Em Rearranging a formula, no MSE, pglove pretende obter 
Tradução da minha resposta
A sua equação é uma equação cúbica em
1. Esta equação tem em geral 
Dado que
obtemos a equação cúbica reduzida
2. O método de Cardano de resolução de 
Como
qualquer solução do sistema seguinte é também uma solução da equação cúbica reduzida
3. Fazendo
obtemos a seguinte equação quadrática
cujas raízes são
4. Assim, sem perda de generalidade, obtêm-se as seguintes raízes do sistema
5. Combinando os resultados anteriores obtemos a seguinte fórmula:
6. Os três valores complexos (ou reais) de 
- : – : -
Poderá encontrar em Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) uma explicação mais pormenorizada e exemplos numéricos.
, sabendo que 
é uma das raízes.
e 
são números reais. Se designarmos as suas raízes por 
e 
, então o polinómio decompõe-se nos factores
, 
e 
. Dado que 
é outra, como concluíu. Por isso tem-se 
e
, tem-se
é 
. Usando 
determina-se
e todo o vector 
, tem-se:
, tomo o vector 
, e vou achar
.
é não negativo:
,
,
.
.
for nulo, esta relação é evidentemente verificada.
desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.
e 
(com 
) verifica-se
termos cada é uma soma com 
termos:
e 
de cada termo genérico 
podem ser iguais 
ou o primeiro menor do que o segundo 
ou maior 
Separando estes três grupos de parcelas, vem
e 
obtém-se
, com e sem recurso à 
, isto é 
, com 
e 
polinómios em 
and 
. Temos
é indeterminado. Dado que podemos reescrever 
como
e 
, teremos
. Considere-se 
e some-se 
para 
:
no primeiro membro da primeira soma cancela o termo 
no segundo membro da segunda, 
, o 
, 
, o 
, …, o 
cancela 
. Assim
.
e as funções 
e 
serem definidas por 
, 
.
são as funções definidas na questão.
e 
, obtemos
da função inversa 
, é
e 
se verifica a seguinte identidade:
.
?”![x=\sqrt[5]{1}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=x%3D%5Csqrt%5B5%5D%7B1%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x=\sqrt[5]{1}")
, tem as 
soluções seguintes:
é um zero de 
. Pela divisão de polinómios ou pela regra de Ruffini determinamos
em dois polinómios quadráticos
é 
. Substituíndo-a determinamos os restantes coeficientes:
e
e que é constituída por uma sucessão de segmentos de recta cujos comprimentos formam uma sucessão geométrica de razão 
e 1.º termo igual a 
. Os ângulos entre os sucessivos segmentos e o semi-eixo positivo 
formam uma sucessão aritmética de razão igual a 
e 1.º termo igual a 
, como ilustrado na figura, para 
.
de convergência dos segmentos de recta?
e primeiro termo 
. A série é convergente porque 
, o que justifica o cálculo anterior. Para o caso da figura tem-se 
.
, o termo geral da série passa a ser 
, logo 
, 
, que corresponde à situação do problema A Converging Rabbit, onde se deve determinar como solução 
.
e converge para 
é uma redução de 
da linha que parte de 
, passa por 
e converge para o mesmo ![[O,P,Q]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5BO%2CP%2CQ%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[O,P,Q]")
é rectângulo em 
. Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos 
, donde 
e 
. A altura 
do triângulo baixada de 
, isto é 
. A distância 
entre 
, o que dá 
, obtendo-se 
, como atrás.
e 
, na seguinte, mais compacta
a função mais fácil de integrar, das duas que figuram no produto da função integranda. Normalmente, as funções 
, em que se escolhe para função a integrar a constante 
— e começo por transformar este problema trigonométrico num de variáveis complexas. Para isso faço 
. Como
, logo 
, há-de ser
, etc., vem sucessivamente
, obtemos finalmente
é uma solução de 
o resto da divisão de 
por 
será nulo. Podemos determinar o polinómio quociente através do método geral da divisão polinomial — em tudo semelhante à divisão aritmética de dois números –, dividindo o polinómio do numerador pelo do denominador. Como é de difícil reprodução aqui (relacionado com o código 
de escrita matemática), vou utilizar o método alternativo dos coeficientes indeterminados. Seja 
. Notemos que o grau de 
:
, obtém-se
, em que 
do ângulo giro 
.
. Pondo 
, na fórmula anterior e substituindo 
obtém-se:
será
, 
, etc., vem sucessivamente
.
com 
:
fica:
, para o que devemos fazer
