Problemas Teoremas

Maio 12, 2012

Exercício de Cálculo: área da elipse

Filed under: Matemática,Geometria,Exercícios Matemáticos,Integrais,Primitivas,Cálculo — Américo Tavares @ 7:44 pm
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A equação de uma elipse cujos eixos coincide com os coordenados é, como se sabe,

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1,

em que a\ge 0 e b\ge 0 são os semi-eixos. Assim, tem-se

y=\pm b\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}}

A  área delimitada pela elipse é o quádruplo da que se situa no 1.º quadrante; donde

4\displaystyle\int_{0}^{a}b\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}}\; \mathrm{d}x=4\left( \dfrac{1}{2}ba\arcsin 1\right) =ab\pi .

Janeiro 5, 2010

Enunciado do teorema fundamental do Cálculo integral nos reais

Filed under: Cálculo,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Primitivas — Américo Tavares @ 11:21 am
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Teorema: Seja f uma função definida e integrável em [a,b] e F uma sua primitiva, então

\displaystyle\int_{[a,b]}f(x)\;dx=F(b)-F(a).

Exemplo: Se a,b são reais, então

\displaystyle\int_{[a,b]}\cos x\;dx=\sin b-\sin a.

Exercício: Confirme que \displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=1. 

Primitivando por partes, determina-se uma primitiva de \log x, P(\log x)=x\log x-x+C (em que C é uma constante (de integração) qualquer, independente de x.  Notação: aqui, \log x é  o logaritmo natural ou neperiano de x. Assim, tem-se

\displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=e\log e-e+C-(\log 1-1+C)=

=e\log e-e-\log 1+1=e-e-0+1,

sendo, de facto

\displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=\displaystyle\int_1^e\log x\;dx=1.

Nota: É claro que estamos a admitir que o logaritmo natural foi previamente definido como a função inversa da exponencial, ou de qualquer outra forma, independente da igualdade anterior. 

 

 

Janeiro 11, 2008

Primitivas imediatas

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Matemática,Matemáticas Gerais,Primitivas — Américo Tavares @ 9:28 am
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Incluí as seguintes primitivas imediatas na página Notação e Formulário, em relação às quais falta a menção explícita da constante de integração. Esta lista ainda está em construção e no futuro serão aí acrescentadas outras. 

P\;u^{n}\times u'=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} \;  ( n\neq -1 )

P\;u^{-1}\times u'=\log |u|

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt[n]{u^{n-1}}} =n\sqrt[n]{u^{n-1}}

P\;\sin u\times u'=-\cos x

P\;\cos u\times u'=\sin x

P\;\sec^2 u\times u'=\tan x 

P\;\csc^2 u\times u'=-\cot x 

P\;\sec u\times\tan u\times u'=\sec u 

P\;\csc u\times\cot u\times u'=-\csc u 

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1} u \; ( |u|<1 )

P\;\displaystyle\frac{u'}{\sqrt{1-x^2}}=-\cos^{-1} u \; ( |u|<1 )

Dezembro 6, 2007

Integrais – cálculo automático

Filed under: Integrais,Matemática,Primitivas — Américo Tavares @ 1:30 pm
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O seguinte integral foi obtido do site “The Integrator“, da Wolfram.com, que calcula automaticamente integrais, ou mais propriamente  primitivas,  muito embora seja necessário introduzir o integrando em notação específica e não na notação tradicional:

\displaystyle\int \log \left( 1+\sqrt{1+x^{2}}\right) dx=\log \left( 1+\sqrt{1+x^{2}}\right) x+\sinh ^{-1}(x)

 

Edição de 7-12-2007: Outro exemplo, escrito na notação do Integrator,  é o da primitiva de

 

 x^r (Log[x])  que é igual a

 

  1 + r
x      (-1 + (1 + r) Log[x])
————————————-
                     2
          (1 + r)

O cálculo deste integral está explicado nesta entrada da Matemática utilizando o método de integração por partes. Claro que é muito, mas muito mais instrutivo, fazer o cálculo à mão do que recorrer ao “Integrator”. No entanto, por vezes é difícil de “ver” qual o método de integração mais apropriado.

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