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Série telescópica irracional e trigonométrica

Junho 9, 2009 in Cálculo, Exercício, Matemática, Matemática Gerais, Séries, Trigonometria | Tags: , | Publicar um comentário

Muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto.

Exercício: Sejam a_n e b_n respectivamente

a_n=\arcsin (b_n)+\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arcsin (b_{n-1})}

e 

 b_n=\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}.

Mostre que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_n}=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.

Resolução: a única dificuldade é mostrar que a série é telescópica. Vamos aproveitar a identidade trigonométrica  provada  neste problema:

\arctan\left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u.

Dela obtém-se

\arctan \left( x\right) =\arcsin \left( \sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}}\right) ,

fazendo a substituição u=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}} ( equivalente a x=\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}). Assim, temos

 \arcsin (b_n)=\arcsin\left(\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}\right) =\arctan \left( n\right)

\arcsin (b_{n-1})=\arcsin\left(\dfrac{n-1}{\sqrt{1+{n-1}^2}}\right) =\arctan \left( {n-1}\right)

donde

a_n=\arctan \left( n\right) +\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arctan \left( {n-1}\right) }.

Pondo u_{n}=\arctan \left( n\right) e atendendo à relação algébrica

\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}=\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}

chegamos efectivamente à série telescópica

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_{n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}

=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{u_{N}}-\sqrt{u_{0}}

=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }-\sqrt{\arctan \left( 0\right) }=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}\blacktriangleleft

Repetindo, muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto. Com este exemplo pretendi ilustrar uma situação de dificuldade intermédia, avaliação que é claramente subjectiva porque depende muito de resultados anteriores que se conhecem ou não: neste caso, uma identidade trigonométrica.

Dia do π (pi): 14 de Março; relação com as séries ζ(2) e η(2) [zeta (2) e eta (2)]

Março 14, 2009 in Matemática, Séries | Tags: | Publicar um comentário

« O Dia do Pi é comemorado em 14 de março (3/14 na notação norte-americana), por 3,14 ser a aproximação mais conhecida de π. O auge das comemorações acontece à 1:59 da tarde (porque 3,14159 = π arredondado até a 5ª casa decimal). »

Wikipédia

Dos vários artigos sobre o \pi indico o  de Frits Beukers, publicado na NAW 5/1 nr. 4, december 2000, p. 372-379: A rational approach to π.

Uma aproximação a \pi^2 é a obtida pela série

\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}

donde \pi é igual a

\pi=\sqrt{6\zeta(2)}=\sqrt{6\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{1}{k^2}}

que tem o inconveniente de ser lentamente convergente. Uma série mais rapidamente convergente é a série alterna

\eta(2)=\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}=\dfrac{\zeta(2)}{2} (*)

em função da qual se pode exprimir  \pi

\pi=\sqrt{12\eta(2)} =\sqrt{12\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}}

Outra entrada deste blogue relacionada com as aproximações a \pi foi esta ou esta sobre os dígitos hexadecimais de \pi.

(*) por exemplo: de

 \zeta\left( 2\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}+\dfrac{1}{4^{2}}+\cdots

e

\eta\left( 2\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^{2}}=\dfrac{1}{1^{2}}-\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{1}{3^{2}}-\dfrac{1}{4^{2}}+\cdots

tira-se

\zeta\left( 2\right) -\eta\left( 2\right) =2\times \dfrac{1}{2^{2}}+2\times\dfrac{1}{4^{2}}+\cdots =2\times\dfrac{1}{2^{2}\times 1^{2}}+2\times\dfrac{1}{2^{2}\times 2^{2}}+\cdots

\zeta\left( 2\right) -\eta\left( 2\right) =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{1^{2}}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots \right) =\dfrac{\zeta \left( 2\right) }{2}

ou aqui com outra notação.

[15-3-2009: link aos dígitos hexadecimais de pi]

Números racionais: exercício sobre dízimas periódicas e série geométrica

Setembro 20, 2008 in Caderno, Exercício, Matemática, Matemática Gerais, Problema, Séries | Tags: , , , | 8 comments

pdf: ver caderno

Prove que  qualquer número representado por uma dízima periódica é racional.

 

Se considerar, como exemplo, o número 0,\overline{150}, em que a barra, nesta notação, significa que o grupo de 3 dígitos 150 se repete indefinidamente

0,\overline{150}=0,150\,150\,150\,\ldots

posso escrevê-lo na forma

0,\overline{150}=\dfrac{150}{10^{3}}+\dfrac{150}{10^{6}}+\dfrac{150}{10^{9}}+\cdots

e calcular agora a soma da progessão geométrica de razão 10^{-3} e primeiro termo 0,150

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{150}{10^{3n}}=\dfrac{0,150}{1-10^{-3}}=\dfrac{150}{10^{3}-1}=\dfrac{50}{333}.

No segundo exemplo tomo o número 0,3\overline{150} como ilustrativo do caso em que a dízima não começa imediatamente a seguir à  vírgula. Assim, usando o resultado anterior

0,3\overline{150}=0,3+0,1\times 0,\overline{150}=0,3+0,1\times \dfrac{50}{333}=\dfrac{1049}{3330}.

