Problemas Teoremas

Março 9, 2010

Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

Filed under: Demonstração,Fibonacci,Matemática,Recorrência,Sucessões — Américo Tavares @ 9:37 pm
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No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que transcrevo em parte:

« ‘Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100%-61,8%=38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é  161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci (…).’ »

Citando a parte «a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de  61,8%», para dar uma explicação possível, escrevi, em comentário:

« A sucessão de Fibonacci é gerada pela seguinte relação de recorrência x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1} com as condições iniciais x_{1}=x_{2}=1.  Assim

\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}

\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\lim \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}=1+\dfrac{1}{\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}}

Se esta sucessão tiver limite, há-de ser maior do que um (por a sucessão de Fibonacci ser crescente) e satisfazer a relação

l=1+l^{-1}

em que

l=\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}>1

Por isso

l^{2}=l+1

l^{2}-l+1=0

ou

l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi

e o limite de aproximadamente 61,8\% é o inverso de l :

\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\approx 0,61803. »

Poderá ver a dedução da fórmula explícita do termo geral da sucessão de Fibonacci nesta minha entrada já antiga.

Fevereiro 22, 2009

Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

Filed under: Blogue,Estatísticas,Exercícios Matemáticos,Fibonacci,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:30 pm
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123456 

A propósito do número de visitas deste blogue — o contador do WordPress passou hoje por 123456 — lembrei-me de  ver se descobria algo de interessante nele. Por exemplo:

1 - Quantos divisores admite?

Para respondermos a esta questão sem os indicar explicitamente, podemos recorrer a um teorema da aritmética racional (ou teoria dos números) cujo enunciado é:

O número de divisores do  inteiro n é a função aritmética d(n) cuja expressão analítica é 

d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)

em que e_1,e_2,\dots , e_k são os expoentes da decomposição factorial em números primos de n

n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}

Então, como

123456=2^6\times 3\times 643

o número de divisores de 123456 é

d(123456)=(6+1)(1+1)(1+1)=28

2 - Como se escreve na base 6?

Como

123456=0+2\times 6+3\times 6^2+1\times 6^3+5\times 6^4+3\times 6^5+2\times 6^6

 tem-se

(2351320)_6=(123456)_{10}

Penso acrescentar mais exemplos, no futuro, aqui. São quase 23h30m e pretendo “postar” ainda hoje.

(Continuação, 23-2-2009)

3 - Quais são os maiores números de Fibonacci de que é soma?
 Ora, como
123456=121393+1597+377+55+21+13

=x_{26}+x_{17}+x_{14}+x_{10}+x_{8}+x_{7}

em que

x_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}{\sqrt{5}}

é o número de Fibonacci de ordem n, os números são precisamente x_{26},x_{17},x_{14},x_{10},x_{8},x_{7}.

4 - Em quantos modos diferentes se pode decompor num produto de factores primos ente si?

Atendendo a que há 3 potências (2^6,3,643)  na sua decomposição em primos, a resposta é 2^{3-1}=4, e que são:

123456=1\times 123456

123456=2^6\times (3\times 643)=64\times 1929

123456=(2^6\times 3)\times 643)=192\times 643

123456=(2^6\times 643)\times 3=41152\times 3

(Continuação, 24-2-2009)

5 - Qual é o resto da divisão inteira do seu cubo por 7?

Sem fazer a conta na calculadora, podemos utilizar propriedades das congruências, para chegar ao resultado.

Notação e definição: a\equiv b\; (\mod m) , que se lê a é congruente com b para o módulo m, significa que a-b é  um múltiplo de m (com a,b,c inteiros).

Ora, 64\times 1929=123456, 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) e 1929\equiv 4\;\left( \mod 7\right) . Pela propriedade da relação de congruência que diz que

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv d\;\left( \mod m\right) , então ac\equiv bd\;\left( \mod m\right)

 vem

123456= 64\times 1929\equiv 1\times 4\;\left( \mod 7\right) =4\;\left( \mod 7\right)

e por outra propriedade, a que diz que

se a\equiv b\;\left( \mod m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\;\left( \mod m\right)

 tem-se

123456^{3}\equiv 4^{3}\;\left( \mod 7\right) =64\;\left( \mod 7\right)

E como 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) , pela propriedade transitiva da relação de congruência

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv c\;\left( \mod m\right) , então a\equiv c\;\left( \mod m\right)

 conclui-se que

  123456^{3}\equiv 1\;\left( \mod 7\right)

 pelo que o resto é  1.

(Continuação, 25-2-2009)

6 - Qual é a soma dos seus divisores?

Sabendo-se a factorização em primos de um número n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}  a soma dos seus divisores é dada por

\dfrac{p_{1}^{^{e_{1}+1}}-1}{p_{i}-1}\times \dfrac{p_{2}^{e_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\times \cdots \times \dfrac{p_{k}^{e_{k}+1}-1}{p_{k}-1}

No caso de 123456=2^{6}\times 3\times 643 será

\dfrac{2^{7}-1}{1}\times \dfrac{3^{2}-1}{2}\times \dfrac{643^{2}-1}{642}=327152

(mais…)

Dezembro 4, 2007

Sucessão de Fibonacci

Filed under: Caderno,Fibonacci,Matemática,Recorrência — Américo Tavares @ 12:33 pm
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pdf: ver caderno

No blogue Matemática (de Rodrigo Gonçalez) apareceu recentemente (2-12-2007) um excelente artigo intitulado “Natureza Elegante – os Números de Fibonacci“.
Lembrei-me que é possível determinar a fórmula explícita do termo geral desta sucessão, a partir da relação de recorrência que habitualmente a define:

x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1}   com as condições iniciais x_1=x_2=1.

A fórmula é

x_{n}=\displaystyle\frac{a^n-b^n}{a-b},

em que a e b são as raizes da equação

x^2-x-1=0.

[Ver o livro Apostol, Tom, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, 2nd. ed., p. 25, Exercise 1.5]

Neste livro a dedução desta propriedade é deixada ao leitor. Apresento a minha.

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