreta,Matemáticas Gerais,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:21 am
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Para comodidade dos leitores reuno aqui as demonstrações da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da identidade de Lagrange.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)

Demonstração

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3}desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

Identidade de Lagrange

A identidade de Lagrange generaliza a desigualdade anterior.

Teorema: Identidade de Lagrange. Para os reais a_{k} e b_{k} (com 1\leq k\leq n) verifica-se

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

Demonstração: O produto de duas somas com n termos cada é uma soma com n^{2} termos:

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}

Os índices i e j de cada termo genérico x_{i}y_{j} podem ser iguais (i=j) ou o primeiro menor do que o segundo (i<j) ou maior (j<i). Separando estes três grupos de parcelas, vem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{i}y_{j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{1\leq j<i\leq n}x_{i}y_{j}

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{j}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}y_{j}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}x_{i}y_{i}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_{i}y_{i}

Particularizando, para x_{i}=a_{i}^{2} e y_{j}=b_{j}^{2} obtém-se

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

e para x_{i}=y_{i}=a_{i}b_{i}

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) \left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)

=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Ora

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

pelo que

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+2\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}

Por outro lado

2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}=a_{i}^{2}b_{j}^{2}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

donde

\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}b_{i}^{2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}+

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

=\left( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right) -\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\left( a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right) ^{2}

visto que, por troca dos índices i e j, se tem

\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}a_{j}^{2}b_{i}^{2}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}

provando-se assim a identidade indicada acima.

\square

Ficheiro pdf

Março 30, 2012

Número de zeros finais de n factorial, n!

Filed under: Demonstração,Exercícios Matemáticos,Matemática,Mathematics Stack Exchange,Teorema / Teoria,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 10:09 pm
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Adaptado  desta resposta, no MSE, a esta pergunta de user25329, aproveitando  esta minha  entrada do início deste blogue.

O número de zeros finais de n! é igual ao expoente de 5 da factorização em números primos de n!, o qual é um caso particular da Fórmula de Polignac^{1,2} geral, sendo  dado por

e_{5}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 5\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{5^{i}}\right\rfloor\qquad (1)

Pela mesma fórmula o exponente de 2 desa factorização é

e_{2}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 2\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{2^{i}}\right\rfloor\qquad (2)

Para todo o n existe um m tal que n!=2^{e_2(n!)}\cdot 5^{e_5(n!)}m=(2^{e_2(n!)-e_5(n!)}m)10^{e_5(n!)}, o que conjuntamente com a demonstração apresentada na nota 2 mostra a validade de (1),(2).

Exemplo: n=50. O expoente de 2 da factorização em primos de 50! é igual a

\begin{aligned}e_2(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\left\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\right\rfloor &=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{2^{2}} \right\rfloor +\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{3}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{5}}\right\rfloor\\&=25+12+6+3+1\\&=47,\end{aligned}

enquanto que o exponente de 5 é igual a

\displaystyle e_5(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5^{i}}\right\rfloor=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\right\rfloor =10+2=12.

Assim, o número de zeros finais de 50!=2^{47}5^{12}m=(2^{35}m)10^{12} é igual a 12.

—

^1 Este teorema também é conhecido pelo nome de teorema de Legendre.

^2 Para todo o inteiro n o expoente do primo p da factorização em primos de n! é igual a

\displaystyle\sum_{i= 1}^{\left\lfloor\log n/\log p\right\rfloor}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor.\qquad (0)

Este expoente obtém-se adicionando aos números entre 1 e n que são dvisíveis por p o número dos que são divisíveis por p^{2}, depois os que são de p^{3}, e assim sucessivamente. Este processo termina na maior potência de p^{i}\leq n.

