Problemas Teoremas

Setembro 19, 2010

Um problema de juros compostos de uma série não uniforme da Universidade de Purdue

Filed under: Cálculo financeiro,Matemática,Problem,Problemas,Purdue University,Séries,Sucessões — Américo Tavares @ 11:49 pm
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Esta é a tradução do problema Problem No. 2 (Fall 2010 Series) e da minha resolução aceite pela Universidade de Purdue.

« Qual é o montante mais pequeno que deverá investir-se à taxa de juro de i\%, composta anualmente, de maneira a poder levantar-se 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares no final do ano 1,2,3,\ldots , perpetuamente? (Para i=10, a resposta é 2310 dólares.) »

Transcrição do original

“ What is the smallest amount that may be invested at interest rate i\%, compounded annually, in order that we may withdraw 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dollars at the end of the 1st, 2nd, 3rd, … year, in perpetuity? (For i=10, the answer is 2310 dollars.) “

Resolução: O principal resultado que usaremos é o cálculo da soma da série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n}.

Proposição: se -1<x<1, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n} converge para \dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}.

Demonstração: Tomemos a seguinte série geométrica, que é convergente para |x|<1:

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\dfrac{x}{1-x}\qquad (1)

e diferenciemos ambos os membros \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\left( 1-x\right) ^{-2}. Agora multipliquemo-los por x: x\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n}=x\left( 1-x\right) ^{-2}. Diferenciando novamente, obtemos \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1}=\left( 1+x\right) \left( 1-x\right) ^{-3}. Multipliquemos ambos os membros por x e completaremos a demonstração da Proposição:

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }n^{2}x^{n-1} =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}x^{n}=\dfrac{x\left( 1+x\right) }{\left( 1-x\right) ^{3}}\qquad (2)

Pondo x=1/c obtemos na forma alternativa, válida para |c|>1,

x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^2}{c^n} =\dfrac{c(c+1)}{(c-1)^{3}}\qquad (3)

Designemos por P o valor actual total da série de levantamentos 1^{2},2^{2}, 3^{2},\ldots dólares, no fim do ano 1, 2, 3,\ldots . O levantamento n^{2} no final do ano n contribui para P no valor de n^{2}/(1+i/100)^{n}, em que i é a taxa de juro (em percentagem) composta anualmente. Sumando todas as contribuições desde n=1 a \infty dá P (no princípio do ano 1),  que é o montante A mais pequeno que é necessário investir-se para equilibrar (A-P=0) os levantamentos como enunciado no problema: P=\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}/\left( 1+i/100\right) ^{n}.

Usando (3) com c=1+i/100>1 obtemos o valor actual P(i)=A(i), em dólares, em função da taxa de juro i em percentagem:

A(i)=P(i)=\dfrac{\left( 1+i/100\right) (2+i/100)}{(i/100)^{3}}\qquad (4)

Para i=10, confirmamos que A(10)=P(10)=2310.

Cópia do Texto original

[Correcção gramatical: "alternative form" em vez de "alternatively form"]

* * *

Comentário: Ao iniciar este problema não fazia a mínima ideia de como o iria resolver na prática. De repente consegui associar dois conceitos diferentes: um proveniente da Cálculo financeiro e o outro das Séries, que consegui concretizar na resolução apresentada.

Maio 5, 2010

Uma fracção contínua convergente

Filed under: Exercícios Matemáticos,Fracções Contínuas,Matemática,Sucessões — Américo Tavares @ 7:07 pm
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Pelo teorema de Śleszýnki-Pringsheim [1, p.30] (wikipedia), se para todos os valores naturais de j, se verificar \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, a fracção contínua \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) é convergente. É o caso de

    \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\mathcal{K}_{j=1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) \qquad (1)

uma vez que a_{j}=1, b_{j}=2 e b_{j}=a_{j}+1.

