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Criação da página de pontos (testes) de Matemática do liceu da década de 1960. Matemática A da 1.ª fase de 2009

Junho 20, 2009 in Blogue, Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, Problema, Teste | Tags: , , , , , , | 1 comment

Criei a página «Testes 1960» onde penso colocar os meus pontos (testes) do liceu realizados na década de 60.

Mantenho-me em férias.

Eis um exemplo do 6.º Ano, 17-2-1967:

I TEORIA

1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é  contínua nesse ponto.

2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).

3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções  parcelas não  tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.

II PRÁTICA

1) Aplicando a definição  de derivada, calcule a derivada da função

y=5x^{2}-2x

2) Calcule os limites laterais da função

Y=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x^{2}-x}

para x=0; e conclua daí  se a função é  ou não  contínua  no ponto zero.

3) Um rectângulo está  inscrito num semicírculo de raio fixo, r. Exprimir a área, A, do rectângulo, como funções  da base, x. Determine o valor de x para o qual a área é  máxima.

 

Enunciado 6.º 1967.02.17

Enunciado 6.º 1967.02.17

 

Resolução 6.º 1967.02.17 - 1.ª página
Resolução 6.º 1967.02.17 – 1.ª página

Eis outro do 5.º Ano, 16-3-1966: [acrescentado aqui em 23.06.09]

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

* * *

Em 25.06.09

Prova de Matemática A – Proposta de correcção da APM

Fonte: Público de 24 de Janeiro de 2009

Matemática A 635 Proposta de correcção da APM
Matemática A 635 Proposta de correcção da APM

Matemática A 635 - Continuação da Correcção
Matemática A 635 – Continuação da Correcção
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
E aqui a proposta de Resolução da SPM

 

Exercícios algébricos simples de Combinatória

Fevereiro 28, 2009 in Combinatória, Exercício, Matemática, Matemática-secundário, Problema | Tags: , , , | 2 comments

1. Diga se existe algum número natural menor que 10 tal que:

^{n\!}C_{n-2}=2^{n-2}-1.

Justifique.

2. Prove que

 ^{n\!}C_{k}=\dfrac{n-k+1}{k}\times ^{n\!}C_{k-1}

3. Determine n de modo a que se tenha

 ^{n+3\!}C_{n}-^{n+2\!}C_{n-1}=15(n+1)

4. Determine n de modo a que se tenha

 ^{n\!}C_{2}=136

Resolução

A fórmula das combinações  ^{n\!}C_{k} é  ^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

1. Neste caso tem-se

^{n\!}C_{n-2}=\dfrac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!}=\dfrac{n(n-1)}{2}

Então

  \dfrac{n(n-1)}{2}=2^{n-2}-1

é  equivalente a

 n(n-1)=2^{n-1}-2\Leftrightarrow n^{2}-n=2^{n-1}-2\Leftrightarrow n^{2}=2^{n-1}-2+n

Por tentativas chegamos à solução inteira n=6 (por sinal a  única). Os primeiros casos, começando em n=9 e continuando no sentido descendente são:

9^{2}=81 e 2^{9-1}-2+9=263

8^{2}=64 e 2^{8-1}-2+8=134

7^{2}=49 e 2^{7-1}-2+7=69

que são valores diferentes. Mas

6^{2}=36 e 2^{6-1}-2+6=36

6^{2}=2^{6-1}-2+6=36

 

Verificação:

^{n\!}C_{n-2}=2^{n-2}-1

^{6\!}C_{6-2}=\dfrac{6(6-1)}{2}=15

2^{6-2}-1=15

Os restantes, também diferentes, são

5^{2}=25 e 2^{5-1}-2+5=19

4^{2}=16 e 2^{4-1}-2+4=10

3^{2}=9 e 2^{3-1}-2+3=5

2^{2}=4 e 2^{2-1}-2+2=2

1^{2}=1 e 2^{1-1}-2+1=0

2. Como

 ^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

 e

 ^{n\!}C_{k-1}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-(k-1)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}

vem

 \dfrac{^{n\!}C_{k}}{^{n\!}C_{k-1}}=\dfrac{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}

=\dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)!}{k(k-1)!(n-k)!}=\dfrac{n-k+1}{k}

Logo

 ^{n\!}C_{k}=\dfrac{n-k+1}{k}\times ^{n\!}C_{k-1}

3. Como

 ^{n+3\!}C_{n}=\dfrac{(n+3)!}{n!(n+2-n)!}

=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2!}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2}

e

^{n+2\!}C_{n-1}=\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!(n+2-(n-1))!}=\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}

a igualdade indicada é  equivalente, sucessivamente, a

\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2}-\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}=15(n+1)

3(n+3)(n+2)-(n+2)n=90

2n^{2}+13n-72=0

As duas soluções  são:

\dfrac{-13+\sqrt{745}}{4},\dfrac{-13-\sqrt{745}}{4}

Como nenhuma é  inteira, não  tem solução  nos naturais, pelo que não  há  nenhum valor de n que verifique a condição indicada.