Agosto 4, 2011

Aplicação da fórmula de Herão: determinação do perímetro de um triângulo dadas as três alturas

Filed under: Exercícios Matemáticos,Geometria,Matemática,Matemática-Secundário,Mathematics Stack Exchange,Problemas,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:29 pm
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Neste meu antigo post apresentei uma dedução geométrica da fórmula de Herão da área S de um triângulo, que também pode ser obtida por métodos trigonométricos:

S=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right)},

em que  2p=a+b+c é o perímetro e a,b e c são os lados.

Na questão recente Find the perimeter of any triangle given the three altitude lengths , no MSE, de Chris Johnson são dados os comprimentos das três alturas 12,15 e 20 de um triângulo e pede-se um método que permita determinar o seu perímetro. André Nicolas utilizou um que aplica a fórmula de Herão da área de um triângulo. Eis uma tradução de parte da minha  resposta, que segue o mesmo método.

No caso geral de um triângulo com alturas h_{1},h_{2},h_{3} perpendiculates respectivamente aos lados a,b,c, a sua área é S=\dfrac{ah_{1}}{2}=\dfrac{bh_{2}}{2}=\dfrac{ch_{3}}{2}. Consequentemente a=\dfrac{2S}{h_{1}}, b=\dfrac{2S}{h_{2}}, c=\dfrac{2S}{h_{3}}, pelo que o perímetro 2p e o semi-perímetro p do triângulos são dados por

\begin{aligned}2p&=a+b+c=\dfrac{2S}{h},\\p&=\dfrac{S}{h},\end{aligned}

em que h é tal que

\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{h_{1}}+\dfrac{1}{h_{2}}+\dfrac{1}{h_{3}}\Leftrightarrow h=\dfrac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{2}h_{3}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}}.

Logo

S=\sqrt{\dfrac{S}{h}\left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{1}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{2}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{3}}\right) }=\dfrac{S^{2}}{h^{2}}\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}.

Resolvendo em ordem a S, obtemos

S=\dfrac{h^{2}}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right)\left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}}

e finalmente o perímetro em função de h,h_1,h_2 e h_3, sendo h uma função de h_1,h_2,h_3, como atrás indicado:

2p=\dfrac{2h}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right)\left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}}.

Para o caso numérico h_1=12,h_2=15,h_3=20 obtém-se 2p=60.

Julho 20, 2011

Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

Filed under: Exercícios Matemáticos,Livros,Matemática,Teorema / Teoria,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 10:04 pm
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 Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo.


O objectivo fundamental do seu ensino no liceu era o de «preparar o aluno para prosseguir estudos superiores»(p.IX) e o programa oficial: «Teoria dos números inteiros considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.» Dizem os autores: «Para que a Aritmética se possa chamar Racional é indispensável que ela seja apresentada sob a forma duma teoria dedutiva, e para isso é necessário distinguir cuidadosamente as proposições primitivas das proposições demonstráveis».(p. IX)

Ao expor as leis da unicidade, associativa, modular e comutativa da adição e da multiplicação (p.20-21), enquadram-nas nas leis dum Grupóide, conceito da Álgebra Moderna que não aparece no meu livro do liceu, com o mesmo nome, da década de 1960, de J. Jorge Calado.

Como ilustração do método usado transcrevo o enunciado, a demonstração e um exercício de aplicação do teorema de Fermat. (p. 152-154)

« Teorema 13. (De Fermat). Se p fôr primo então a^{p-1}\equiv 1\pmod p.

Dem. Seja a\not\equiv 0 e consideremos os produtos:

(1)\qquad b_1=1\cdot a,b_2=2a,\ldots,b_{p-1}=(p-1)a.

Nenhum produto b_{k}=ka (onde k=1,2,\ldots,p-1) pode verificar a condição ka\equiv 0, porque então seria (§57) k\equiv 0 (o que é impossível por hipótese).

