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Feito histórico de Pedro Vieira: 1.ª medalha de prata portuguesa nas Olimpíadas Internacionais de Matemática

Julho 20, 2009 in Matemática, Notícia, Olimpíadas, Problema | Tags: Matemática, Notícia, Olimpíadas, Problema | Leave a comment

Fonte: http://www.mathetalente.de/community/fotos/photo.html?albumid=75#photoid=870

“Para ter sucesso nesta cadeira [Matemática], acima de tudo, não se pode ter espírito derrotista e desistir à primeira, é preciso tentar descobrir onde está o erro.”

Pedro Vieira, Correio da Manhã 21 Julho 2009 – 00h30

Fonte: http://www.dmfa.si/imo2009/day3.pdf

Comunicado de Imprensa da Sociedade Portuguesa de Matemática

    « Portugal bate todos os seus recordes nas Olimpíadas Internacionais de Matemática

    Pedro Vieira conquista a primeira medalha de prata portuguesa na competição

    É, definitivamente, uma equipa para ficar na história. Além de conquistar a primeira medalha de prata portuguesa nas Olimpíadas Internacionais de Matemática, conseguiu a melhor pontuação de sempre, 99 pontos, e a melhor posição na tabela geral, em 33.º lugar. Em 20 anos de participação, a melhor classificação portuguesa na tabela tinha sido em 1989, em 44.º lugar, no ano da sua primeira participação.
    Esta equipa conseguiu ainda outro feito histórico: todos os elementos do grupo foram galardoados, algo que nunca tinha acontecido. Pedro Vieira foi o responsável pela medalha de prata. Jorge Miranda, João Pereira e Ricardo Moreira (irmão de um ex-olímpico) conquistaram as três medalhas de bronze, tendo Jorge Miranda ficado apenas a um ponto de alcançar a segunda medalha de prata. Gonçalo Matos e Raul Penaguião conseguiram duas menções honrosas, por terem uma resposta totalmente certa. A equipa regressa a Lisboa na próxima quarta-feira, dia 22 de Julho. (…) »

* * *

Exemplo de um problema (de Quarta-feira, 15 de Julho de 2009):

Problema 2. Seja $ABC$ um triângulo cujo circuncentro é $O$ . Sejam $P$ e $Q$ pontos interiores dos lados $CA$ e $AB$ , respectivamente. Sejam $K,L$ e $M$ os pontos médios dos segmentos $BP,CQ$ e $PQ$ , respectivamente, e $\Gamma$ a circunferência que passa por $K,L$ e $M$ . Suponha que a recta $PQ$ é tangente à circunferência $\Gamma$ . Demonstre que $OP=OQ$ .

Fonte: http://www.imo2009.de 50th International Mathematical Olympiad

21.07.09: Cobertura (em alemão) pela Rádio Bremen ( http://www.radiobremen.de ), 14.07.09:

600 Mathe-Genies im Wettstreit, Internationale Mathematik-Olympiade in Bremen

» Junge Mathematik-Genies aus aller Welt sind seit dem 10. Juli 2009 zur 50. Internationalen Mathematik-Olympiade (IMO) in Bremen. Fast 600 Schülerinnen und Schüler aus 105 Ländern haben sich in Vorrunden für das Finale qualifiziert. Zum deutschen Team gehören fünf Jungen im Alter zwischen 17 und 19 Jahren und ein 16 Jahre altes Mädchen. «

Tradução:

Concurso entre 600 génios da matemática, Olimpíadas Internacionais de Matemática, em Bremen

« Jovens génios da matemática de todo o mundo estão em Bremen, desde 10 de Julho de 2009 para participar nas Olimpíadas Internacionais de Matemáticas (IMO). Nas eliminatórias qualificaram-se para a final quase 600 alunas e alunos de 105 países. Os elementos da equipa alemã são cinco rapazes com idades entre os 17 e os 19 anos e uma rapariga de 16. »

Adenda de 21.07.09: outro problema, do mesmo dia, é o último (o n.º 6), ~~particularmente~~ tradicionalmente difícil, segundo Terence Tao. Sobre ele o Professor propôs, ontem, no seu blogue, que os seus leitores o tentassem resolver de forma colaborativa, havendo já mais de centena e meia de comentários, no post respectivo, pelo que decidiu abrir um segundo post. [1.º período editado às 22:15]

Eis o

Problema 6. Sejam $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ inteiros positivos distintos e $M$ um conjunto de $n-1$ inteiros positivos que não contém o número $s=a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}$ . Um gafanhoto pretende saltar ao longo da recta real. Ele começa no ponto $0$ e dá $n$ saltos para a direita de comprimentos $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ , em alguma ordem.

