Definições equivalentes dos polinómios de Chebyshev ( ou Tchebycheff )

Mostre que as duas definições A e B dos polinómios de Chebyshev ou Tchebycheff  (dependendo da transliteração adoptada) são equivalentes.

A – O polinómio de Chebyshev de ordem   verifica a relação de recorrência

,

para .

B – Para todo o inteiro o polinómio de Chebyshev  é dado por

.

Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

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Se o termo geral de uma sucessão for constante (), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão . E qual é o limite de quando ? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

.

Considere agora o leitor que , com Como claro que Por outro lado, sendo neste caso verifica-se igualmente a igualdade

.

Uma nova relação de recorrência geradora de números primos e 1’s demonstrada por Eric Rowland

Eric Rowland demonstrou que a seguinte relação de recorrência só gera 1’s e números primos 

(com a condição inicial ) no artigo recentemente publicado no Journal of Integer Sequences, Vol. 11 (2008), Article 08.2.8  intitulado  A Natural Prime-Generating Recurrence cujo resumo transcrevo:

« For the sequence defined by a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1)) with a(1) = 7 we prove that a(n)-a(n-1) takes on only 1’s and primes, making this recurrence a rare naturally occurring generator of primes. Toward a generalization of this result to an arbitrary initial condition, we also study the limiting behavior of a(n)/n and a transience property of the evolution. »

["gcd" significa "greatest common divisor"]

Anteriormente tive oportunidade de ler alguns artigos de Rowland sobre a função zeta de Riemann publicados há uns anos na Internet. 

Actualização de 2-8-2008: Eric Rowland indica neste post A simple recurrence that produces complex behavior — and primes! de A New Kind of Science Blog a origem deste seu trabalho. Entretanto criou esta demonstração que explora a recorrência. Inicialmente tomei conhecimento deste artigo de Eric Rowland, no JIS, neste post de Jeffrey Shallit no blogue Recursivity , através desta entrada do blogue Logic Nest.

Seja . O seguinte código permite obter, no software PARI (free software com licença GNU General Public License), os termos diferentes de um, para , da sucessão .

.

Todos os outros são iguais a um.

N=2;
X=7;
while(N<101,
  Y= X+gcd(N,X);
  if (Y-X>1,
    print(N ” : ” Y-X)
  );
  X=Y;
  N=N+1
)

 

Iterações fractais

Nesta entrada  Klaus Mustermann escreve no seu blogue Fraktale Welten  sobre a iteração de Manowar, que origina o fractal de Manowar, através da relação de recorrência

.

Teve a ideia de generalizar esta relação, usando a recorrência

,

em que são funções arbitrárias, que produzem fractais diferantes conforme a sua escolha.

Eis uma imagem das que é possível gerar escolhida entre as que lá são apresentadas, da qual gosto particularmente:

  

 

Sucessão de Fibonacci

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 No blogue Matemática (de Rodrigo Gonçalez) apareceu recentemente (2-12-2007) um excelente artigo intitulado “Natureza Elegante – os Números de Fibonacci“.
    Lembrei-me que é possível determinar a fórmula explícita do termo geral desta sucessão, a partir da relação de recorrência que habitualmente a define:

    com as condições iniciais .

    A fórmula é

 ,

em que e são as raizes da equação

 .

    [Ver o livro Apostol, Tom, Mathematical Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, 2nd. ed., p. 25, Exercise 1.5]
   
    Neste livro a dedução desta propriedade é deixada ao leitor. Apresento a minha.