Para calcular o número real representado por esta fracção contínua, reparemos que a sucessão dos convergentes

u_{1}=\dfrac{1}{2}

u_{2}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2+u_{1}}=\dfrac{2}{5}

u_{3}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2+u_{2}}=\dfrac{5}{12}

u_{4}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}}=\dfrac{1}{2+u_{3}}=\dfrac{12}{29}

\dots

verifica a relação

u_{n}=\dfrac{1}{2+u_{n-1}}

Aplicando limites, há-de ser

L:=\lim u_{n}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n-1}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+L}

ou seja

L^{2}+2L-1=0

e

L=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1\qquad (2)

Por ser negativa exclui-se a outra solução da equação:

\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1<0

Pode interpretar-se este resultado como uma consequência da igualdade

\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}

e que corresponde a substituir em (1) as sucessivas caudas, pelo seus valores numéricos, todos eles iguais:

\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}}=\cdots

 

Exercício: Mostre que, se u_k=\mathcal{K}_{j=1}^{k}\left( 1/2\right)

u_{2}<u_{4}<\cdots <u_{2n}<\cdots <\mathcal{K}_{j=1}^{\infty}\left( 1/2\right) <\cdots <u_{2n-1}<\cdots <u_{3}<u_{1}

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida truncando a fracção contínua

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

__________

    
 [1] Lorentzen, Lisa, Waadeland, Haakon, Continued Fractions with Applications, North-Holland, 1992

 

* * *

Nota: atingidos hoje os 300 mil hits.

Março 22, 2010

Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence

Filed under: Computação,Enigmas,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Math,PARI,Programação,Sucessões — Américo Tavares @ 10:37 am
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Enunciado do Desafio/Challenge Statement

Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{16},\dfrac{3}{8},\dots

E o termo de ordem 20? / And its 20^{\text{th }}  term?

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

    Solução/Solution

O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:

   \dfrac{(n-1)!}{2^{n+1}}

mas expresso como fracção reduzida  [gcd (greatest common divisor) é o m.d.c. ou mdc  (máximo divisor comum)]/but written as a  fraction in its lowest terms 

  \dfrac{((n-1)!)/\gcd ((n-1)!,2^{n+1})}{2^{n+1}/\gcd ((n-1)!,2^{n+1})}\qquad (*)

 

 

Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP


        for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))

isto / we get

    1 : 1/4
    2 : 1/8
    3 : 1/8
    4 : 3/16
    5 : 3/8
    6 : 15/16
    7 : 45/16
    8 : 315/32
    9 : 315/8
    10 : 2835/16
    11 : 14175/16
    12 : 155925/32
    13 : 467775/16
    14 : 6081075/32
    15 : 42567525/32
    16 : 638512875/64
    17 : 638512875/8
    18 : 10854718875/16
    19 : 97692469875/16
    20 : 1856156927625/32
   
   

Assim o sexto é/Hence the 6th term is

\dfrac{15}{16}

 e o vigésimo/and the 20th,

\dfrac{1856156927625}{32}.

   
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here

(\ast ) – 24.03.10 –  acrescentado / added

Março 20, 2010

Relação de recorrência, recursiva ou equação às diferenças associada ao logaritmo de dois (ln 2)

Filed under: Combinatória,Demonstração,Identidade matemática,Matemática,Matemática Discreta,Recorrência,Sucessões,Teorema / Teoria,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 4:31 pm
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As relações de recorrência associadas a \ln 2 são:

\left( n+1\right) b_{n+1}-3\left( 2n+1\right) b_{n}+nb_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 1\right)

e

\left( n+1\right) a_{n+1}-3\left( 2n+1\right) a_{n}+na_{n-1}=0\qquad n\geq 1\qquad \left( 2\right)

em que, a_{0}=1,a_{1}=3 e b_{0}=0,b_{1}=2, podendo demonstrar-se  [1, secção 3] que

\dfrac{b_{n}}{a_{n}}\rightarrow \ln 2\qquad \left( 3\right) .

A fórmula explícita da sucessão \left( a_{n}\right) , — de inteiros — é, como demonstraremos, dada por:

a_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\qquad \left( 4\right)

pelo que

a_{n+1}=\dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}

e

a_{n-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}

Vamos mostrar que \left( 4\right) verifica \left( 2\right) .