Prove que essa ordem pode ser escolhida de modo que o gafanhoto nunca caia num ponto de $M$ .

Fonte: http://www.imo2009.de 50th International Mathematical Olympiad

[25.07.09: Imo 2009 q6 - wiki for solving Problem 6 of the 2009 IMO - Mini-polymath1: Solving Problem 6 of the 2009 International Mathematical Olympiad. Initiated July 20, 2009; four proofs obtained so far ]

* * *

Nota de 24.07.09: Maximum possible points per contestant: 7+7+7+7+7+7=42; 49 Gold medals (score ≥ 32 points), 98 Silver medals (score ≥ 24 points), 135 Bronze medals (score ≥ 14 points).

Links:

IMO Official

50th IMO Individual Results

Rank 1: Makoto Soejima, Japan, Total: 42 – Gold medal

Rank 2: Dongyi Wei, People’s Republic of China, 42 – Gold medal

Rank 3: Lisa Sauermann, Germany, 41 – Gold medal

. . .

Rank 62: Pedro Vieira, Portugal, 29 – Silver medal

Rank 148: Jorge Miranda, 23 – Bronze medal

Rank 249: Ricardo Moreira, 15 – Bronze medal

Rank 249: João Pereira, 15 – Bronze medal

Rank 354: Gonçalo Matos, 9 – Honourable mention

Rank 376: Raúl Penaguião, 8 – Honourable mention

Rank 547: Total: 0

50th IMO Country Results

Rank 1: People’s Republic of China, Total: 221

Rank 2: Japan, 212

Rank 3: Russion Federation, 203

Rank 4: Republic of Korea, 188

Rank 5: Democratic People’s Republic of Korea, 183

Rank 6: United States of America, 182

Rank 7: Thailand, 181

Rank 8: Turkey, 177

Rank 9: Germany, 171

Rank 10: Belarus, 167

. . .

Rank 17: Brazil, 160

. . .

Rank 33: Portugal, 99

. . .

Rank 104: Total: 0

Adenda de 24.07.09:

Fonte: http://www.imo2009.de/imo/downloads/day9.pdf

Olimpíadas Internacionais de Matemática IMO2008

Julho 27, 2008 in Matemática, Notícia, Olimpíadas, Problema | Tags: Matemática, Notícia, Olimpíadas, Problema | Leave a comment

Portugal ficou na 67ª posição, com um total de 55 pontos. A China com 217 ficou em primeiro lugar, seguida da Federação Russa e dos Estados Unidos, respectivamente, com 199 e 190 pontos.

Os problemas, que se encontram disponíveis na página oficial

http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2008&column=rank&order=asc

também em versão portuguesa, pode vê-los igualmente nesta cópia em pdf: imo2008_pt .

Adenda: Eis o

« Problema 1. Seja $ABC$ um triângulo acutângulo e seja $H$ o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de $BC$ e que passa por $H$ intersecta a recta $BC$ nos pontos $A_1$ e $A_2$ . Analogamente, a circunferência de centro no ponto médio de $CA$ e que passa por $H$ intersecta a recta $CA$ nos pontos $B_1$ e $B_2$ , e a circunferência de centro no ponto médio de $AB$ e que passa por $H$ intersecta a recta $AB$ nos pontos $C_1$ e $C_2$ . Mostre que $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ estão sobre uma mesma circunferência. »

[ortografia corrigida por mim.]

Adenda de 31-7-2008

Individualmente Pedro Vieira e Jorge Miranda obtiveram uma medalha de bronze e Eloísa Pires uma menção honrosa.

Pedro Vieira

Fonte: http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=15759

$\bigskip$

Jorge Miranda

Fonte: http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=17906

$\bigskip$

Eloísa Pires

Fonte: http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=17850

$\bigskip$

Adenda de 2-8-2008

Os portugueses obtiveram, respectivamente, 15, 15 e 9 pontos, enquanto que a classificação máxima (42 pontos) foi obtida por Xiaosheng Mu, Dongyi Wei e Alex (Lin) Zhai, os dois primeiros chineses e o terceiro dos Estados Unidos.

ADENDA DE 5-8-2008: Notícia da SPM - 20 de Julho de 2008, Olimpíadas Internacionais de Matemática, Alunos do 11º ano conquistam medalha na segunda melhor prestação portuguesa de sempre.

