Exercício de Cálculo: área da elipse

A equação de uma elipse cujos eixos coincide com os coordenados é, como se sabe,

em que e são os semi-eixos. Assim, tem-se

A  área delimitada pela elipse é o quádruplo da que se situa no 1.º quadrante; donde

Equivalência das definições de uma região do plano ℝ² em coordenadas cartesianas x,y e polares r,θ

Problema: é a região de definida por

Mostre que  em coordenadas polares se define por

Círculos concêntricos e relação de áreas de dois triângulos — um inscrito e outro circunscrito

Sabe-se que:

•  o raio da circunferência externa é ;
•  o declive da recta vermelha é ;
•  a área do triângulo verde é da área do triângulo rectângulo vermelho tangente à circunferência interna.

Qual é o comprimento do seu cateto vertical?

Enunciado adaptado desta questão do MSE de user1131662. A minha resposta, utilizando métodos da geometria analítica, foi esta, em que me limito a verificar analiticamente que o comprimento é .

Haverá uma resolução puramente geométrica?

Edição de 16-02-2012: acrescentado “em que me limito … comprimento é “.

Projecção ortogonal de um ponto sobre uma recta

Problema: São dadas as coordenadas de três pontos , e , num referencial cartesiano . Seja a recta definida por e , e seja a recta perpendicular a que passa por . Determinar as coordenadas do ponto de intersecção das rectas e , ou seja a projecção de sobre .

Aplicação da fórmula de Herão: determinação do perímetro de um triângulo dadas as três alturas

Neste meu antigo post apresentei uma dedução geométrica da fórmula de Herão da área de um triângulo, que também pode ser obtida por métodos trigonométricos:

em que  é o perímetro e e são os lados.

Na questão recente Find the perimeter of any triangle given the three altitude lengths , no MSE, de Chris Johnson são dados os comprimentos das três alturas e de um triângulo e pede-se um método que permita determinar o seu perímetro. André Nicolas utilizou um que aplica a fórmula de Herão da área de um triângulo. Eis uma tradução de parte da minha  resposta, que segue o mesmo método.

No caso geral de um triângulo com alturas perpendiculates respectivamente aos lados , a sua área é . Consequentemente , , , pelo que o perímetro e o semi-perímetro do triângulos são dados por

em que é tal que

Logo

Resolvendo em ordem a , obtemos

e finalmente o perímetro em função de e , sendo uma função de , como atrás indicado:

Para o caso numérico obtém-se .

Lugar geométrico dos baricentros dos triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa e …

Nos triângulos rectângulos com a mesma hipotenusa , determinar:

1.º O lugar geométrico dos baricentros ;

2.º O lugar geométrico dos centros dos círculos inscritos.

Fonte: Exercício 70-a (Bacc. Grenoble), p. 271, de Cours de Géometrie Élémentaire de F. G. – M., 3.ª edição, 1917.

Visualização da convergência de uma série geométrica complexa

Este post é essencialmente uma adaptação e interpretação do problema A Converging Rabbit  do blogue Rambling Thoughts  de Moor Xu, do qual obtive a devida permissão.

     

Considere-se uma linha quebrada que parte da origem e que é constituída por uma sucessão de segmentos de recta cujos comprimentos formam uma sucessão geométrica de razão e 1.º termo igual a . Os ângulos entre os sucessivos segmentos e o semi-eixo positivo formam uma sucessão aritmética de razão igual a e 1.º termo igual a , como ilustrado na figura, para .

Como determinar as coordenadas do ponto de convergência dos segmentos de recta?

Um dos processos será considerar a série geométrica complexa de razão e primeiro termo :

O ponto de convergência é então . A série é convergente porque , o que justifica o cálculo anterior. Para o caso da figura tem-se .

Se o ângulo de rotação de um segmento em relação ao anterior for , o termo geral da série passa a ser , logo , , pelo que a sua soma se generaliza a:

Por exemplo, , que corresponde à situação do problema A Converging Rabbit, onde se deve determinar como solução .

Alternativamente este problema admite uma resolução puramente geométrica. Retomo a série da 1.ª figura.

A linha azul que começa em e converge para é uma redução de da linha que parte de , passa por e converge para o mesmo , seguida de uma rotação de no sentido contrário ao do ponteiro do relógio, além de uma translacção. Por este motivo, o triângulo é rectângulo em e o cateto . Assim, pelo teorema de Pitágoras, temos , donde e . A altura do triângulo baixada de pode obter-se igualando a área calculada tomando como base a hipotenusa ou um dos catetos: , isto é . A distância entre e a pé da altura é tal que , o que dá , obtendo-se , como atrás.

Problema do mês :: Problem of the month #6. (Círculos :: Circles). Resolução :: Solution

pdmpom20101003

Problema: Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².

