O Expresso publica esta semana o artigo «Mudam-se os tempos, mudam-se os exames», ilustrado por uma cópia parcial da folha de rosto da prova escrita de Matemática do antigo 5.º ano do liceu, de 1962, quatro antes de eu ter feito o meu, que reproduzo
Fonte: Expresso, 19.06.2011
Diz o Expresso que «pediu a nove alunos do 9.º ano que fizessem [esta] prova». Apenas um dos alunos teria positiva.
« (…) todos disseram que aquela prova ‘obrigava a puxar mais pela cabeça’ e a ‘fazer mais contas’, que os exercícios eram ‘mais cansativos’ e ‘teóricos’. »
Vejamos a alínea a) da primeira questão:
« Simplifique a expressão
até obter um polinómio na forma reduzida. »
![E=5x^2y^6-[-(xy^3+3x^2)^2-x^4]-4x^3y^3](http://s0.wp.com/latex.php?latex=E%3D5x%5E2y%5E6-%5B-%28xy%5E3%2B3x%5E2%29%5E2-x%5E4%5D-4x%5E3y%5E3&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "E=5x^2y^6-[-(xy^3+3x^2)^2-x^4]-4x^3y^3")
Como faríamos?
![\begin{aligned}E &=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(xy^{3}+3x^{2}\right) ^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left(-x^{2}y^{6}-6x^{3}y^{3}-9x^{4}-x^{4}\right)-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}+x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}+x^{4}-4x^{3}y^{3} \\&=6x^{2}y^{6}+2x^{3}y^{3}+10x^{4}\end{aligned}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cbegin%7Baligned%7DE+%26%3D5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-%5Cleft%5B+-%5Cleft%28xy%5E%7B3%7D%2B3x%5E%7B2%7D%5Cright%29+%5E%7B2%7D-x%5E%7B4%7D%5Cright%5D-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D+%5C%5C%26%3D5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-%5Cleft%5B+-%5Cleft%28x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D%2B6x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2B9x%5E%7B4%7D%5Cright%29+-x%5E%7B4%7D%5Cright%5D+-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D+%5C%5C%26%3D5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-%5Cleft%28-x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-6x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D-9x%5E%7B4%7D-x%5E%7B4%7D%5Cright%29-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D+%5C%5C%26%3D5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D%2Bx%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D%2B6x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2B9x%5E%7B4%7D%2Bx%5E%7B4%7D-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D+%5C%5C%26%3D6x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D%2B2x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2B10x%5E%7B4%7D%5Cend%7Baligned%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\begin{aligned}E &=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(xy^{3}+3x^{2}\right) ^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}-\left(-x^{2}y^{6}-6x^{3}y^{3}-9x^{4}-x^{4}\right)-4x^{3}y^{3} \\&=5x^{2}y^{6}+x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}+x^{4}-4x^{3}y^{3} \\&=6x^{2}y^{6}+2x^{3}y^{3}+10x^{4}\end{aligned}")
ou
![5x^{2}y^{6}-\left[ -\left( xy^{3}+3x^{2}\right)^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-%5Cleft%5B+-%5Cleft%28+xy%5E%7B3%7D%2B3x%5E%7B2%7D%5Cright%29%5E%7B2%7D-x%5E%7B4%7D%5Cright%5D-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "5x^{2}y^{6}-\left[ -\left( xy^{3}+3x^{2}\right)^{2}-x^{4}\right]-4x^{3}y^{3}")
![5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=5x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D-%5Cleft%5B+-%5Cleft%28x%5E%7B2%7Dy%5E%7B6%7D%2B6x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D%2B9x%5E%7B4%7D%5Cright%29+-x%5E%7B4%7D%5Cright%5D+-4x%5E%7B3%7Dy%5E%7B3%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "5x^{2}y^{6}-\left[ -\left(x^{2}y^{6}+6x^{3}y^{3}+9x^{4}\right) -x^{4}\right] -4x^{3}y^{3}")
A resposta seria
A diferença do número de páginas do enunciado é manifesta: duas, em 1962; quinze, em 2010, estas com formulário, tabela trigonométrica e espaço para as respostas. Na década de 1960 as questões eram formuladas de uma forma mais seca, enquanto que agora são mais contextualizadas. Em 1960 a estatística e as probabilidades não faziam parte do programa; o tema de uma das questões de 1962 só é tratado no secundário.
[Edição de 22.06.2011: o exame do 9.º deste ano foi este.]
Na ausência do meu exame de 1966, aproveito para republicar dois testes (os chamados pontos) dessa altura, na Guarda.