Por outro lado, se i\neq j não pode ser b_{i}\equiv b_{j}, porque se fôsse ia\equiv ja, seria (Teor. 10) i\equiv j. Ora sendo i e j inferiores a p para que a diferença entre i e j seja divisível por p é necessário e suficiente que seja i=j, o que contradiz a hipótese i\neq j. Em resumo os elementos da sucessão (1) são dois a dois incongruentes entre si e nenhum dêles é congruente a 0. Podemos, por isso, afirmar que b_{1},b_{2},\ldots ,b_{p-1} são, respectivamente, congrupentes aos inteiros 1,2,\ldots ,p-1 escritos numa certa ordem. Daqui resulta que:

b_{1},b_{2}\cdots b_{p-1}\equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots (p-1)\quad \pmod p

ou

(1a)(2a)\cdots ((p-1)a)\equiv (p-1)!\pmod p

ou ainda

(p-1)!a^{p-1}\equiv (p-1)!\pmod p

donde, pela lei do Corte:

a^{p-1}\equiv 1\pmod p,

 c. q. d. »

« Exercício 10. Se p fôr um número primo ímpar e se a não fôr divisível por p tem-se: a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 ou a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p.

[ Sugestão: Note que

a^{p-1}-1=(a^{\frac{p-1}{2}}-1)(a^{\frac{p-1}{2}}+1). ]

Aplicação: O cubo dum inteiro não divisível por 7 é um múltiplo de 7 mais ou menos 1 »

Julho 1, 2011

Mínimo múltiplo e máximo divisor comuns de dois ou mais racionais

Filed under: Matemática,Mathematics Stack Exchange,Teorema / Teoria,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:12 am
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Nesta questão no MSE peakit pergunta como se deduzem duas propriedades do mínimo e do máximo múltiplo comum dos números racionais, que passo a expor, na forma que dei à minha resposta.

Admitamos que se têm duas fracções reduzidas \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}. Sejam

\begin{aligned}a&=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(a)},\qquad b=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(b)}, \\c&=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(c)},\qquad d=\displaystyle\underset{i}{\prod } p_{i}^{e_{i}(d)}.\end{aligned}

as  factorizações em números primos  dos inteiros a,b,c e d. Então a fracção

\dfrac{\displaystyle\underset{i}{\prod }\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\displaystyle\underset{i}{\prod }\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}

é um múltiplo comum a \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}; é o mínimo pelas propriedades de \text{mmc} and \text{mdc} de dois inteiros;  \prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) } é o mínimo múltiplo comum dos numeradores e \prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) } é o máximo divisor comum dos denominadores. Assim

\begin{aligned}\text{mmc}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) &=&\text{mmc}\left( \dfrac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(b)}},\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(d)}}\right)=\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}=\dfrac{\text{mmc}(a,c)}{\text{mdc} (b,d)}.\quad(1)\end{aligned}

De forma semelhante

\begin{aligned}\text{mdc}\left( \dfrac{a}{b},\dfrac{c}{d}\right) &=&\text{mdc}\left( \dfrac{{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(a)}}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(b)}},\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(c)}}{\prod_{i}\ p_{i}^{e_{i}(d)}}\right)=\dfrac{\prod_{i}\ p_{i}^{\min \left( e_{i}(a),e_{i}(c)\right) }}{\prod_{i}\ p_{i}^{\max \left( e_{i}(b),e_{i}(d)\right) }}=\dfrac{\text{mdc}(a,c)}{\text{mmc} (b,d)}.\quad(2)\end{aligned}

Aplicando repetidamentes esta relações generalizamos este resultado a um número finito de fracções.

Junho 29, 2011

Gervasio Gurgel Bastos — Sobre Raízes Reais da Cúbica Real

Filed under: Demonstração,Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 3:37 pm
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[Este artigo teórico é de autoria de Gervasio Gurgel Bastos, Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, que comentou o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) e, no seguimento, me enviou esta versão em pdf, que aqui publico, com sua autorização  - AT]

« Resumo: São dadas duas demonstrações para o fato de serem reais as três raízes distintas da equação do terceiro grau com coeficientes reais cujo discriminante é positivo.

