Definições equivalentes dos polinómios de Chebyshev ( ou Tchebycheff )

Mostre que as duas definições A e B dos polinómios de Chebyshev ou Tchebycheff  (dependendo da transliteração adoptada) são equivalentes.

A – O polinómio de Chebyshev de ordem   verifica a relação de recorrência

,

para .

B – Para todo o inteiro o polinómio de Chebyshev  é dado por

.

Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

pdf: ver caderno

 

Se tiver uma equação  não  linear

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial e geramos uma sucessão de valores () até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por   é  dada pela equação:

que intersecta o eixo dos no ponto de abcissa

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a no ponto  e assim sucessivamente:

.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função 

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de

  é  solução de . Temos e , pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

Escolhendo , vem

A sucessão

A velocidade de convergência é  boa:

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

 : : : : :

Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

pdf: ver caderno

Suponha que tem a seguinte relação

e que pretende calcular para um dado valor de Por exemplo
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

No caso geral tem-se uma equação não linear

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais e e geramos uma sucessão de valores () até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por e por tem o coeficiente angular

 e a sua equação é

.

Cruza o eixo dos no ponto de abcissa