10-11-1965
I
Torne irredutíveis as seguintes fracções:
a)
b)
II
a) Efectue as seguintes operações e simplifique os resultados:
b) Calcule o valor numérico da expressão
para 
III
Efectue as operações e simplifique os resultados:
a)
![5\sqrt{x}-14\sqrt[4]{x^{2}}+8\sqrt[6]{64x^{3}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=5%5Csqrt%7Bx%7D-14%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2B8%5Csqrt%5B6%5D%7B64x%5E%7B3%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "5\sqrt{x}-14\sqrt[4]{x^{2}}+8\sqrt[6]{64x^{3}}")
b)
![\dfrac{3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}:2}{\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{8}-\sqrt{18}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B3%5Csqrt%7B2%7D-%5Cdfrac%7B3%5Csqrt%7B2%7D%3A2%7D%7B%5Csqrt%7B8%7D%5Ccdot+2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%5B6%5D%7B8%7D-%5Csqrt%7B18%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}:2}{\sqrt{8}\cdot 2\sqrt{2}}}{\sqrt[6]{8}-\sqrt{18}}")
c)
![\dfrac{\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}}{\sqrt{a^{-1}\sqrt{a}}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Ba%5Ccdot+%5Csqrt%5B4%5D%7Ba%5E%7B-3%7D%7D%7D%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E%7B-1%7D%5Csqrt%7Ba%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[4]{a^{-3}}}}{\sqrt{a^{-1}\sqrt{a}}}")
d) Substitua a expressão dseguinte por outra equivalente, mas com denominador racional.
* * *
16-3-1966
I
Efectue e simplifique a seguinte expressão:
![\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B+%5Cleft%28+%5Cdfrac%7Bx%2By%7D%7B3%7D%5Cright%29+%5E%7B2%7D-%5Cleft%28+%5Cdfrac%7B3%7D%7Bx-y%7D%5Cright%29+%5E%7B-2%7D%5Cright%5D+%5Ctimes+%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B2%5E%7B3%7Dx%5E%7B3%7D%5Ctimes+%5Cdfrac%7B1%7D%7By%5E%7B-3%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}")
II
Calcule, com denominador racional, o valor da expressão 
III
Resolva em ordem a 
IV
O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.
V
a) Quanto mede o arco 
b) Como classifica o triângulo 
c) Se for 
d) Sendo como se disse na alínea anterior,
VI
Considere um paralelogramo 
a) Que posição tem
b) Considerar os segmentos 
c) Que relação de grandeza têm os segmentos
d) Quantos planos definem o ponto 
do dinheiro que poupou em roupa. De seguida, 
do que lhe sobrou em jogos, e finalmente 
do restante em brinquedos, ficando para si com 
euros. Quanto dinheiro tinha antes de fazer as compras?
representa a totalidade do dinheiro amealhado e dividir esta unidade de acordo com as fracções do dinheiro gasto em cada compra:
euros.
a soma dos antecedentes 
está para a sua diferença, assim como a soma dos consequentes 
está para a sua diferença.
, será
, indique se os triângulos exteriores são iguais aos interiores e calcule a medida dos seus lados:
m
?
term?
.
– 24.03.10 – 
e 
são pontos de uma linha recta, sendo 
. Os comprimentos dos segmentos 
e 
e 
, respectivamente. Qual é o comprimento do segmento 
?
, 
e 
os números a determinar. Então, temos sucessivamente:
, 
e 
, o que coincide com a resposta de Jorge, no comentário.
e ao número de respostas erradas 
.
; o número de pontos negativos correspondentes às erradas é 
. O número total de pontos é igual a 
que sabemos ser zero.
é o número de erradas, basta resolver a equação
a percentagem dos que lêm a B mas não lêem a A e por 
a percentagem dos que lêem a A mas não lêem a B.
milhas e o navio Y, 
milhas.
milhas a Norte e Y a 
milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 
milhas e 
milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a 
milhas.
anos. Se a idade actual da mãe for 
. Daqui a dois anos a idade da mãe será 
. Pelo enunciado sabe-se que
.
anos e a do irmão 
. A mãe tem agora 
anos
e 
.
, pelo que a mãe hoje tem 
anos e o pai 
. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:
, da mãe; 
, do pai.
:
.
, a mãe 
e o pai 
.
?
e 
é 
e o seu produto 
, sabemos que 
e que 
. Ou seja, como 
,
.
e 
. Os números procurados são, então, o 
e o 
e 
. Ou seja, como 
,
.
e 
. Mas,
.
.