No úlltimo exemplo, considero -2,3\overline{150}. Será

-2,3\overline{150}=-\left( 2,3\overline{150}\right)=-\left( 2+0,3\overline{150}\right)=-\left( 2+\dfrac{1049}{3330}\right)=-\dfrac{7709}{3330}.

O caso geral é simplesmente o de uma dízima periódica com p dígitos, bastando, como se viu,  mostrar a propriedade para os números do tipo 0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}} , porque os outros são uma consequência imediata.

O número cujos dígitos são os que estão sob a barra tem o valor inteiro [corrigido, ver comentário]

N=10^{0}a_{0}+10^{1}a_{1}+\cdots +10^{p-1}a_{p-1}

Sendo assim, usando o mesmo raciocínio do primeiro exemplo, tem-se

0,\overline{a_{p-1}a_{p-2}\ldots a_{1}a_{0}}=\dfrac{N}{10^{p}}+\dfrac{N}{10^{2p}}+\cdots =\dfrac{N/10^{p}}{1-10^{-p}}=\dfrac{N}{10^{p}-1}.

Exemplo de aplicação: x=0,151515\ldots \;\;y=1,2151515\ldots

Para x=0,\overline{15}, N=10^{0}\times 5+10^{1}\times 1=15,x=\dfrac{15}{10^{2}-1}=\dfrac{15}{99}. De x deduz-se y

y=1,2\overline{15}=1+0,2+0,1x=\dfrac{12}{10}+\dfrac{1}{10}\dfrac{15}{99}=\dfrac{401}{330}.

Exercício: determine o número racional representado na forma decimal por 0,\;3311111\ldots.

Resposta:

\dfrac{149}{450}

[Actualização de 22-9-2008: acrescentado pdf]

Séries de Fourier

Julho 21, 2008 in Análise, Análise de Fourier, Caderno, Cálculo, Demonstração, Exercício, Matemática, Problema, Séries, Teorema, Teorema / Teoria | Tags: , , , , | 1 comment

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Para facilidade de consulta, decidi reunir aqui as entradas já publicadas sobre Séries de Fourier:

Séries de Fourier 1 – Sistemas de Funções Ortogonais 

Séries de Fourier 2 – Relação de Parseval 

Séries de Fourier 3 – Série Trigonométrica de Fourier 

Séries de Fourier 4 - Problemas 

Séries de Fourier 5 – Problemas II 

Séries de Fourier 6 – Problemas III 

Actualização de 20-11-2008: Suprimido o texto, ficando apenas os links, para evitar diferenças de actualização. 

Séries de Fourier 6 – Problemas III

Julho 16, 2008 in Análise, Análise de Fourier, Caderno, Cálculo, Exercício, Matemática, Problema, Séries | Tags: , , , | Publicar um comentário

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Continuação de Séries de Fourier 5 – Problemas II 

Problema 7

Faça, para a função

f(x)= \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.

do problema 6.1, a representação gráfica da soma parcial da respectiva série para um número crescente de harmónicas.

Resolução

f(x)\sim\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi }\cos x-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x+\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x-\cdots +\dfrac{2}{(2m+1)\pi }\sin \dfrac{(2m+1)\pi}{2}\cos \left( 2m+1\right)+\cdots

Primeiras somas parciais da série de Fourier representativa da função f(x)

 \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots

Gráfico da função f(x) — onda quadrada (a vermelho) no intervalo \lbrack -\pi ,\pi \rbrack  – e as somas parciais dos cinco primeiros termos da sua série de Fourier

f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Em virtude de f\left( x\right) ser par b_{n}=0

f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Os coeficientes a_{n} são

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1

a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }

a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }

a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }

a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }

a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0

Valor médio

\dfrac{1}{2}

Fundamental

\dfrac{2}{\pi }\cos x

3ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{3}\cos 3x

5ª harmónica

\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{5}\cos 5x

7ª harmónica

-\dfrac{2}{\pi }\dfrac{1}{7}\cos 7x

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack f\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n .

Algumas propriedades dos coeficientes de Fourier

  1. Se f(x) for par:  f(x)=f(-x), b_n=0
  2. Se f(x) for ímpar: f(x)=-f(-x), a_n=0
  3. Se f(x) tiver duas alternâncias, sendo uma a imagem num espelho da outra: f(x)=-f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n par
  4. Se f(x) for periódica de período \pi: f(x)=f(x+\pi), a_n=b_n=0, para n ímpar. 

Problema 8

Demonstre que qualquer função f(x) definida no intervalo \lbrack 0,\pi \rbrack e satisfazendo as condições de Dirichlet neste intervalo é representável pela série

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\sin nx

para x\in\lbrack 0,\pi \rbrack, que esta série converge para

\dfrac{1}{2}\lbrack f(x^{+})+f(x^{-})\rbrack

e escreva a expressão dos coeficientes c_n.

Resposta

c_n=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx

Actualização de 20-11-2008: incluído pdf e feitas pequenas correcções.

Américo Tavares

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