Problemas Teoremas

Abril 19, 2012

Transformação de séries em fracções contínuas

Filed under: Demonstração,Fracções Contínuas,Matemática,Mathematics Stack Exchange,Séries,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 1:03 pm
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Neste post vou apresentar um exemplo: o desta questão de James, no Mathematics Stack Exchange, em que a série a transformar é

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{2^{2^{i}}}

Tradução da minha resposta

Podemos aplicar a seguinte fórmula de transformação geral de uma série numa fracção contínua, que se pode justificar (ver Notas 1 e 2) comparando as relações de recorrência fundamentais de uma fracção contínua com a da soma parcial da série:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{u_{1}}{v_{1}+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}v_{n}\right)\right) }.

Neste caso tem-se u_{n}=1, v_{n}=2^{\left( 2^{n}\right) }:

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{v_{n}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left( \left( -v_{n}^{2}\right) /\left( v_{n+1}+v_{n}\right)\right) }

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{N-1}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right)\right) }

=\dfrac{1}{4+}\dfrac{-16}{20+}\cdots \dfrac{-2^{2^{n+1}}}{2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+}{\cdots }\dfrac{-2^{2^{N}}}{2^{2^{N}}+2^{2^{N-1}}}.

A transformação da série em fracção contínua é então

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{2^{n}}}=\dfrac{1}{4+\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbb{K}}}\left(\left( -2^{2^{n+1}}\right)/\left( 2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}\right) \right) }.

Nota 1: As somas parciais

s_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{u_{k}}{v_{k}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verificam, para n\geq 2,

s_{n}=s_{n-1}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{A_{n-1}}{B_{n-1}}+\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=\dfrac{v_{n}A_{n-1}+u_{n}B_{n-1}}{v^{n}B_{n-1}}=\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

o que significa que

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}.

A fracção contínua truncada

\displaystyle\underset{k=1}{\overset{n}{\mathbb{K}}}\left( u_{k}/v_{k}\right) =\dfrac{A_{n}}{B_{n}}

verifica

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}\qquad A_{0}=0

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}\qquad B_{0}=1.

Nota 2: Cálculo algébrico pormenorizado. Para n=1 tem-se

\dfrac{u_{1}}{v_{1}}=\dfrac{a_{1}}{b_{1}}=\dfrac{A_{1}}{B_{1}}\qquad u_{1}=a_{1}\qquad v_{1}=b_{1}.

Substituindo n por n-1  na primeira recorrência obtem-se para n\geq 3

A_{n-1}=v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n-1}=v_{n-1}\;B_{n-2}

o que por sua vez dá:

A_{n}=v_{n}\;A_{n-1}+u_{n}\;B_{n-1}

=v_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +u_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right)

=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;B_{n-1}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}.

A mesma substituição na segunda recorrência conduz a (para n\geq 3):

A_{n-1}=b_{n-1}\;A_{n-2}+a_{n-1}\;A_{n-3}

B_{n-1}=b_{n-1}\;B_{n-2}+a_{n-1}\;B_{n-3}.

Combinando tudo obtém-se:

A_{n}=b_{n}\;A_{n-1}+a_{n}\;A_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;A_{n-2}+u_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;A_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=b_{n}\;B_{n-1}+a_{n}\;B_{n-2}

=b_{n}\;\left( v_{n-1}\;B_{n-2}\right) +a_{n}\;B_{n-2}

=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

Comparando as duas fórmulas de A_{n} e B_{n} vem

A_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;A_{n-2}+\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;B_{n-2}

A_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\;\right) \;A_{n-2}+b_{n}\;u_{n-1}\;B_{n-2}

e

B_{n}=v_{n}\;v_{n-1}\;B_{n-2}

B_{n}=\left( b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}\right) \;B_{n-2}

concluindo-se que

v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;u_{n-1}

v_{n}\;v_{n-1}=b_{n}\;v_{n-1}+a_{n}.

