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During the closing ceremony the Olympic flag was handed over to the Argentinean delegation. Next year the IMO will be in Mar del Plata. Argentineans are very happy to receive all of you!
The host countries for the coming years were also announced:
- 2013 Colombia
- 2014 South Africa
- 2015 Thailand »
* * *
Correio da Manhã, 25.07.2011
« Portugal obtém resultado inédito nas Olimpíadas Internacionais de Matemática
Miguel Santos ganha medalha de ouro e fica para a história das Olimpíadas
É um feito verdadeiramente excepcional. Miguel Martins dos Santos, 16 anos, arrecadou a primeira medalha de ouro da história da participação portuguesa nas Olimpíadas Internacionais de Matemática (IMO), que estão a decorrer na Holanda. Miguel Santos obteve um resultado extraordinário numa competição que conta com a participação de 574 estudantes vindos de mais de uma centena de países. Para já, a equipa permanece em Amesterdão, mas aterrará no Aeroporto da Portela, em Lisboa, no próximo domingo, dia 24 de Julho, pelas 14h35, onde a espera uma recepção em grande, a que nem o ministro da Educação e Ciência, Nuno Crato, faltará.
O alcance do resultado obtido por Miguel Santos é tanto mais importante se se tiver em conta que o estudante do 10º ano da Escola Secundária de Alcanena competiu em pé de igualdade com jovens que estão a terminar o ensino secundário. O percurso que Miguel Santos tem vindo a percorrer nas Olimpíadas de Matemática deixa adivinhar um futuro brilhante: nas três participações nas Olimpíadas Portuguesas de Matemática (OPM) nunca deixou escapar a medalha de ouro e, em 2010, com apenas 15 anos, estreou-se nas IMO, levando para casa uma menção honrosa.
Nunca um participante português tinha chegado tão longe nas IMO, as mais antigas olimpíadas internacionais de ciências do mundo. Para abrilhantar ainda mais a participação nacional nesta competição, João Magalhães dos Santos e Raúl Penaguião, ambos alunos do 12º ano, arrecadaram duas medalhas de bronze e Luís Duarte, do 10º ano, obteve uma menção honrosa.
Miguel Martins dos Santos e João Magalhães dos Santos, os dois melhores classificados nas IMO, terão agora de se preparar para uma nova competição, que decorrerá em Setembro: as Olimpíadas Iberoamericanas de Matemática (OIAM). Estas terão lugar na Costa Rica, para onde Miguel e João partirão com os dois melhores de um grupo de quatro alunos também seleccionados em estágios de preparação.Mas as competições olímpicas não ficam por aqui. Portugal é o país anfitrião das primeiras Olimpíadas de Matemática da Lusofonia (OIM), que estão a decorrer em Coimbra. Até ao dia 31 de Julho, mais de duas dezenas de estudantes competirão e partilharão experiências neste evento que reúne participantes vindos de todos os países de língua portuguesa. (…) »
* * * (mais…)
, 
, 
, 
, 
, 
há inicialmente só uma moeda. Dois tipos de operações são possíveis:
, com 
. Retirar uma moeda de 
.
, com 
. Retirar uma moeda de 
e 
.
moedas. (Observe que 
.) 
um triângulo cujo circuncentro é 
. Sejam 
e 
pontos interiores dos lados 
e 
, respectivamente. Sejam 
e 
os pontos médios dos segmentos 
e 
, respectivamente, e 
a circunferência que passa por 
.
inteiros positivos distintos e 
inteiros positivos que não contém o número 
. Um gafanhoto pretende saltar ao longo da recta real. Ele começa no ponto 
e dá 
saltos para a direita de comprimentos 
o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de 
e que passa por 
e 
. Analogamente, a circunferência de centro no ponto médio de 
e 
, e a circunferência de centro no ponto médio de 
e 
. Mostre que 
estão sobre uma mesma circunferência. 
são:
não são múltiplos de 3, ficam
(com 
), os primeiros dois são múltiplos de 3 e o terceiro não o é.
, temos
.
a 
, de 
a 
, etc.
de 
, em virtude de
e não a 
não é múltiplo de 
o comprimento do comboio (em metros) que pretendemos calcular; por 
e 
as velocidades, respectivamente, do comboio e do Alexandre (ou do Herculano, igual pelo enunciado). No intervalo de tempo 
que decorre desde o momento em que o Herculano começa a andar até que pára, o combóio andou 
metros à velocidade 
à velocidade 
metros num intervalo de tempo 
, desde que inicia o movimento até que pára, o comboio anda 
metros:
, chegamos à equação
m. 
; e 
. A resposta é, pois, “sim”.
metros do que o Herculano e, no período de tempo que o Alexandre demorou a percorrer esses 
metros, o comboio andou 
metros.
vezes mais metros do que cada um dos rapazes. Assim, enquanto o Herculano andou 
metros. Como o Herculano começou a andar quando foi passado pela frente do comboio, parou quando se cruzou com o fim do comboio e andou 
metros de comprimento.