Escrevendo

B_{n,k}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}

será

B_{n,k-1}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}

Assim

B_{n,k}-B_{n,k-1}=

 

=-\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}

 

Substituindo agora a_{n+1},a_{n} e a_{n-1} na relação de recorrência, vem

\left( n+1\right) \left[ \dbinom{2n+2}{n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}\right]

 

-3\left( 2n+1\right) \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+n\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}=0

donde

-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ \left( n+1\right) \dbinom{n+1}{k}\dbinom{n+1+k}{k}-3\left( 2n+1\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}\right] +\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[n\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}\right]

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\left[ -\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}+\left( 4n+2\right) \dbinom{n}{k-1}\dbinom{n+k-1}{k-1}\right]

 

=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}B_{n,k}-B_{n,k-1}

que é uma soma telescópica em k. Prosseguindo, tem-se

-\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=B_{n,n}-B_{n,-1}=B_{n,n}

porque B_{n,-1}=0. Mas

B_{n,n}=-\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}

pelo que basta verificar que

\left( n+1\right) \dbinom{2n+2}{n+1}=\left( 4n+2\right) \dbinom{2n}{n}

é  uma identidade, o que deixo ao cuidado dos meus leitores.

__________

[1] Eric Reyssat, Irrationalité de \zeta (3) selon Apéry, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (Théorie des nombres) 20e année, 1978/79, nº 6, 6 p.

P.S: retirei uma igualdade desnecessária para esta demonstração e acrescentei [1].

Março 9, 2010

Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

Filed under: Demonstração,Fibonacci,Matemática,Recorrência,Sucessões — Américo Tavares @ 9:37 pm
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No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que transcrevo em parte:

« ‘Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100%-61,8%=38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é  161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci (…).’ »

Citando a parte «a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de  61,8%», para dar uma explicação possível, escrevi, em comentário:

« A sucessão de Fibonacci é gerada pela seguinte relação de recorrência x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1} com as condições iniciais x_{1}=x_{2}=1.  Assim

\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}

\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\lim \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}=1+\dfrac{1}{\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}}

Se esta sucessão tiver limite, há-de ser maior do que um (por a sucessão de Fibonacci ser crescente) e satisfazer a relação

l=1+l^{-1}

em que

l=\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}>1

Por isso

l^{2}=l+1

l^{2}-l+1=0

ou

l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi

e o limite de aproximadamente 61,8\% é o inverso de l :

\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\approx 0,61803. »

Poderá ver a dedução da fórmula explícita do termo geral da sucessão de Fibonacci nesta minha entrada já antiga.

Março 7, 2010

Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Challenge: Find the general term of a sequence

Filed under: Enigmas,Matemática,Matemática-Básico,Matemática-Secundário,Math,Sucessões — Américo Tavares @ 12:14 pm
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Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?

\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{8},\dfrac{3}{16},\dfrac{3}{8},\dots

E o termo de ordem 20? / And its 20^{\text{th }}  term?

[March 7, 2008: Edited to include the English version of the text.]

Adenda/Addendum

Nota: os termos são fracções reduzidas.

Remark: every term of the sequence is a  fraction in its lowest terms.

 

Fevereiro 25, 2010

Alguns dos fractais mostrados no Fraktale Welten gerados por fórmulas de iteração que sugeri ao autor

Filed under: Fractais,Matemática,Recorrência,Sucessões — Américo Tavares @ 10:01 am
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Partindo da fórmula de iteração conhecidíssima que cria o conjunto de Mandelbrot

z_{n+1}=z_n^2+c,

[ em que c=z_0=x_0+iy_0=\text{Re}(c)+i\text{Im}(c) é uma constante complexa, correspondente ao início da trajectória de iteração assim gerada no plano complexo ], em Doppelpot , do blogue alemão  Fraktale Welten, de Nachtwaechter, explica-se que, quando, numa fórmula de iteração ou de recorrência, se utilizam duas potências complexas diferentes, os fractais obtidos podem ser especialmente belos; e, ao ler, na continuação: 

