Problemas Teoremas

Junho 4, 2009

Definições equivalentes dos polinómios de Chebyshev ( ou Tchebycheff )

Filed under: Exercícios Matemáticos,Matemática,Métodos Numéricos,Recorrência — Américo Tavares @ 2:19 pm
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Mostre que as duas definições A e B dos polinómios de Chebyshev ou Tchebycheff  (dependendo da transliteração adoptada) são equivalentes.

A – O polinómio de Chebyshev T_n(x) de ordem n\ge 0  verifica a relação de recorrência

T_0(x)=1, T_1(x)=x,

T_{n+1}=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) para n>0.

B – Para todo o inteiro n\ge 0 o polinómio de Chebyshev  é dado por

T_n(x)=\cos (n\arccos x).

Dezembro 29, 2008

Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

Filed under: Arte,Caderno,Equações,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:50 pm
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Se tiver uma equação  não  linear

f(x)=0

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial x_{1} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=1,2,,\ldots ) até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)  é  dada pela equação:

y=f^{\prime }(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})

que intersecta o eixo dos x no ponto de abcissa x_{2}

x_{2}=x_{1}-\dfrac{f\left( x_{1}\right) }{f^{\prime }\left( x_{1}\right) }

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

x_{3}=x_{2}-\dfrac{f\left( x_{2}\right) }{f^{\prime }\left( x_{2}\right) }

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a f(x) no ponto (x_{2},y_{2}=f(x_{2}))  e assim sucessivamente:

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função  f(x).

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de \sqrt{2}

\sqrt{2}  é  solução de x^{2}-2=0. Temos f(x)=x^{2}-2 e f^{\prime }(x)=2x, pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{x_{i}^{2}-2}{2x_{i}}

Escolhendo x_{1}=1, vem

x_{2}=x_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}-2}{2x_{1}}=1-\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{3}{2}

x_{3}=x_{2}-\dfrac{x_{2}^{2}-2}{2x_{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{3}{2}}=\dfrac{17}{12}

x_{4}=x_{3}-\dfrac{x_{3}^{2}-2}{2x_{3}}=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left( \dfrac{17}{12}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{17}{12}}=\dfrac{577}{408}

x_{5}=x_{4}-\dfrac{x_{4}^{2}-2}{2x_{4}}=\dfrac{577}{408}-\dfrac{\left( \dfrac{577}{408}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{577}{408}}=\dfrac{665857}{470832}

A sucessão

1,\dfrac{3}{2},\dfrac{577}{408},\dfrac{665857}{470832},\dots\rightarrow \sqrt{2}

A velocidade de convergência é  boa:

\sqrt{2}-1=0,41421

\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}=-8,5786\times 10^{-2}

\sqrt{2}-\dfrac{17}{12}=-2,4531\times 10^{-3}

\sqrt{2}-\dfrac{577}{408}=-2,1239\times 10^{-6}

\sqrt{2}-\dfrac{665857}{470832}=-1,5949\times 10^{-12}

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

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Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

meninas2009

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

Novembro 9, 2008

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Filed under: Caderno,Cálculo financeiro,Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 8:43 pm
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Suponha que tem a seguinte relação

y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}

e que pretende calcular x para um dado valor de y. Por exemplo y=15.
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.

No caso geral tem-se uma equação não linear

f(x)=0

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais x_{1} e x_{2} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=2,3,\ldots ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right) e por \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) tem o coeficiente angular

m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

 e a sua equação é

y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}.

Cruza o eixo dos x no ponto de abcissa x_{3}

x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) } leia o resto »

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