IMO 2009: ver esta entrada

Internet Olympiad / Olimpíadas-Internet

Abril 5, 2008 in Matemática, Olimpíadas | Tags: Matemática, Olimpíadas | Leave a comment

O Ariel University Center de Samaria, Israel, publicou o seguinte documento pdf, em inglês, relativo às últimas Olimpíadas-Internet (organização, resultados, etc) – que se realizam online - e informação quanto às próximas (2008-2009).

pdf sobre as olimpíadas-internet

( Ariel University Center of Samaria, Department of Computer Science and Mathematics, Israel, Internet Olympiad)

Obtive esta informação neste post de 31 de Março do blogue FII Student:

Rezultate la Internet Olympiad 2008

Desconhecia completamente a sua existência. Deixo esta informação aos eventuais interessados.

Múltiplos e quadrados perfeitos (das XXV OPM)

Fevereiro 2, 2008 in Caderno, Exercício, Matemática, Olimpíadas, Problema, Teoria dos Números, sucessões | Tags: Caderno, Matemática, Matemática-secundário, Problema | Leave a comment

pdf: ver caderno

Este problema foi retirado das Olimpíadas de Matemática de 2006 (categoria B 10º-12º): 4º problema da 1ª eliminatória das XXV OPM .

” Escreve-se por ordem crescente cada um dos múltiplos de $3$ cuja soma com $1$ é um quadrado perfeito

$3,15,24,48,\ldots$

Qual é o 2006.º múltiplo que se escreve? “

Resolução

Apresento a minha resolução a seguir, que o leitor pode comparar com outras duas propostas de resolução mais elegantes (da SPM) .

Os primeiros quadrados perfeitos a seguir ao $2$ são:

$4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,\ldots ,\left( n+1\right)^{2}\ldots$

dos quais se obtêm, por subtracção de $1$ a cada,

$u_{1}=3,u_{2}=9,u_{3}=15,u_{4}=24,u_{5}=35,$

$u_{6}=48,u_{7}=63,u_{8}=80,u_{9}=99,u_{10}=120$

$u_{11}=143,u_{12}=168,u_{13}=195,u_{14}=224,\ldots ,u_{n}=\left(n+1\right) ^{2}-1,\ldots$

Destes, como $u_{2}=9,u_{5}=35,u_{8}=80,u_{11}=143,u_{14}=224$ não são múltiplos de 3, ficam

$u_{1}=3,$

$u_{3}=15,u_{4}=24,$

$u_{6}=48,u_{7}=63,$

$u_{9}=99,u_{10}=120,$

$u_{12}=168,u_{13}=195,\ldots$

Confirmemos: para $n=2,3,4,5,\ldots$

$u_{3n-4}=\left( 3n-4+1\right) ^{2}-1=3\left( 3n^{2}-6n+2\right) +2$

não são múltiplos de 3. Por outro lado, para $n=3,4,5,\ldots$

$u_{3n-5}=\left( 3n-5+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-4\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-8n+5\right)$

$u_{3n-6}=\left( 3n-6+1\right) ^{2}-1=\left( 3n-5\right) ^{2}-1=3\left(3n^{2}-10n+8\right)$

são claramente múltiplos de 3.

Assim, em cada três termos consecutivos $u_{n}$ (com $n\geq 3$ ), os primeiros dois são múltiplos de 3 e o terceiro não o é.

Se renumerarmos os índices e chamarmos à nova sucessão $v_{n}$ , temos

$v_{1}=2^{2}-1=3,$

$v_{2}=4^{2}-1=15,$

$v_{3}=5^{2}-1=24,$

$v_{4}=7^{2}-1=48,$

$v_{5}=8^{2}-1=63,$

$v_{6}=10^{2}-1=99,$

$v_{7}=11^{2}-1=120,$

$v_{8}=13^{2}-1=168,$

$v_{9}=14^{2}-1=195,\ldots$

e o que se pede é $v_{2006}$ .

Como o número de inteiros cujos quadrados menos um dividem três é igual a:

$1$ no grupo de números $2$ a $3$ inclusive;
$2$ em cada grupo de três números a seguir ao $3$ , ou seja, de $4$ a $6$ , de $7$ a $9$ , etc.
$2005$ de $2$ a $3009$ , em virtude de

$\dfrac{3009}{3}=1003=1+1002$

$1\times 1+1002\times 2=2005$

e, reparando que o último destes inteiros é o que corresponde a $3008$ e não a $3009$ ( $3009^2-1$ não é múltiplo de $3$ ),

$v_{2005}=3008^{2}-1=9048\,063.$

O termo seguinte é o resultado procurado

$v_{2006}=3010^{2}-1=9060\,099.$

Actualização de 8-3-2006: ligeiras alterações.