»So sinnlos eine derartige Formel mathematisch ist, so hübsch sind die damit erzeugten Bilder, insbesondere die Bilder der Julia-Mengen«

«Uma fórmula desse tipo é tão desprovida de sentido matemático quanto  belas são as imagens que produz, especialmente as dos conjuntos Julia»,  

lembrei-me de sugerir ao autor que experimentasse usar as seguintes fórmulas de iteração:

  1. z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c
  2. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}c}
  3. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}+c}
  4. z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}
  5. z_{n+1}=z_{n}^{c}, etc.

No seu artigo Fünf Formeln (cinco fórmulas) explica e mostra os fractais assim gerados: o básico (Grundform), um pormenor (Detail), e o conjunto do tipo Julia (Julia-artige Menge).

A primeira destas fórmulas  ,  que é semelhte à de Mandelbrot, gera, talvez por isso,  um fractal parecido ao de Mandelbrot.  Mostro-os de seguida, pela ordem em que aparecem no artigo, e que são, respectivamente: o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia.

z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c   

(A)

(B) 

(C)

Os fractais da fórmula de recorrência 4 são estes, respectivamente,  o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia:

z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(D)

(E)

(F)

 

No artigo referenciado representam-se os restantes, bem com explicações e opiniões do autor, e ainda os códigos usados em Ultra Fractal 5 para  gerar os fractais. 

Agora uma sondagem:

(A) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c

(B) pormenor de (A)

(C) conjunto tipo Julia de (A)

(D) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(E) pormenor de (D)

(F)  conjunto tipo Julia de (D)

Edição de 25.02.10: incluída sondagem e aperfeiçoado o texto.

Fevereiro 16, 2010

Descobrir a relação de recorrência de uma sucessão (sequência) e somas estranhas

Filed under: Matemática,Problemas,Recorrência,Sucessões — Américo Tavares @ 1:14 pm
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Neste desafio do Matemativerso pergunta-se qual é o termo seguinte da sucessão

1, 2, 6, 42, 1806,\dots .

A minha resposta, a aguardar moderação e editada aqui em \LaTeX, foi:

« 3263442

porque cada termo da sequência (sucessão) é igual ao produto de dois factores: o termo anterior e a sua soma com um.

2 = 1\times 2

6 = 2\times 3

42 = 6\times 7

1806 = 42\times 43

3263442 = 1806\times 1807

O sétimo será:

3263442\times 3263443 = 10650056950806 »

A relação de recorrência desta sucessão, cuja  condição inicial é x_1=1, pode ser dada pela expressão  

x_n=x_{n-1}(x_{n-1}+1).

Haverá sucessões diferentes desta, mas cujos primeiros termos sejam os apresentados ?

* * *

ADENDA de 20.02.10: alterei o título e acrescento agora um outro desafio colocado, em 17.02.10, pela autora do Matemativerso.

    « Se

 

    2+3=10
    7+2=63
    6+5=66
    8+4=96

    Então

     9+7= ??? »

A minha resposta foi:

« Solução proposta: 144 »

complementada posteriormente por

« Não enviei a minha justificação para o 144. Ei-la:

(2+3)2=10

(7+2)7=63

(6+5)6=66

(8+4)8=96

(9+7)9=144»

É óbvio qual o critério que segui para chegar ao 144: a soma do lado esquerdo da “igualdade” vai ser multiplicada pelo primeiro termo dessa soma, transformando-se então numa verdadeira igualdade. No entanto,  repito o espírito da dúvida colocada acima. Neste caso poderá haver outros padrões que se descubram e que conduzam a resultados diferentes, parece-me a mim.