1. As Fórmulas de Cardano

No ano de 1545 foram publicadas pela primeira vez as fórmulas de resolução por radicais da equação do 3.º grau:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (C)

com a(\neq 0),b,c,d números reais. O processo de “completamento do cubo” reduz (C) à sua forma reduzida

z^{3}+pz+q=0\qquad (CR)

onde p e q são expressões polinomiais em função dos coeficientes originais. A mudança de variável se expressa por z=x+b/3a. O célebre truque x=u+v, com u e v não nulos, leva à determinação das fórmulas de Cardano (G. Cardano,1501-1576). A saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\\\\x_{2}&=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\qquad (FC)\\\\x_{3}&=\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\end{aligned}

onde

\delta =-4p^{3}-27q^{2},\quad w=e^{\frac{2\pi }{3} i}=\cos 2\pi /3+i\mathrm{sen\;}2\pi /3=-1/2+i\sqrt{3}/2

e os radicais complexos devem ser tomados tais que

\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) \cdot\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) =-p/3.

Os números (não necessariamente reais) u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}} e v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}} são as raízes da equação quadrática resolvente y^{2}+qx-p^{3}/27=0. Assim, para (u,v) temos nove pares correpondentes à extracção das raízes cúbicas complexas de u^{3} e v^{3} dos quais só interessam aqueles três satisfazendo à condição uv=-p/3.

2. O caso \delta >0

A partir de x_{1}=u+v,x_{2}=wu+\overline{w}v e x_{3}=\overline{w}u+wv encontramos (x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=\delta . Essa formulação do discriminante em termos das raízes permite uma discussão sobre as raízes de (CR). Assim, por exemplo, quando \delta =0 tem-se três raízes distintas (raízes simples). Quando \delta >0 tem-se três raízes reais distintas.

Primeira demonstração: Supondo que uma das raízes fosse não real, digamos x_{1}=a+bi, com a,b reais, b\neq 0, teríamos que x_{1} também seria raiz de (CR), digamos x_{2}=\overline{x}_{1}. Pelas relações de Girard (A. Girardi, 1590-1633), temos 0=x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}+\overline{x}_{1}+x_{3} e portanto x_3=-2a  é um número real. Logo, teríamos

(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=(2bi)^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(\overline{x}_{1}-x_{3})^{2}=-4b^{2}|x_{1}-x_{3}|^{4}<0,

contradição. Olhando de novo para as (FC), temos um aparente paradoxo. De fato, na fórmula

x_{1}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},

o lado esquerdo é real, mas no lado direito aparece uma soma de raízes cúbicas de números complexos não reais. Para decifrar esse mistério, provemos inicialmente o seguinte

Teorema 1. Se z_{1} e z_{2} são números complexos com mesmo módulo e cujo produto é um número real c>0, então z_{2}=\overline{z}_{1}.

Prova. Sejam \theta =\mathrm{Arg} z_{1} e \varphi =\mathrm{Arg} z_{2}. Então, temos \theta +\varphi \equiv \mathrm{Arg} c, i.e. \theta +\varphi =2\pi . Portanto, z_{2}=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=\overline{z}_{1}. \blacksquare

Segunda demonstração: Voltando ao discriminante \delta , agora com sua definição pelos coeficientes da cúbica, notemos que as condições 0<\delta =-4p^{3}-27q^{2} e

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\cdot \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=-p/3

implicam, pelo teorema 1,

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=\overline{\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}}.

Logo, as raízes de (CR) dadas pelas fórmulas de Cardano, a saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},\\&&\\x {2}&=w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\end{aligned}

e

x_{3}=\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}

são números reais.

Observação 1. Convém salientar que nos casos \delta \leq 0, que inclui o clássico exemplo do Casus Irreducibilis (coeficientes inteiros, sem raiz racional), podemos tomar os radicais cúbicos reais nas (F C). »


* * *

Este artigo cobre uma lacuna na forma meramente “calculatória” das minhas entradas no blog sobre a cúbica, notando-se claramente que saiu da pena de um matemático.