Assim

a_{n}=v_{n}\;v_{n-1}-b_{n}\;v_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-\left( v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}\right)\;v_{n-1}/u_{n-1}

=v_{n}\;v_{n-1}-v_{n}\;v_{n-1}-u_{n}\;v_{n-1}\;v_{n-1}/u_{n-1}

=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2},

e

b_{n}\;u_{n-1}=v_{n}\;u_{n-1}+u_{n}\;v_{n-1}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Logo para n\geq 2,

a_{n}=-\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}^{2}

b_{n}=v_{n}+\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}v_{n-1}.

Agosto 10, 2011

A fracção contínua de 1 / (e – 2)

Filed under: Fracções Contínuas,Matemática,Mathematics Stack Exchange — Américo Tavares @ 8:49 pm
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Nesta questão  de Agosto de 2010, no MSE, Yonatan N perguntou porque é que uma fracção contínua de \dfrac{1}{e-2}, que indicou, era válida.

A resposta remonta a Euler. Eis a minha resposta, no original:

“ Euler proved in “De Transformatione Serium in Fractiones Continuas” Reference: The Euler Archive, Index number E593 (On the Transformation of Infinite Series to Continued Fractions) [Theorem VI, §40 to §42] that

s=\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-1}.

Here his an explanation on how he proceeded. He stated that if

\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=s,

then

a+\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=\dfrac{s}{1-s}.

Since, in this case, we have a=1,b=2,c=3,\ldots it follows

1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-2}.

Edit: Euler proves first how to transform an alternating series of a particular type into a continued fraction and then uses the expansion

e^{-1}=1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots .

——

REFERENCES

The Euler Archive, Index number E593,

Translation of Leonhard Euler’s paper by Daniel W. File, The Ohio State University. “

Janeiro 12, 2011

Fracções contínuas generalizadas — Diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos

Filed under: Fracções Contínuas,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:21 am
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Proponho-me demonstrar três fórmulas relativas às diferenças dos produtos cruzados dos numeradores e denominadores canónicos A_{n},B_{n} da fracção contínua generalizada

\dfrac{A_{n}}{B_{n}}=b_{0}+\underset{\nu =1}{\overset{n}{\mathbf{K}}}\left( \dfrac{a_{\nu}}{b_{\nu}}\right)\qquad (0)

a partir da relação de recorrência fundamental

\left\{ \begin{array}{c}b_{\nu }A_{\nu -1}+a_{\nu }A_{\nu -2}=A_{\nu } \\ b_{\nu }B_{\nu -1}+a_{\nu }B_{\nu -2}=B_{\nu }\end{array}\right. \qquad(\nu=1,2,\dots,n)\qquad (1)

e das condições iniciais a ela associadas A_{-1}=1, B_{-1}=0, A_{0}=b_{0}, B_{0}=1.

1. Demonstração da fórmula chamada do determinante (*)

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu-1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }\qquad (2)

Partindo da relação de recorrência (1), se multiplicarmos a primeira equação por B_{\nu -1} e a segunda por A_{\nu -1} e subtraírmos esta daquela, resulta

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=-a_{\nu }\left( A_{\nu -1}B_{\nu-2}-A_{\nu -2}B_{\nu -1}\right) \qquad (3)

Como

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=(b_{0}b_{1}+a_{1})1-b_{0}b_{1}=a_{1}

vemos que a identidade (3) é verificada para \nu =1:

A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1}=-a_{1}(A_{0}B_{-1}-A_{-1}B_{0})=-a_{1}(-1)=a_{1}

Aplicando (3) repetidamente, ao fim da iteração de ordem \nu obtemos a identidade (2):

A_{2}B_{1}-A_{1}B_{2}=-a_{2}(A_{1}B_{0}-A_{0}B_{1})=-a_{1}a_{2}

A_{3}B_{3}-A_{2}B_{3}=-a_{3}(A_{2}B_{1}-A_{1}B_{0})=a_{1}a_{2}a_{3}

\vdots

A_{\nu }B_{\nu -1}-A_{\nu -1}B_{\nu }=\left( -1\right) ^{\nu -1}a_{1}a_{2}\cdots a_{\nu }

(mais…)

Maio 5, 2010

Uma fracção contínua convergente

Filed under: Exercícios Matemáticos,Fracções Contínuas,Matemática,Sucessões — Américo Tavares @ 7:07 pm
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Pelo teorema de Śleszýnki-Pringsheim [1, p.30] (wikipedia), se para todos os valores naturais de j, se verificar \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, a fracção contínua \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) é convergente. É o caso de

    \dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\mathcal{K}_{j=1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) \qquad (1)

uma vez que a_{j}=1, b_{j}=2 e b_{j}=a_{j}+1.

