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Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Outubro 16, 2008 in Análise, Caderno, Cálculo, Demonstração, Exercício, Matemática, Matemática Gerais, Problema, Recorrência, Teorema / Teoria, sucessões | Tags: , , , , | Leave a comment

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Se o termo geral de uma sucessão for constante (u_{n}=c), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1. E qual é o limite de \sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c} quando c>0? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1.

Considere agora o leitor que u_{n}=c^{n}, com c>0. Como \sqrt[n]{c^{n}}=c claro que \lim \sqrt[n]{u_{n}}=c. Por outro lado, sendo neste caso \lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c, verifica-se igualmente a igualdade

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}. leia o resto »

Uma nova relação de recorrência geradora de números primos e 1’s demonstrada por Eric Rowland

Julho 27, 2008 in Computação, Matemática, Notícia, Recorrência, Software, Teoria dos Números, sucessões | Tags: , , , | Leave a comment

Eric Rowland demonstrou que a seguinte relação de recorrência só gera 1’s e números primos 

a(n)-a(n-1)=\text{mdc }(n,a(n-1))

(com a condição inicial a(1)=7) no artigo recentemente publicado no Journal of Integer Sequences, Vol. 11 (2008), Article 08.2.8  intitulado  A Natural Prime-Generating Recurrence cujo resumo transcrevo:

« For the sequence defined by a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1)) with a(1) = 7 we prove that a(n)-a(n-1) takes on only 1’s and primes, making this recurrence a rare naturally occurring generator of primes. Toward a generalization of this result to an arbitrary initial condition, we also study the limiting behavior of a(n)/n and a transience property of the evolution. »

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["gcd" significa "greatest common divisor"]

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Anteriormente tive oportunidade de ler alguns artigos de Rowland sobre a função zeta de Riemann publicados há uns anos na Internet. 

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Actualização de 2-8-2008: Eric Rowland indica neste post A simple recurrence that produces complex behavior — and primes! de A New Kind of Science Blog a origem deste seu trabalho. Entretanto criou esta demonstração que explora a recorrência. Inicialmente tomei conhecimento deste artigo de Eric Rowland, no JIS, neste post de Jeffrey Shallit no blogue Recursivity , através desta entrada do blogue Logic Nest.

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Seja r(n)=a(n)-a(n-1). O seguinte código permite obter, no software PARI (free software com licença GNU General Public License), os termos diferentes de um, para 2<n<101, da sucessão r(n).

r(5)=5,r(6)=3,r(11)=11,r(12)=3,r(23)=23, r(24)=3,r(47)=47,r(48)=3,r(50)=5,r(51)=3.

Todos os outros são iguais a um.

N=2;
X=7;
while(N<101,
  Y= X+gcd(N,X);
  if (Y-X>1,
    print(N ” : ” Y-X)
  );
  X=Y;
  N=N+1
)

 

Múltiplos e quadrados perfeitos (das XXV OPM)

Fevereiro 2, 2008 in Caderno, Exercício, Matemática, Olimpíadas, Problema, Teoria dos Números, sucessões | Tags: , , , | Leave a comment

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Este problema foi retirado das Olimpíadas de Matemática de 2006 (categoria B 10º-12º): 4º problema da 1ª eliminatória das XXV OPM .
     

” Escreve-se por ordem crescente cada um dos múltiplos de 3 cuja soma com 1  é um quadrado perfeito

3,15,24,48,\ldots

Qual é o 2006.º múltiplo que se escreve? “

Resolução
   
    Apresento a minha resolução a seguir, que o leitor pode comparar com outras duas propostas de resolução mais elegantes (da SPM)  .

Os primeiros quadrados perfeitos a seguir ao 2  são:

4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,\ldots ,\left( n+1\right)^{2}\ldots

dos quais se obtêm, por subtracção de 1 a cada,

u_{1}=3,u_{2}=9,u_{3}=15,u_{4}=24,u_{5}=35,

u_{6}=48,u_{7}=63,u_{8}=80,u_{9}=99,u_{10}=120

u_{11}=143,u_{12}=168,u_{13}=195,u_{14}=224,\ldots ,u_{n}=\left(n+1\right) ^{2}-1,\ldots

Destes, como u_{2}=9,u_{5}=35,u_{8}=80,u_{11}=143,u_{14}=224 não são  múltiplos de 3, ficam

u_{1}=3,

u_{3}=15,u_{4}=24,

u_{6}=48,u_{7}=63,

u_{9}=99,u_{10}=120,

u_{12}=168,u_{13}=195,\ldots

Confirmemos: para n=2,3,4,5,\ldots

u_{3n-4}=\left( 3n-4+1\right) ^{2}-1=3\left( 3n^{2}-6n+2\right) +2

não são múltiplos de 3. Por outro lado, para n=3,4,5,\ldots

u_{3n-5}=\left( 3n-5+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-4\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-8n+5\right)

u_{3n-6}=\left( 3n-6+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-5\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-10n+8\right)

são claramente múltiplos de 3.

Assim, em cada três termos consecutivos u_{n} (com n\geq 3), os primeiros dois são múltiplos de 3 e o terceiro não o é.

Se renumerarmos os índices e chamarmos à nova sucessão v_{n} , temos

v_{1}=2^{2}-1=3,

v_{2}=4^{2}-1=15,

v_{3}=5^{2}-1=24,

v_{4}=7^{2}-1=48,

v_{5}=8^{2}-1=63,

v_{6}=10^{2}-1=99,

v_{7}=11^{2}-1=120,

v_{8}=13^{2}-1=168,

v_{9}=14^{2}-1=195,\ldots

e o que se pede é v_{2006} .

Como o número de inteiros cujos quadrados menos um dividem três é igual a:

  •  1 no grupo de números 2 a 3 inclusive;
  •  2 em cada grupo de três números a seguir ao 3, ou seja, de 4 a 6, de 7 a 9, etc.
  •  2005 de 2 a 3009, em virtude de

\dfrac{3009}{3}=1003=1+1002

1\times 1+1002\times 2=2005

e,  reparando que  o último destes inteiros é o que corresponde a 3008 e não a 3009  (3009^2-1 não é múltiplo de 3),

v_{2005}=3008^{2}-1=9048\,063.

O termo seguinte é o resultado procurado

v_{2006}=3010^{2}-1=9060\,099.

Actualização de 8-3-2006: ligeiras alterações.

Américo Tavares

1951, eng. electrotécnico, IST, 1974, reformado;
membro da Ordem dos Engenheiros e sócio da Sociedade Portuguesa de Matemática.

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