Junho 25, 2011

Republicação da demonstração combinatória (ou combinatorial) da convolução de Vandermonde e de outra soma binomial

Filed under: Combinatória,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Matemática Discreta,Teorema,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 1:05 pm
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(Inicialmente publicada nesta entrada.)

Proposição: É válida a seguinte identidade combinatória

\dbinom{n+m}{r}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j}

que é a chamada convolução de Vandermonde.

Pondo n=m, obtém-se

\dbinom{2n}{r}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\binom{n}{r-j}

e para r=n, finalmente,

\dbinom{2n}{n}=\displaystyle\sum_{j=0}^{r}\dbinom{n}{j}\dbinom{n}{n-j}=\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\dbinom{n}{j}^{2}=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}.

\bigskip

Demonstração:

Existe uma demonstração meramente combinatória da convolução de Vandermonde:

Dado o conjunto C = \left\{ c_{1,}c_{2},\ldots,c_{n},c_{n+1},c_{n+2},\ldots ,c_{n+m}\right\}, considerem-se dois subconjuntos de C disjuntos, isto é, sem elementos comuns, um C_{1}=\left\{ c_{1,}c_{2},\ldots ,c_{n}\right\} com n elementos e outro com m, C_{2}=\left\{ c_{n+1,}c_{n+2},\ldots ,c_{n+m}\right\}, tais que C=C_{1}\cup C_{2}.

O segundo membro conta o número de maneiras distintas de escolher r elementos de entre os n+m de C.

Quanto ao primeiro membro, comecemos por reparar que

(a) há \dbinom{n}{j} maneiras distintas de escolher j elementos entre os n de C_{1};

(b) há \dbinom{m}{r-j} maneiras distintas de escolher r-j elementos entre os m de C_{2};

(c) pelo que há \dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j} maneiras distintas de seleccionar j elementos de C_{1} e simultaneamente r-j de C_{2}.

Ora, se somarmos todas estas parcelas \dbinom{n}{j}\dbinom{m}{r-j} para os possíveis valores que j pode tomar, desde j=0 até j=n, obtemos evidentemente o mesmo número \dbinom{n+m}{r}. Como mostrámos a igualdade dos dois membros da identidade da convolução de Vandermonde, concluímos a justificação. \blacksquare

Os casos particulares referidos obtêm-se imediatamente. A última identidade é também um caso particular de

Proposição: Quaisquer que sejam os inteiros k e n tais que 0\leq k \leq n, tem-se

\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n}

que foi demonstrada aqui e que repito.

Demonstração:

Comecemos por reparar que poderíamos ter escolhido para limite inferior do somatório 0 , em vez de k, porque para i<k, \binom{i}{k}=0, por convenção usual.

O segundo membro (lado direito) conta o número de maneiras diferentes de escolher k elementos dum conjunto, tal como S=\left\{ s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}\right\} com n elementos e, ao mesmo tempo, n elementos doutro conjunto, por exemplo X=\left\{ x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},\ldots,x_{2n-k}\right\} com 2n-k elementos.

Quanto ao primeiro membro, considerem-se dois subconjuntos de X disjuntos (sem elementos comuns), um X_{1}=\left\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right\} com n elementos, e outro X_{2}=\left\{x_{n+1},\ldots,x_{2n-k}\right\} com 2n-k elementos, tais que X_{1}\cup X_{2}=X.

Escolhamos agora n elementos de X pertencendo i deles a X_{1} e n-i a X_{2}, com 0\leq i\leq n.