Dezembro 29, 2009

Duas questões de exames sobre limites de sucessões, Análise Matemática, do Professor Jaime Campos Ferreira

Filed under: Análise Matemática,Exames,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Problemas,Sucessões — Américo Tavares @ 12:04 am
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O Professor Campos Ferreira foi o meu professor de Matemáticas Gerais do Técnico, no ano lectivo  1968/69. Nessa altura, dava-se nela Análise e Álgebra Linear.  No site da IST Press o livro em cima é apresentado desta forma:

 « Exercícios de Análise Matemática I e II reúne exercícios destas disciplinas fundamentais elaborados (e alguns resolvidos) por diversos professores do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico e tem origem numa colectânea de exercícios de exames do Prof. Jaime Campos Ferreira iniciada pelo Prof. Francisco Viegas. Por acordo entre os diversos autores entendeu-se atribuir a autoria deste texto ao Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico» 

Por ser o ano mais próximo de 1968/69, retirei da página 15  o seguinte enunciado, correspondente ao exercício 1.42,  de 1971, cuja resolução é apresentada, mas que aqui não reproduzo:

« Determine os limites das sucessões de termos gerais:

a) u_{n}=\left( \dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }\right) ^{n},\qquad\qquad\qquad b) u_{n}=\sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}},

onde a é  um número real. »

 Sugestão: sobre b) - consultar esta minha entrada.

Resoluções: ver comentário de ateixeira. (mais…)

Fevereiro 22, 2009

Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

Filed under: Blogue,Estatísticas,Exercícios Matemáticos,Fibonacci,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:30 pm
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123456 

A propósito do número de visitas deste blogue — o contador do WordPress passou hoje por 123456 — lembrei-me de  ver se descobria algo de interessante nele. Por exemplo:

1 - Quantos divisores admite?

Para respondermos a esta questão sem os indicar explicitamente, podemos recorrer a um teorema da aritmética racional (ou teoria dos números) cujo enunciado é:

O número de divisores do  inteiro n é a função aritmética d(n) cuja expressão analítica é 

d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)

em que e_1,e_2,\dots , e_k são os expoentes da decomposição factorial em números primos de n

n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}

Então, como

123456=2^6\times 3\times 643

o número de divisores de 123456 é

d(123456)=(6+1)(1+1)(1+1)=28

2 - Como se escreve na base 6?

Como

123456=0+2\times 6+3\times 6^2+1\times 6^3+5\times 6^4+3\times 6^5+2\times 6^6

 tem-se

(2351320)_6=(123456)_{10}

Penso acrescentar mais exemplos, no futuro, aqui. São quase 23h30m e pretendo “postar” ainda hoje.

(Continuação, 23-2-2009)

3 - Quais são os maiores números de Fibonacci de que é soma?
 Ora, como
123456=121393+1597+377+55+21+13

=x_{26}+x_{17}+x_{14}+x_{10}+x_{8}+x_{7}

em que

x_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}{\sqrt{5}}

é o número de Fibonacci de ordem n, os números são precisamente x_{26},x_{17},x_{14},x_{10},x_{8},x_{7}.

4 - Em quantos modos diferentes se pode decompor num produto de factores primos ente si?

Atendendo a que há 3 potências (2^6,3,643)  na sua decomposição em primos, a resposta é 2^{3-1}=4, e que são:

123456=1\times 123456

123456=2^6\times (3\times 643)=64\times 1929

123456=(2^6\times 3)\times 643)=192\times 643

123456=(2^6\times 643)\times 3=41152\times 3

(Continuação, 24-2-2009)

5 - Qual é o resto da divisão inteira do seu cubo por 7?

Sem fazer a conta na calculadora, podemos utilizar propriedades das congruências, para chegar ao resultado.

Notação e definição: a\equiv b\; (\mod m) , que se lê a é congruente com b para o módulo m, significa que a-b é  um múltiplo de m (com a,b,c inteiros).