Problema das Olimpíadas: o comprimento de um comboio (XXIV OPM)

Novembro 6, 2007 in Exercício, Matemática, Matemática-secundário, Olimpíadas, Problema | Tags: Matemática, Matemática-secundário, Problema | Leave a comment

Nuno Crato , na sua coluna do “Expresso”, Passeio Aleatório, na pág. 85 da Única, 14 Abril 2006, deu conta do seguinte problema que apareceu nas provas das Olimpíadas Portuguesas destinadas aos alunos do Básico e do Secundário:
«O Alexandre e o Herculano estão na Estação de Campanhã à espera do comboio. Para se entreterem, decidem calcular o comprimento de um comboio de mercadorias que passa pela estação sem alterar a velocidade. Quando a frente do comboio passa por eles, o Alexandre começa a andar no sentido oposto. Os dois caminham à mesma velocidade e cada um deles pára no momento em que se cruza com o fim do comboio. O Alexandre andou 45 metros e o Herculano 30. Qual o comprimento do comboio?»

Resolução

Designemos por $L$ o comprimento do comboio (em metros) que pretendemos calcular; por $V$ e $v$ as velocidades, respectivamente, do comboio e do Alexandre (ou do Herculano, igual pelo enunciado). No intervalo de tempo $t$ que decorre desde o momento em que o Herculano começa a andar até que pára, o combóio andou $L-30$ metros à velocidade $V$ e o Herculano $30$ à velocidade $v$ . Assim,

$30=vt$

$L-30=Vt$

ou seja, dividindo a segunda equação pela primeira

$\displaystyle\frac{V}{v}=\frac{L-30}{30}$

Enquanto o Alexandre anda $45$ metros num intervalo de tempo $t\prime$ , desde que inicia o movimento até que pára, o comboio anda $L+45$ metros:

$45=vt\prime$

$L+45=Vt\prime$

logo, temos

$\displaystyle\frac{V}{v}=\frac{L+45}{45}$

Igualando as duas equações que exprimem $V/v$ , chegamos à equação

$\displaystyle\frac{L-30}{30}=\frac{L+45}{45}$

que resolvida dá

$L=180$

Por conseguinte, o comprimento do comboio é de $180$ m. $\qquad\blacktriangleleft$

Embora neste artigo “Desafios da Matemática” Nuno Crato não indique a solução, pergunta, “Será que o comboio mede, em metros, uma vez e meia o número de maneiras distintas de colocar cinco pessoas na fila do autocarro?”

Verifiquemos: o número de maneiras distintas nas condições especificadas é $5!=120$ ; e $120\times1,5=180$ . A resposta é, pois, “sim”.

Nuno Crato sublinha que há muitos métodos de resolução deste problema. Qual é o seu?

Variante à resolução indicada acima: Seja $L$ o comprimento do comboio. O comboio anda, respectivamente, $L+45$ e $L-30$ metros, enquanto o Alexandre e o Herculano caminham $45$ e $30$ metros (a velocidade constante e igual). Sendo a velocidade do comboio constante, a distância que percorre é directamente proporcional à distância andada por um e por outro:

$\displaystyle\frac{L+45}{L-30}=\dfrac{45}{30}$

que é equivalente à equação estabelecida acima.

Resolução publicada pela SPM: O Alexandre andou mais $45-30=15$ metros do que o Herculano e, no período de tempo que o Alexandre demorou a percorrer esses $15$ metros, o comboio andou $45+30=75$ metros.
Portanto, no mesmo período de tempo, o comboio percorre $75/15=5$ vezes mais metros do que cada um dos rapazes. Assim, enquanto o Herculano andou $30$ metros, o comboio andou $30\times 5=150$ metros. Como o Herculano começou a andar quando foi passado pela frente do comboio, parou quando se cruzou com o fim do comboio e andou $30$ metros no sentido oposto, então o comboio tem $150+30=180$ metros de comprimento.

Edição de 24-02-2008: acrescentados links e “das XXIV OPM” no título.

Edição de 3-10-2008: alterado novamente o título.

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