(a) Há \dbinom{n}{i} maneiras diferentes de escolher i elementos entre os n de X_{1};

(b) há \dbinom{n-k}{n-i}=\dbinom{n-k}{i-k} maneiras diferentes de escolher n-i elementos entre os n-k de X_{2};

(c) daqui decorre que, para um dado i, há \dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k} maneiras distintas de seleccionar esses n elementos de X. Assim, cada parcela, \dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k}\dbinom{n}{k} conta o número de maneiras diferentes de escolher n elementos de X (dos quais i\in X_{1} ) e, simultaneamente, k de S. Somando, para todos os possíveis valores de i , estas parcelas, obtemos o número total

\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}\dbinom{n-k}{i-k}\dbinom{n}{k}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}

A primeira igualdade é justificada por

\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{i-k}=\dbinom{n}{i}\dbinom{i}{k}

e a segunda pela observação inicial.

É claro que as duas contagens, a directa representada pelo produto do segundo membro e a indirecta, pela soma do primeiro (lado esquerdo) hão-de ser iguais, o que mostra

\displaystyle\sum_{i=k}^{n}\dbinom{n}{i}^{2}\dbinom{i}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{2n-k}{n},

como pretendíamos. \blacksquare

Nota: o leitor poderá ver várias demonstrações algébricas e analíticas no blogue Fatos Matemáticos do Prof. Paulo Sérgio, na entrada   Algumas Demonstrações da Convolução de Vandermonde-Euler.

Janeiro 12, 2011

Fracções contínuas generalizadas — Diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos

Filed under: Fracções Contínuas,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:21 am
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Proponho-me demonstrar três fórmulas relativas às diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos A_{n},B_{n} da fracção contínua generalizada

\dfrac{A_{n}}{B_{n}}=b_{0}+\underset{\nu =1}{\overset{n}{\mathbf{K}}}\left( \dfrac{a_{\nu}}{b_{\nu}}\right)\qquad (0)

a partir da relação de recorrência fundamental

\left\{ \begin{array}{c}b_{\nu }A_{\nu -1}+a_{\nu }A_{\nu -2}=A_{\nu } \\ b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}=B_{\nu }\end{array}\right. \qquad(\nu=1,2,\dots,n)\qquad (1)

e das condições iniciais a ela associadas A_{-1}=1, B_{-1}=0, A_{0}=b_{0}, B_{0}=1.

1. Demonstração da fórmula chamada do determinante (*)

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }\qquad (2)

Partindo da relação de recorrência (1), se multiplicarmos a primeira equação por B_{\nu -1} e a segunda por A_{\nu -1} e subtraírmos esta daquela, resulta

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=-a_{\nu }\left( A_{\nu -1}B_{\nu-2}-A_{\nu -2}B_{\nu -1}\right) \qquad (3)

Como

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=(b_{0}b_{1}+a_{1})1-b_{0}b_{1}=a_{1}

vemos que a identidade (3) é verificada para \nu =1:

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=-a_{1}(A_{0}B_{-1}-A_{-1}B_{0})=-a_{1}(-1)=a_{1}

Aplicando (3) repetidamente, ao fim da iteração de ordem \nu obtemos a identidade (2):

A_{2}B_{1}-A_{1}B_{2}=-a_{2}(A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1})=-a_{1}a_{2}

A_{3}B_{3}-A_{2}B_{3}=-a_{3}(A_{2}B_{1}-A_{1}B_{0})=a_{1}a_{2}a_{3}

\vdots

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }

(mais…)

Dezembro 2, 2010

Plano tangente e recta normal a uma superfície

Filed under: Cálculo,Exercícios Matemáticos,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 2:06 am
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No caso geral de uma superfície definida pela equação z=f(x,y), se f(x,y) for uma função contínua e admitir derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0}), a equação da recta tangente à curva z=f(x,y_{0}) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo y é, por definição de derivada parcial, dada por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0}) \\ y=y_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast )

enquanto que a recta tangente à curva z=f(x_{0},y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e perpendicular ao eixo x é definida por

\left\{ \begin{array}{c}z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0}) \\ x=x_{0}\end{array}\right. \qquad (\ast \ast )