Para calcular o número real representado por esta fracção contínua, reparemos que a sucessão dos convergentes

u_{1}=\dfrac{1}{2}

u_{2}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2+u_{1}}=\dfrac{2}{5}

u_{3}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}=\dfrac{1}{2+u_{2}}=\dfrac{5}{12}

u_{4}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2}}}}=\dfrac{1}{2+u_{3}}=\dfrac{12}{29}

\dots

verifica a relação

u_{n}=\dfrac{1}{2+u_{n-1}}

Aplicando limites, há-de ser

L:=\lim u_{n}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n-1}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+\lim u_{n}}=\dfrac{1}{2+L}

ou seja

L^{2}+2L-1=0

e

L=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1\qquad (2)

Por ser negativa exclui-se a outra solução da equação:

\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1<0

Pode interpretar-se este resultado como uma consequência da igualdade

\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}

e que corresponde a substituir em (1) as sucessivas caudas, pelo seus valores numéricos, todos eles iguais:

\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\begin{array}{c}\\\ddots\end{array}}}}=\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{2+\sqrt{2}-1}}=\cdots

 

Exercício: Mostre que, se u_k=\mathcal{K}_{j=1}^{k}\left( 1/2\right)

u_{2}<u_{4}<\cdots <u_{2n}<\cdots <\mathcal{K}_{j=1}^{\infty}\left( 1/2\right) <\cdots <u_{2n-1}<\cdots <u_{3}<u_{1}

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida truncando a fracção contínua

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

=b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

__________

    
 [1] Lorentzen, Lisa, Waadeland, Haakon, Continued Fractions with Applications, North-Holland, 1992

 

* * *

Nota: atingidos hoje os 300 mil hits.

Março 9, 2008

Putnam problem of the day (by the HMD dated March 1, 2008)

Filed under: Caderno,Exercícios Matemáticos,Exercise,Fracções Contínuas,Matemática,Math,Problem,Problemas,Putnam — Américo Tavares @ 11:33 am
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pdf: included in Caderno (see “caderno” page) 

On March 1st, 2008, the Putnam problem of the day displayed on the  Harvard’s Math Department site was stated as follows:

“ Evaluate

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}

Express your answer in the form

\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d},

where a,b,c,d are integers. “ 

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Solution

To evaluate the radicand I start by seeing that the continued fraction

x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}

satisfies

x=\dfrac{1}{2207-x}.

Thus,  since  \dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207, the only solution left is

x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}.

A few algebraic manipulations give

2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};

hence

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.

In order to have

\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}

or equivalently,

\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,

with a,b,c integers, d^8/2 should also be an integer; therefore d should be even. I assume that d=2; On the other hand  c should be 5. Thus,

2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8

\bigskip

\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }

\bigskip

\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}.

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Since, for b=2

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1,

this possibility is excluded. It remains  b=1

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000

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Now I confirm

\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

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So, the solution I came was

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\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

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Remark: The calculation of \displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

can be done by hand as follows

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

Update March, 20: you can compare with this solution   (Putnam 1995, Problem B5 )

Addendum of March 7, 2009: Comment/Proof of the convergence of the continued fraction by Vishal Lama (comment dated March 7, 2009)

“ In the solution presented in your post, x denotes an expression that we can’t assume, beforehand, is a finite number. x may perhaps be infinite! Therefore, the way to go about computing the expression (the infinite continued fraction) given in the problem is as follows.

