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Criação da página de pontos (testes) de Matemática do liceu da década de 1960. Matemática A da 1.ª fase de 2009

Junho 20, 2009 in Blogue, Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, Problema, Teste | Tags: , , , , , , | 1 comment

Criei a página «Testes 1960» onde penso colocar os meus pontos (testes) do liceu realizados na década de 60.

Mantenho-me em férias.

Eis um exemplo do 6.º Ano, 17-2-1967:

I TEORIA

1) Prove que toda a função que tem derivada finita num dado ponto é  contínua nesse ponto.

2) Demonstre que a derivada da soma de duas ou mais funções é sempre igual à soma das derivadas das funções dadas (onde estas tiverem derivada finita).

3) Se lhe pedirem para determinar a derivada duma função, soma das duas funções, num ponto onde uma das funções  parcelas não  tivesse derivada aplicaria a regra anterior? Diga como faria e justifique.

II PRÁTICA

1) Aplicando a definição  de derivada, calcule a derivada da função

y=5x^{2}-2x

2) Calcule os limites laterais da função

Y=\dfrac{\sqrt{x^{2}}}{x^{2}-x}

para x=0; e conclua daí  se a função é  ou não  contínua  no ponto zero.

3) Um rectângulo está  inscrito num semicírculo de raio fixo, r. Exprimir a área, A, do rectângulo, como funções  da base, x. Determine o valor de x para o qual a área é  máxima.

 

Enunciado 6.º 1967.02.17

Enunciado 6.º 1967.02.17

 

Resolução 6.º 1967.02.17 - 1.ª página
Resolução 6.º 1967.02.17 – 1.ª página

Eis outro do 5.º Ano, 16-3-1966: [acrescentado aqui em 23.06.09]

I

Efectue e simplifique a seguinte expressão:

\left[ \left( \dfrac{x+y}{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{3}{x-y}\right) ^{-2}\right] \times \dfrac{3}{\sqrt[3]{2^{3}x^{3}\times \dfrac{1}{y^{-3}}}}

II

Calcule, com denominador racional, o valor da expressão \dfrac{x^2+2}{x^2-2} para x=\sqrt{2}+1.

III

Resolva em ordem a x a equação:

x^2-ax+a\sqrt{a}=\sqrt{a}\cdot x

IV

O produto de três números em progressão geométrica é igual a 216. Se multiplicar o primeiro por 4, o segundo por 5 e o terceiro por 4, obtém três números em progressão aritmética e dispostos pela mesma ordem. Calcule os números.

V

ABC é um triângulo equilátero inscrito no círculo de centro em O.

a) Quanto mede o arco \overset{\frown }{AB}? Porquê ?

b) Como classifica o triângulo CDA? Justifique a resposta.

c) Se for r=3 cm, quanto mede a corda AC? Porquê ?

d) Sendo como se disse na alínea anterior, r=3 cm, calcule a área do triângulo ABC

circulotriangulo

VI

Considere um paralelogramo ABCD em que a diagonal maior é AC. Seja O o ponto de encontro das diagonais e OP uma recta perpendicular ao plano do paralelogramo ABCD

a) Que posição tem OP em relação a cada um dos lados do paralelogramo? Justificar a resposta.

b) Considerar os segmentos PA,PB,PC e PD. Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

c) Que relação de grandeza têm os segmentos PA e PC? Justificar a resposta.

d) Quantos planos definem o ponto P, os lados do paralelogramo e as suas diagonais? Justificar a resposta.

* * *

Em 25.06.09

Prova de Matemática A – Proposta de correcção da APM

Fonte: Público de 24 de Janeiro de 2009

Matemática A 635 Proposta de correcção da APM
Matemática A 635 Proposta de correcção da APM

Matemática A 635 - Continuação da Correcção
Matemática A 635 – Continuação da Correcção
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
Conclusão da resolução de Matemática A 1.ª fase de 2009
E aqui a proposta de Resolução da SPM

 

Problemas a nível do Básico de leitores

Março 16, 2009 in Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Problema | Tags: , , , | 2 comments

Dedidi reunir aqui alguns problemas a nível do Básico que foram colocados nos comentários, a que dei resposta. O enunciado ou a resolução foram por vezes ligeiramente editados.

1.  Num trabalho havia 16 questões. Carlos ganhara 5 pontos por cada questão certa e perdera 3 pontos por cada questão errada. Sabendo que ele tirou zero no trabalho, em quantas questões acertou?

Resolução: Chamo ao número de respostas certas p e ao número de respostas erradas q.

Se há 16 questões,

p+q=16

O número de pontos positivos correspondentes às respostas certas é 5p; o número de pontos negativos correspondentes às erradas é 3q. O número total de pontos é igual a 5p-3q que sabemos ser zero.

Precisamos de resolver o sistema

p+q=16
5p-3q=0

o que nos conduz a

p=6
q=10

O Carlos acertou em 6 questões.

Método alternativo: se p for o número de respostas certas, como 16-p é o número de erradas, basta resolver a equação

5p-3(16-p)=0

para obter, como antes, p=6.

2. Sabendo que 60% dos funcionários de uma empresa lêem a revista A, 80% lêem a revista B e que todos os funcionarios lêem ao menos uma revista, qual a percentagem dos que lêem as duas revistas?

Resolução: Vou designar por x a percentagem dos que lêem as duas revistas, por y a percentagem dos que lêm a B mas não lêem a A e por z a percentagem dos que lêem a A mas não lêem a B.

A informação de que todos os funcionários lêem ao menos uma revista traduz-se na equação

x+y+z=100

O dado de que 60% dos funcionarios de uma empresa lêem a revista A exprime-se por

x+z=60

O outro dado — 80% lêem a revista B — corresponde a

x+y=80

Resolvendo este sistema de três equações a três incógnitas, chegamos a

x=40
y=40
z=20

A resposta à pergunta é o valor de x, ou seja, 40% lêem as duas revistas.

3. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Resposta: a) 45

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16\times 2,25=36 milhas e o navio Y, 12\times 2,25=27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72-36=36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36^2+27^2=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

Penso utilizar esta entrada para eventualmente responder a outros problemas deste nível. Read the rest of this entry »

Coisas básicas da matemática e seu ensino, segundo Nuno Crato

Janeiro 19, 2009 in Divulgação, Ensino, Matemática, Matemática-Básico, Matemática-secundário, Notícia | Tags: , , , , , | Leave a comment

Divulgo duas opiniões de Nuno Crato numa entrevista ao Notícias Magazine, retiradas do De Rerum Natura:

« As disciplinas de matemática que existem hoje no ensino básico e secundário são baseadas no conceito de introdução à matemática mas esvaziaram-se de uma série de coisas que são básicas na matemática: as definições claras, as deduções, as demonstrações, os teoremas… tudo aquilo que é mais abstracto, mais formalizado, mais duro, e que é parte integrante do edifício matemático, está pouco a pouco a desaparecer do ensino básico e secundário. As crianças falam muito pouco em termos de operações, porque tudo é dado em contexto, com piscinas e bananas e prédios e laranjas. »

« No secundário (…) há uma série de conceitos matemáticos novos que são dados de forma superficial, o que impossibilita que os alunos consigam pouco a pouco entrar no espírito hipotético-dedutivo da matemática. A matemática distingue-se de outras disciplinas por ter essa componente hipotético-dedutiva, baseada em pressupostos variáveis que determinam que se possa deduzir rigorosamente a partir deles. E isso está a 99% esvaziado do ensino secundário. »

Nota: o bold é da minha responsabilidade.

Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

Agosto 17, 2008 in Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Problema | Tags: , , , | 3 comments

Um casal e os seus dois filhos têm conjuntamente 85 anos. A filha é mais velha cinco anos do que o irmão e o pai mais dois do que a mãe. Calcular a idade actual de cada um sabendo que daqui a dois anos a mãe tem o triplo da idade da filha.

Resolução

Se designar por x a idade actual da filha, o filho tem agora x-5 anos. Se a idade actual da mãe for y, a do pai será y+2. Daqui a dois anos a idade da mãe será y+2 e a da filha x+2. Pelo enunciado sabe-se que

y+2=3(x+2)

que é equivalente a

y=3x+4 (1)

E também se sabe que a soma das idades é igual a 85:

x+(x-5)+y+(y+2)=85 (2)

Substituindo a equação (1) em (2) vem

x+(x-5)+3x+4+(3x+4+2)=85

ou, de forma equivalente

x+x+3x+3x=85+5-4-4-2

8x=80

x=10.

A idade actual da filha é então de 10 anos e a do irmão 5. A mãe tem agora 

y=3x+4=34 anos

e o pai 36.

Confirmando: 36+34+10+5=85 e 34+2=3\times (10+2)=36.

ADENDA DE 28-8-2008: Outro método de resolução poderá ser o que passo a expor, que necessita apenas da resolução de uma equação numa única variável. Acho, no entanto, que até é mais difícil do que o anterior.

Se x for a idade actual da filha do casal, a do filho é x-5. Daqui a dois anos a idade da filha será x+2 anos e a da mãe 3(x+2), pelo que a mãe hoje tem 3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4 anos e o pai 3x+4+2=3x+6. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:

x, a da filha; x-5, do filho; 3x+4, da mãe; 3x+6, do pai.

Somando todas as idades há-de dar 85:

x+x-5+3x+4+3x+6=85

Agrupando os termos em x e os independentes da equação vem:

8x=80
x=\dfrac{80}{8}=10.
A fiha tem pois 10 anos, o filho 10-5=5, a mãe 3(10)+4=34 e o pai 3(10)+6=36.

Resolução do problema da determinação de dois números dos quais se sabe a soma e o produto

Agosto 12, 2008 in Exercício, Matemática, Matemática-Básico, Problema | Tags: , , , | 3 comments

Nesta entrada enunciei este problema dividido em duas partes:

1. Quais são os dois números que somados dão 20 e multiplicados, 75?

2. A soma de dois números a e b é s e o seu produto p. Determine os números e justifique.

Apresento agora uma possível

Resolução

1. Designando os dois números que pretendemos achar por x,y, sabemos que x+y=20 e que xy=75. Ou seja, como y=20-x,

x(20-x)=75\Leftrightarrow 20x-x^2=75\Leftrightarrow x^2-20x+75=0.

As duas soluções desta equação são

x_1=\dfrac{20+\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20+10}{2}=15

x_2=\dfrac{20-\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20-10}{2}=5

a que correspondem, respectivamente, y_1=20-15=5 e y_2=20-5=15. Os números procurados são, então, o 15 e o 5.

2. Este mesmo método aplicado agora a este caso geral, traduz-se em: a+b=s e ab=p. Ou seja, como b=s-a,

a(s-a)=p\Leftrightarrow sa-a^2=p\Leftrightarrow a^2-sa+p=0.

As duas soluções desta equação são

a_1=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

a_2=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}

a que correspondem, respectivamente, b_1=s-a_1 e b_2=s-a_2. Mas,

b_1=s-a_1=s-\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_2

e

b_2=s-a_2=s-\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_1.

Por este motivo, os números que satisfazem o enunciado são

\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

e

\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}.

 

Américo Tavares

1951, eng. electrotécnico, IST, 1974, reformado;
membro da Ordem dos Engenheiros e sócio da Sociedade Portuguesa de Matemática.

Bem-vindo(a)!

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