As duas rectas tangentes definem o plano tangente à superfície no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) — admitindo a condição suplementar de f(x,y) ser diferenciável em (x_{0},y_{0}) . A equação geral de um plano é

Ax+By+Cz+D=0

Como este plano passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) há-de verificar-se

Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0}+D=0

donde, por subtracção ordenada, se obtém

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0

ou, de forma equivalente:

z=z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right) -\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)\qquad (\ast \ast \ast )

Determinamos agora os coeficientes de maneira a que contenha as rectas (\ast ) e (\ast \ast ). Fazendo, respectivamente, y=y_{0} e x=x_{0} em (\ast \ast \ast ) obtemos uma e outra recta, pelo que deverá ser

z_{0}-\dfrac{A}{C}\left( x-x_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})

z_{0}-\dfrac{B}{C}\left( y-y_{0}\right)=z_{0}+\left.\dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert _{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

chegando-se assim à  equação do plano tangente

z=z_{0}+\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(x-x_{0})+\left. \dfrac{\partial f}{\partial y}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}(y-y_{0})

Exemplo: Determine a equação do plano tangente à  superfície quártica  ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1 no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) e a da recta normal à superfície nesse ponto.

Resolução: A função z=f(x,y) definida por ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=1, ou seja z=\pm \frac{1}{c}\sqrt{c\left( 1-ax^{2}-by^{2}\right) }  admite as seguintes derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y no ponto (x_{0},y_{0})

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{ax_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}

\left. \dfrac{\partial f}{\partial x}\right\vert_{(x_{0},y_{0})}=\mp\dfrac{by_{0}}{\sqrt{c\left( 1-ax_{0}^{2}-by_{0}^{2}\right) }}=-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}

pelo que o plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) tem por equação

z=z_{0}-\dfrac{a}{c}\dfrac{x_{0}}{z_{0}}(x-x_{0})-\dfrac{b}{c}\dfrac{y_{0}}{z_{0}}(y-y_{0})

ou

ax_{0}x+by_{0}y+cz_{0}z=1\text{.}

Um  vector normal a este plano é o vector \mathbf{n}=(ax_{0},by_{0},cz_{0}). A equação  vectorial da recta normal é então

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(ax_{0},by_{0},cz_{0})

donde

\dfrac{x-x_{0}}{ax_{0}}=\dfrac{y-y_{0}}{bx_{0}}=\dfrac{z-z_{0}}{cz_{0}}\text{.}

Nota 1: um método alternativo de obter as derivadas parciais é diferenciar ambos os membros de

ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1=0

em ordem a x e y:

2ax+2cz\dfrac{\partial z}{\partial x}=0\qquad 2by+2cz\dfrac{\partial z}{\partial y}=0

e resolver em ordem a \partial z/\partial x e \partial z/\partial y

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}

Nota 2: se considerarmos a função F(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1 e calcularmos as suas derivadas parciais, obtemos

\dfrac{\partial F}{\partial x}=2ax\quad\dfrac{\partial F}{\partial y}=2by\quad \dfrac{\partial F}{\partial z}=2cz

pelo que podemos exprimir \partial z/\partial x e \partial z/\partial y da seguinte forma

\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{ax}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial x}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}\qquad\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{by}{cz}=-\dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial y}}{\dfrac{\partial F}{\partial z}}

Adenda: como o leitor poderá verificar facilmente, no caso geral da superfície z=f(x,y), nas condições referidas, o vector normal tem como coordenadas x e y as derivadas parciais em relação a, respectivamente, x e y e a coordenada z=-1: \mathbf{n}=(f_{x}^{\prime }(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime }(x_{0},y_{0}),-1) (numa notação alternativa das derivadas parciais), a que corresponde a seguinte equação da recta normal

(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+k(f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0}),f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0}),-1)

ou

\dfrac{x-x_{0}}{f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=\dfrac{y-y_{0}}{f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})}=-(z-z_{0})

Adenda: Em notação compacta a equação do plano tangente a uma superfície definida implicitamente por F(x,y,z)=0, no ponto \left( x_0,y_0,z_0\right), em que  \mathbf{x}=\left( x,y,z\right), é a seguinte

\left( \mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right) \cdot \mathbf{\nabla }F(\mathbf{x}_{0})=0,

como poderá ver nesta minha resposta no MSE.