The infinite continued fraction is defined as the limit of the sequence (a_n), where a_0 = 2207 and a_n = 2207 - 1/a_{n-1} for all n \geq 1. Then, we show that the sequence a_n is bounded from below (a_n>2206 for all n \geq 0, which can be shown by a simple induction) and that it is also strictly decreasing (which can be shown using induction, again).  Now, we invoke the Monotone Convergence Theorem to conclude that the sequence does indeed have a (finite) limit, which we can now denote by x. Once we establish that x (which is the infinite continued fraction!) is finite, we can compute x the way you did in your solution. Basically, we have to go through all that trouble just to prove that the given infinite continued fraction is indeed finite! Only after that can the computation begin! “

Part of my reply was: “I did not prove the convergence of the continued fraction. Thanks for doing it.
Basically I assumed that convergence based on a certain numerical evidence, but of course this evidence proves nothing.”

ADDENDUM of May 5, 2010: Alternatively we can prove the convergence applying the Śleszýnki-Pringsheim Theorem (a reference here,  wikipedia): if for all naturals j, \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, then the continued fraction \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) converges. Since a_j=-1 and b_j=2207, the theorem hypothesis is satisfied:

\left\vert b_{j}\right\vert=2207 \geq 1+1=\left\vert a_{j}\right\vert +1.

 

 

Março 1, 2008

Problema Putnam de hoje (do HMD)

Filed under: Caderno,Exercícios Matemáticos,Fracções Contínuas,Matemática,Problemas,Putnam — Américo Tavares @ 5:35 pm
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English version

pdf: ver caderno

No site do departamento do Harvard’s Math Department aparece hoje o seguinte enunciado (Putnam problem of the day):

« Evaluate

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}

Express your answer in the form

\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d},

where a,b,c,d are integers. »

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Resolução

NOTA PRÉVIA: a solução a que cheguei não teria sido possível de encontrar apenas com papel e lápis, pois alguns passos envolveram alguns cálculos numéricos feitos no Scientific Notebook. Se chegar a um método limpo, penso publicá-lo aqui. Efectivamente é possível calcular à mão as potências de um binómio com radicais, como se mostra na adenda de 9-3-2008.

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Começo por calcular o radicando, notando que a fracção contínua

x=\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}

verifica

x=\dfrac{1}{2207-x}

pelo que, como \dfrac{1}{2}\left( 2207+\sqrt{2207^2-4}\right) \approx 2207, só poderá ser

x=\dfrac{2207-\sqrt{2207^2-4}}{2}

e, após alguns cálculos

2207-x=\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2};

por este motivo

\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots}}}=\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}.

Para que

\sqrt[8]{\dfrac{2207+987\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a+b\sqrt{c}}{d}

ou, de forma equivalente,

\dfrac{d^8}{2}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =\left( a+b\sqrt{c}\right) ^8,

com a,b,c inteiros, é necessário que d^8/2 seja inteiro, pelo que d deve ser par. Vou admitir que d=2; por outro lado c deverá ser igual a 5. Então,

2^7\left( 2207+987\sqrt{5}\right) =126\,336\sqrt{5}+282\,496=\left( a+b\sqrt{5}\right) ^8

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\displaystyle a+b\sqrt{5}=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-b\sqrt{5}

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Como, para b=2

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-2\sqrt{5}<1

excluo esta possibilidade. Resta b=1

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\displaystyle a=\sqrt[8]{2^{7}\left( 2207+987\sqrt{5}\right) }-\sqrt{5}\approx 5,\,236\,1-2,\,236\,1=3,\,000

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Vou confirmar

\displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

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A solução pedida a que cheguei foi

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\displaystyle\sqrt[8]{2207-\dfrac{1}{2207-\dfrac{1}{2207-\cdots }}}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.

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Adendas de 9-3-2008 e 12-3-2008: O pdf foi actualizado em 12-3.