4.  Como

^{n\!}C_{2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2\times 1\times (n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}

e

 \dfrac{n(n-1)}{2}=136

\Leftrightarrow n(n-1)=2\times 136\Leftrightarrow n(n-1)=272\Leftrightarrow n^{2}-n-272=0

A solução  positiva é

n=\dfrac{1+\sqrt{1+4\times 272}}{2}=17

A negativa exclui-se por esse facto.

Verificação:

^{17\!}C_{2}=\dfrac{17\times 16}{2}=136.

Observação de 1-3-2009: comentário suprimido.

Nota de 15-3-2008: nesta entrada pode ver um problema de nível um pouco mais avançado que prolonga o exercício 1 a todos os naturais, aproveitando o 1º. comentário.

Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Fevereiro 9, 2009 in Exercício, Matemática, Matemática-secundário, Problema, Trigonometria | Tags: , , , | Leave a comment

A – Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função  trigonométrica periódica

 f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2},

 representada no gráfico, no intervalo \left[ -\pi ,\pi \right] .

ftextremos

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver f(t) e obter f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t.

2 – Calcular a derivada de f(t):  f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t.

3 – Resolver a equação f^{\prime}(t)=0 e obter as soluções

  t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\} .

4 – Observar o andamento da função  no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é  f\left( t_{\max }\right) e o mínimo f\left( t_{\min }\right) , em que

t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi

 e

 t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi .

B – Indique qual é o período da função f. Justifique.

Eis a tradução da resposta e sua  justificação por Jacques Glorieux relativa à parte  B.

« O período é \pi.

Tem-se \cos \left( t+\pi \right) +2\sin \left( t+\pi \right) =-\cos \left( t\right) -2\sin \left( t\right) . Quadrando ambos os membros, vê-se que \left( \cos \left( t\right) +2\sin \left( t\right) \right) ^{2} tem período \pi .

O mesmo raciocínio aplica-se a \left( 3\cos \left( t\right) +2\sin \left( t\right) \right) ^{2}. Assim, f(t) é a soma de duas funções  periódicas de período \pi , e por isso também é periódica, sendo o seu período igual a \pi .»

Actualização de 20-2-2009: acrescentada a resposta a B.

 

Links para Matemática A – 10.º e 11.º anos – Testes Intermédios de 2009

Janeiro 29, 2009 in Matemática, Matemática-secundário, Teste | Tags: , , | Leave a comment

Links:

10.º ano

Teste – Versão 1 

Resolução – Versão 1 

11.º ano

Teste – Versão 1 

Resolução – Versão 1 

 

Fonte: GAVE

http://www.gave.min-edu.pt/np3/9.html

Coisas básicas da matemática e seu ensino, segundo Nuno Crato

Janeiro 19, 2009 in Divulgação, Ensino, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, Notícia | Tags: , , , , , | Leave a comment

Divulgo duas opiniões de Nuno Crato numa entrevista ao Notícias Magazine, retiradas do De Rerum Natura:

« As disciplinas de matemática que existem hoje no ensino básico e secundário são baseadas no conceito de introdução à matemática mas esvaziaram-se de uma série de coisas que são básicas na matemática: as definições claras, as deduções, as demonstrações, os teoremas… tudo aquilo que é mais abstracto, mais formalizado, mais duro, e que é parte integrante do edifício matemático, está pouco a pouco a desaparecer do ensino básico e secundário. As crianças falam muito pouco em termos de operações, porque tudo é dado em contexto, com piscinas e bananas e prédios e laranjas. »

« No secundário (…) há uma série de conceitos matemáticos novos que são dados de forma superficial, o que impossibilita que os alunos consigam pouco a pouco entrar no espírito hipotético-dedutivo da matemática. A matemática distingue-se de outras disciplinas por ter essa componente hipotético-dedutiva, baseada em pressupostos variáveis que determinam que se possa deduzir rigorosamente a partir deles. E isso está a 99% esvaziado do ensino secundário. »

Nota: o bold é da minha responsabilidade.

Américo Tavares

1951, eng. electrotécnico, IST, 1974, reformado;
membro da Ordem dos Engenheiros e sócio da Sociedade Portuguesa de Matemática.

Bem-vindo(a)!

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