Edições de 6 e 7-12-2010: alterações diversas.

Novembro 8, 2010

Funcões trigonométricas inversas em termos das funções exponencial e logarítmica

Filed under: Análise Complexa,Identidade matemática,Matemática,Teorema / Teoria,Trigonometria — Américo Tavares @ 8:28 pm
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Já sabia que as funcões trigonométricas directas se podem exprimir em termos da função exponencial complexa. Mas só recentemente aprendi que, acrescentando-lhe o logaritmo, o mesmo acontece com as funções trigonométricas inversas, que têm uma representação fechada nas funções exponencial e logarítmica, como é o caso da função (que aparece, como exemplo, em What is a Closed-Form Number? de Timothy Y. Chow )

f(x)=\arccos x=-i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

cuja verificação é simples. Começo por dar outra forma à função exponencial do 2.º membro:

e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}=\sqrt{x^{2}-1}

Então

\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right) =\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

pelo que

f(x)=-i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

Calculo agora o \cos [f(x)]:

\cos [f(x)] =\cos \left( -i\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \right)

Da identidade bem conhecida

\cos \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}

na forma

\cos i\alpha =\dfrac{e^{-\alpha }+e^{\alpha }}{2}

deduzimos sucessivamente:

\cos \left[ f(x)\right] =\dfrac{e^{-\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }+e^{\log \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) }}{2}

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}+x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\left( 1+\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) ^{2}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }{\left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \left( x-\sqrt{x^{2}-1}\right) }=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2x}{1}=x

pelo que efectivamente

f(x)=\arccos x

E como se exprime \arcsin x nestas funções? Atendendo a que \arcsin x=\dfrac{\pi }{2}-\arccos x e dado que \log (-1)=\log 1+i\pi =i\pi , obtemos

\arcsin x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log \left( x+e^{\dfrac{\log \left( x^{2}-1\right) }{2}}\right)

A relação trigonométrica

\arctan x=\arcsin \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

permite chegar a

\arctan x=-i\dfrac{\log (-1)}{2}+i\log\left( \dfrac{e^{\log x}}{e^{\dfrac{\log (x^{2}+1)}{2}}}+e^{\dfrac{\log \left( \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}-1\right) }{2}}\right)

Adenda: acrescento, como me foi sugerido, uma pequena referência às funções hiperbólicas, que também gozam da mesma propriedade. Por exemplo:

\sinh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})

Vê-se na Wikipédia que a função hiperbólica inversa se exprime na função logarítmica:

\arg \sinh x=\log (x+\sqrt{x^{2}+1})

o que se pode verificar, calculando o seno hiperbólico de \arg \sinh x assim representado, chegando-se naturalmente a x:

\sinh (\arg \sinh x)=\sinh \left( \log (x+\sqrt{x^{2}+1})\right)

=\dfrac{1}{2}\left( e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}-\dfrac{1}{e^{\log (x+\sqrt{x^{2}+1})}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+1}-\dfrac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right)

=\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) ^{2}-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\right) =-\dfrac{1}{2}\left( -2x\right) =x

Da definição do co-seno hiperbólico

\cosh x=\dfrac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})

obtemos as identidades hiperbólicas

\cosh x+\sinh x=e^{x}

e

\cosh ^{2}x=\dfrac{1+\cosh 2x}{2}

Como

\sinh ^{2}x=\dfrac{-1+\cosh 2x}{2}

a soma dos quadrados vem

\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x

e a sua diferença

\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1

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