Triângulo como picture do LaTeX desenhado num blogue do WordPress

Na secção 5.2 de The Not So Short Introduction to LaTeX2ɛ de Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna e Elisabeth Schlegl é descrito o ” Picture Environment“. Daí (p. 97)

\setlength{\unitlength}{0.8cm}

\begin{picture}(6,5)

    \thicklines

    \put(1,0.5){\line(2,1){3}}

    \put(4,2){\line(-2,1){2}}

    \put(2,3){\line(-2,-5){1}}

    \put(0.7,0.3){$A$}

    \put(4.05,1.9){$B$}

    \put(1.7,2.95){$C$}

    \put(3.1,2.5){$a$}

    \put(1.3,1.7){$b$}

    \put(2.5,1.05){$c$}

    \put(0.3,4){$F=

        \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}

    \put(3.5,0.4){$\displaystyle

        s:=\frac{a+b+c}{2}$}

\end{picture}

adaptei o exemplo seguinte.

O  código LaTeX a seguir, escrito sem espaços para ser aceite correctamente pelo WordPress

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){A}\put(4.05,1.9){B}\put(1.7,2.95){C}\put(3.1,2.5){a}\put(1.3,1.7){b}\put(2.5,1.05){c}\end{picture}&fg=000000$

desenha o triângulo

que tem o inconveniente das letras não estarem em itálico. Passando-as a itálico através de \textit, modifiquei o código  para

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){\textit{A}}\put(4.05,1.9){\textit{B}}\put(1.7,2.95){\textit{C}}\put(3.1,2.5){\textit{a}}\put(1.3,1.7){\textit{b}}\put(2.5,1.05){\textit{c}}\end{picture}&fg=000000$

simulando desta forma o que no picture environment se obtém com as letras escritas entre $ $, mas que aqui entra em conflito com a sintaxe reconhecida pelo WordPress, ficando

Construção da elipse a partir de duas circunferências

pdf: ver caderno

Considere a seguinte elipse

Suponhamos que . Esta elipse, representada a seguir centrada na origem, resulta da composição de duas circunferências, uma de diâmetro igual ao eixo menor da elipse e outra de diâmetro igual ao seu eixo maior. O eixo da circunferência menor é coincidente com o eixo dos e o da maior com o dos . Se a elipse não estaria “deitada” e as circunferências menor e maior trocariam de posição entre si.

 

Eixo dos é o horizontal e o eixo dos , o vertical

Construção da elipse (a verde): os pontos da elipse encontram-se no cruzamento dos segmentos de recta paralelos a (horizontais) que passam por um dado ponto da  circunferência a preto, da esquerda, com os segmentos de recta  paralelos a   (verticais) que passam pelo  ponto correspondente  da circunferência azul, por baixo da elipse. Imagine que começa em ambas as circunferências nos pontos situados mais à direita e que vai rodando no sentido contrário aos ponteiros do relógio a  uma velocidade angular constante em ambas. Depois de ter regressado a cada um desses pontos nas duas circunferências, desenha, por este processo, a elipse, no sentido também contrário aos ponteiros do relógio. [Parágrafo acrescentado no mesmo dia]

Cubo de dimensão n, n-cubo ou hipercubo

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O cubo de dimensão   , hipercubo ou -cubo  obtém-se do de dimensão deslocando-o numa direcção  perpendicular ao hiperplano que contém o -cubo de uma distância igual a , e unindo nesse processo os vértices dos dois -cubos inicial e final por arestas.

Por exemplo, a partir do cubo tridimensional (de aresta unitária), cujos vértices, escritos numa sequência de três bits ( bitstring ) são

  e

podemos obter o quadridimensional introduzindo uma quarta dimensão. Este cubo tem 16 vértices, e que são, enumerando-os:

,

e

Do cubo tridimensional passamos ao bidimensional (o -cubo ou quadrado) retirando-lhe uma das dimensões. Se for a terceira (correspondente ao bit da esquerda) ficamos com os vértices

e .

Deste retirando-lhe mais uma dimensão ficamos com o -cubo (ou segmento), cujos vértices são o

e

Visualmente, o cubo de dimensão   pode representar-se na folha de papel (no ecrã do computador), por exemplo, por

Claro que este cubo quadridimensional não existe no espaço euclidiano.

PS. Este cubo é um grafo que pode ser redesenhado e ficar numa forma que lhe seja equivalente.

Problema não resolvido sobre triângulos e outros polígonos de área máxima inscritos numa circunferência

Mostre que de todos os possíveis triângulos inscritos na circunferência  os de maior área são os equiláteros. Se um dos vértices tiver coordenadas , quais são as dos outros dois?

Generalize para para um polígono de lados.

 

Perímetro da astróide

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A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto  de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide — não confundir com asteróide — e as suas equações paramétricas são

e a cartesiana,

.

O gráfico, para , é o seguinte

 

Sabe-se que, se a derivada de uma função real existir e for contínua no intervalo , o gráfico de  é rectificável e o seu comprimento , entre os dois pontos de abcissa e , é dado por

(1)

ou, se forem funções reais da variável real  

,

com primeira derivada contínua, então

(2).

Determine o perímetro da curva representada ().

Sugestão: calcule através do integral (2) o comprimento do troço da astróide definido por  e daí obtenha o perímetro.

Resposta:

 

Resolução:

Vou seguir a sugestão, uma vez que a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, o seu perímetro é quatro vezes o valor do integral seguinte

;

logo

.

[Actualização de 14-8-2008: acrescentada a resolução.]

[Edição de 30-9-2008: acrescentado pdf e corrigida uma gralha num integral]