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pdf: included in Caderno (see “caderno” page)
On March 1st, 2008, the Putnam problem of the day displayed on the Harvard’s Math Department site was stated as follows:
“ Evaluate
Express your answer in the form
,
where are integers. “
Solution
To evaluate the radicand I start by seeing that the continued fraction
satisfies
.
Thus, since the only solution left is
.
A few algebraic manipulations give
hence
In order to have
or equivalently,
with integers,
should also be an integer; therefore
should be even. I assume that
On the other hand
should be
Thus,
Since, for
,
this possibility is excluded. It remains
Now I confirm
So, the solution I came was
Remark: The calculation of
can be done by hand as follows
Update March, 20: you can compare with this solution (Putnam 1995, Problem B5 )
Addendum of March 7, 2009: Comment/Proof of the convergence of the continued fraction by Vishal Lama (comment dated March 7, 2009)
“ In the solution presented in your post,
denotes an expression that we can’t assume, beforehand, is a finite number.
may perhaps be infinite! Therefore, the way to go about computing the expression (the infinite continued fraction) given in the problem is as follows.
The infinite continued fraction is defined as the limit of the sequence
, where
and
for all
. Then, we show that the sequence
is bounded from below (
for all
, which can be shown by a simple induction) and that it is also strictly decreasing (which can be shown using induction, again). Now, we invoke the Monotone Convergence Theorem to conclude that the sequence does indeed have a (finite) limit, which we can now denote by
. Once we establish that
(which is the infinite continued fraction!) is finite, we can compute
the way you did in your solution. Basically, we have to go through all that trouble just to prove that the given infinite continued fraction is indeed finite! Only after that can the computation begin! “
Part of my reply was: “I did not prove the convergence of the continued fraction. Thanks for doing it.
Basically I assumed that convergence based on a certain numerical evidence, but of course this evidence proves nothing.”
pdf: ver caderno
No site do departamento do Harvard’s Math Department aparece hoje o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):
« Evaluate
Express your answer in the form
,
where are integers. »
Resolução
NOTA PRÉVIA: a solução a que cheguei não teria sido possível de encontrar apenas com papel e lápis, pois alguns passos envolveram alguns cálculos numéricos feitos no Scientific Notebook. Se chegar a um método limpo, penso publicá-lo aqui. Efectivamente é possível calcular à mão as potências de um binómio com radicais, como se mostra na adenda de 9-3-2008.
Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua
verifica
pelo que, como só poderá ser
e, após alguns cálculos
por este motivo
Para que
ou, de forma equivalente,
com inteiros, é necessário que
seja inteiro, pelo que
deve ser par. Vou admitir que
por outro lado
deverá ser igual a
Então,
Como, para
excluo esta possibilidade. Resta
Vou confirmar
A solução pedida a que cheguei foi
Adendas de 9-3-2008 e 12-3-2008: O pdf foi actualizado em 12-3.
O cálculo de
pode ser feito à mão da seguinte forma
Actualização de 19-3-2008: veja outra resolução aqui (Putnam 1995, Problem B5 )
Adenda de 7-3-2009: Tradução do Comentário/Demonstração de Vishal Lama da convergência da fracção contínua (comentário de hoje)
« Na resolução apresentada no post,
designa uma expressão que não podemos assumir à partida que seja um número finito.
pode eventualmente ser infinito! Por isso, a maneira de anteceder o cálculo da expressão (da fracção contínua infinita) dada no problema é como segue.
A fracção contínua infinita é definida como sendo o limite da sucessão
, em que
e
qualquer que seja
. Depois, mostramos que a sucessão
é limitada inferiormente (
para todos os
, o que se pode fazer por uma indução simples) e que é também estritamente decrescente (a indução pode usar-se também para o mostrar). A seguir, recorremos ao teorema da convergência monótona ( Monotone Convergence Theorem) para concluir que de facto a sucessão tem um limite (finito), que podemos então designar por
. Uma vez provado que
(ou seja, a fracção contínua infinita!) é finito, podemos calcular
da maneira que fez na resolução. Basicamente é preciso ter todo este trabalho para demonstrar que efectivamente a fracção contínua infinita tem um falor finito! Só depois podemos começar o cálculo! »
Uma parte da minha resposta foi: «Não demonstrei a convergência da fracção contínua. Obrigado por tê-lo feito.
Basicamente admiti a convergência baseado numa certa evidência numérica, mas claro que isso não prova nada.»


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