O  cálculo de

 \displaystyle \left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=126\,336\sqrt{5}+282\,496.

pode ser feito à mão da seguinte forma

\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}=6\sqrt{5}+14

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{4}=\left( 6\sqrt{5}+14\right) ^{2}=168\sqrt{5}+376

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\displaystyle\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{8}=\left( 168\sqrt{5}+376\right)^{2}=126\,336\sqrt{5}+282\,496

Actualização de 19-3-2008: veja outra  resolução aqui (Putnam 1995, Problem B5 )

Adenda de 7-3-2009: Tradução do Comentário/Demonstração de Vishal Lama  da convergência da fracção contínua  (comentário de hoje)

« Na resolução apresentada no post, x designa uma expressão que não podemos assumir à partida que  seja um número finito. x pode eventualmente ser  infinito! Por isso, a maneira de anteceder o cálculo da expressão (da fracção contínua infinita) dada no problema é como segue.

A fracção contínua infinita é definida como sendo o limite da sucessão (a_n), em que a_0 = 2207 e a_n = 2207 - 1/a_{n-1} qualquer que seja n \geq 1. Depois, mostramos que a sucessão a_n é limitada inferiormente (a_n>2206 para todos os n \geq 0, o que se pode fazer por uma indução simples) e que é também estritamente decrescente (a indução pode usar-se também para o mostrar).  A seguir, recorremos ao teorema da convergência monótona ( Monotone Convergence Theorem) para concluir que de facto a sucessão tem um limite (finito), que podemos então designar por x. Uma vez provado que x (ou seja, a fracção contínua infinita!) é finito, podemos calcular x da maneira que fez na resolução. Basicamente é preciso ter todo este trabalho para demonstrar que efectivamente a fracção contínua infinita tem um falor finito! Só depois podemos começar o cálculo!  »

Uma parte da minha resposta foi: «Não demonstrei a convergência da fracção contínua. Obrigado por tê-lo feito.
Basicamente admiti a convergência baseado numa certa evidência numérica, mas claro que isso não prova nada.»

ADENDA de 6-05-10: Em alternativa, podemos demonstrar a convergência pelo teorema de Śleszýnki-Pringsheim (referência aqui,  wikipedia): se para todos os valores naturais de j, se verificar \left\vert b_{j}\right\vert \geq \left\vert a_{j}\right\vert +1, a fracção contínua \mathcal{K}_{1}^{\infty }\left( a_{j}/b_{j}\right) é convergente. Ora como a_j=-1 e b_j=2207, verifica-se a hipótese do teorema:

\left\vert b_{j}\right\vert=2207 \geq 1+1=\left\vert a_{j}\right\vert +1.

Janeiro 14, 2008

Transformação das somas parciais de zeta(n) em fracção contínua

Filed under: Caderno,Fracções Contínuas,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 10:17 am
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No caderno mostro como transformar as somas parciais da série \zeta (n) em fracção contínua:

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{N}\left (\displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

pelo que

\zeta (n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{\infty}\left ( \displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }

Janeiro 6, 2008

Fracções contínuas generalizadas; o exemplo de ζ(3)

Filed under: Caderno,Fracções Contínuas,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 8:32 am
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No documento seguinte em versão pdf os meus leitores podem ver uma introdução às fracções contínuas generalizadas, bem como o exemplo do desenvolvimento em fracção contínua de \zeta(3). Esta introdução cobre essencialmente a dedução das relações  de recorrência verificadas pelas fracções contínuas

b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}+}\cdots

exemplificado pelo desenvolvimento em fracção contínua da série \zeta(3).

Edição de 12 e 13-1-08:

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\displaystyle\frac{6}{5-}\frac{1}{117-}\frac{64}{535-}\cdots \frac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5-}\cdots

 

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua

 

b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}},

 pelos elementos a_n,b_n, é uma expressão do tipo

\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right)

 =b_{0}+\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\dfrac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \dfrac{a_{n}}{b_{n}}.

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem n,n-1,n-2 verificam:

p_{n}=p_{n-1}b_{n}+p_{n-2}a_{n},

q_{n}=q_{n-1}b_{n}+q_{n-2}a_{n}.

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