Ora, 64\times 1929=123456, 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) e 1929\equiv 4\;\left( \mod 7\right) . Pela propriedade da relação de congruência que diz que

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv d\;\left( \mod m\right) , então ac\equiv bd\;\left( \mod m\right)

 vem

123456= 64\times 1929\equiv 1\times 4\;\left( \mod 7\right) =4\;\left( \mod 7\right)

e por outra propriedade, a que diz que

se a\equiv b\;\left( \mod m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\;\left( \mod m\right)

 tem-se

123456^{3}\equiv 4^{3}\;\left( \mod 7\right) =64\;\left( \mod 7\right)

E como 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) , pela propriedade transitiva da relação de congruência

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv c\;\left( \mod m\right) , então a\equiv c\;\left( \mod m\right)

 conclui-se que

  123456^{3}\equiv 1\;\left( \mod 7\right)

 pelo que o resto é  1.

(Continuação, 25-2-2009)

6 - Qual é a soma dos seus divisores?

Sabendo-se a factorização em primos de um número n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}  a soma dos seus divisores é dada por

\dfrac{p_{1}^{^{e_{1}+1}}-1}{p_{i}-1}\times \dfrac{p_{2}^{e_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\times \cdots \times \dfrac{p_{k}^{e_{k}+1}-1}{p_{k}-1}

No caso de 123456=2^{6}\times 3\times 643 será

\dfrac{2^{7}-1}{1}\times \dfrac{3^{2}-1}{2}\times \dfrac{643^{2}-1}{642}=327152

(mais…)

Outubro 16, 2008

Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Filed under: Análise Matemática,Caderno,Cálculo,Demonstração,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Problemas,Recorrência,Sucessões,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 9:20 am
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pdf: ver caderno

Se o termo geral de uma sucessão for constante (u_{n}=c), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1. E qual é o limite de \sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c} quando c>0? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1.

Considere agora o leitor que u_{n}=c^{n}, com c>0. Como \sqrt[n]{c^{n}}=c claro que \lim \sqrt[n]{u_{n}}=c. Por outro lado, sendo neste caso \lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c, verifica-se igualmente a igualdade

\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}. leia o resto »

Julho 27, 2008

Uma nova relação de recorrência geradora de números primos e 1′s demonstrada por Eric Rowland

Filed under: Computação,Matemática,Notícia,Recorrência,Software,Sucessões,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 9:10 am
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Eric Rowland demonstrou que a seguinte relação de recorrência só gera 1′s e números primos 

a(n)-a(n-1)=\text{mdc }(n,a(n-1))

(com a condição inicial a(1)=7) no artigo recentemente publicado no Journal of Integer Sequences, Vol. 11 (2008), Article 08.2.8  intitulado  A Natural Prime-Generating Recurrence cujo resumo transcrevo:

« For the sequence defined by a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1)) with a(1) = 7 we prove that a(n)-a(n-1) takes on only 1’s and primes, making this recurrence a rare naturally occurring generator of primes. Toward a generalization of this result to an arbitrary initial condition, we also study the limiting behavior of a(n)/n and a transience property of the evolution. »

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["gcd" significa "greatest common divisor"]

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Anteriormente tive oportunidade de ler alguns artigos de Rowland sobre a função zeta de Riemann publicados há uns anos na Internet. 

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Actualização de 2-8-2008: Eric Rowland indica neste post A simple recurrence that produces complex behavior — and primes! de A New Kind of Science Blog a origem deste seu trabalho. Entretanto criou esta demonstração que explora a recorrência. Inicialmente tomei conhecimento deste artigo de Eric Rowland, no JIS, neste post de Jeffrey Shallit no blogue Recursivity , através desta entrada do blogue Logic Nest.

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Seja r(n)=a(n)-a(n-1). O seguinte código permite obter, no software PARI (free software com licença GNU General Public License), os termos diferentes de um, para 2<n<101, da sucessão r(n).

r(5)=5,r(6)=3,r(11)=11,r(12)=3,r(23)=23, r(24)=3,r(47)=47,r(48)=3,r(50)=5,r(51)=3.

Todos os outros são iguais a um.

N=2;
X=7;
while(N<101,
  Y= X+gcd(N,X);
  if (Y-X>1,
    print(N ” : ” Y-X)
  );
  X=Y;
  N=N+1
)

 

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