Resolução de Jacques Glorieux (minha tradução):

Seja o raio dos círculos. Visto que tem-se . Como é parlalelo  a , o ângulo . Assim, o ângulo . Logo é um quadrado de lado . Tem-se

.

.

.

A área de é, portanto,  . Mas esta área . Por este motivo

Outras resoluções por: josejuan , Prof. Paulo Sérgio.

Problem: The four circles have equal radius. Find it if the size of the triangle is 1 m².

Solution by Jacques Glorieux:

Let be the radius of the circles. We have thus . As is parallel to , angle . Thus angle . Thus is a square of side . We have

.

.

.

The area of is thus . But this area . Thus

Other solvers:  josejuan , Prof. Paulo Sérgio.

Problema sobre triângulos e quadrados

Sabendo que a área da figura azul é , indique se os triângulos exteriores são iguais aos interiores e calcule a medida dos seus lados:

Figura de David Eppstein, (com Günter Ziegler e Greg Kuperberg),  COMB01, Barcelona, 2001

(disponível em Polyhedra and Polytopes, Triangles and squares)

Resposta

São Iguais

Cada lado mede  m

 

Edição de 1-10-2010: acrescentada resposta (corrigida). 

Problema do mês :: Problem of the month #6

pdmpom20100913

Enunciado do Problema

Os quatro círculos têm o mesmo raio. Determine-o no caso do triângulo medir 1 m².

• Serão bem-vindas soluções até ao fim do mês, comentando ou por email: acltavares@sapo.pt

Problem Statement

The four circles have equal radius. Find it if the size of the triangle is 1 m².

• Solutions till the end of the month will be welcome, in the comments
  box or via e-mail: acltavares@sapo.pt

Matemática — Uma Breve Introdução de Timothy Gowers

O Professor Timothy Gowers (Medalha Fields 1998) escreveu o livro cuja tradução portuguesa é  Matemática Uma Breve Introdução, que comecei a ler. No Prefácio escreve «A noção de espaço de Hilbert ilumina de tal forma a matemática contemporânea, (…), que, quem a desconhecer, não pode pretender possuir uma educação matemática superior».  Explica de seguida como para «poder compreender o que é um espaço de Hilbert, é necessário previamente aprender toda uma hierarquia de conceitos».  Aconselha o pensamento abstracto, de que trata no capítulo dos «Números e abstracção».

No capítulo «Demonstrações» apresenta   a da irracionalidade de , em vários passos, cada vez mais pormenorizados.

Reproduzo a do teorema de Pitágoras:

 

Solução do Desafio: áreas de faixas dentro do círculo :: Solution for the Challenge: strip areas inside the circle

Enunciado do desafio :: Challenge statement

Os arcos de circunferência a grosso verdes e azuis têm o mesmo comprimento. A soma das áreas delimitadas pelos arcos e linhas a grosso azuis é igual à soma das áreas delimitadas pelos verdes? Justifique.

Nota: os diâmetros são perpendiculares.

 

The thick green and blue circle arcs have the same lengths. Does the sum of the areas limited by the thick blue arcs and lines equal the sum of the areas limited by the green ones? Justify.

Remark: the diameters are perpendicular.

Solution by Jacques Glorieux:

Let’s denote by the angle and by the angle .

The area of the green trapezium (trapezoid)  is :

The area of the green trapezium (trapezoid)  can easily be obtained by replacing by in :

By summing and , we obtain the area of the two green trapezia (trapezoids):

, which is not dependant on angle .

If we look at the original drawing, we see that the blue figure is just a particular case of the green one when .

The sum of the areas of the two blue trapezia (trapezoids) is thus the same as the sum of the areas of the two green trapezes.

As the total green (blue) area is equal to the sum of the areas of the two green (blue) trapezia (trapezoids) plus twice the area under one of the chord (i.e. ), the green and the blue areas are equal.

[Correction of May 12, 2010: trapezium (trapezoid), trapezia (trapezoids) instead of trapeze, trapezes A. Tavares]

* * *

Resolução de Jacques Glorieux:

Designemos por o ângulo  e por o ângulo .

A área do trapézio verde  é:

A área do trapézio verde pode obter-se facilmente  substituindo por em :

Somando e , obtemos a área dos dois trapézios verdes:

, que não depende do ângulo .

Se observarmos o desenho original, vemos que a figura azul é o caso particular da verde para .

A soma das áreas dos dois trapézios azuis é por isso a mesma que a da soma das áreas dos dois trapézios verdes.

Como o total das áreas verdes (azuis) é igual à soma das áreas dos dois trapézios verdes (azuis) mais o dobro da área sob uma corda (i.e. ), as áreas verdes e azuis são iguas.