Problemas Teoremas

Maio 18, 2012

Exemplo literal de resolução de uma equação cúbica

Filed under: Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Mathematics Stack Exchange — Américo Tavares @ 3:13 pm
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Em Rearranging a formula, no MSE,  pglove pretende obter b em função de a, a partir da equação

a+2b^{3}-3b^{2}=0\qquad (0)

Tradução da minha resposta

A sua equação é uma equação cúbica em b que se pode resolver algebricamente pela fórmula cúbica de Cardano (veja, por exemplo,  esta entrada de PlanetMath). Podemos escrevê-la na forma

b^{3}-\dfrac{3}{2}b^{2}+\dfrac{a}{2}=0.\qquad (1)

1. Esta equação tem em geral 3 raízes complexas. Em primeiro lugar fazemos a mudança de variáveis

b=t+\frac{1}{2}.\qquad (1a)

Dado que

\left( t+\dfrac{1}{2}\right) ^{3}-\dfrac{3}{2}\left( t+\dfrac{1}{2}\right) ^{2}+\dfrac{a}{2}=t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a,\qquad (2)

obtemos a equação cúbica reduzida

t^{3}-\dfrac{3}{4}t-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0.\qquad (3)

2. O método de Cardano de resolução de (3) consiste em escrever a variável t  como uma soma de duas variáveis

t=u+v.\qquad (3a)

Como

\begin{aligned}&\left( u+v\right) ^{3}-\dfrac{3}{4}\left( u+v\right) -\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a\\&=\left( u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a\right) +\left( 3uv-\dfrac{3}{4}\right)\left( u+v\right) =0\end{aligned}\qquad (4)

qualquer solução do sistema seguinte é também uma solução da equação cúbica reduzida (3).

\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0\\ 3uv-\dfrac{3}{4}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\\u^{3}v^{3}=\dfrac{1}{64}\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+\dfrac{1}{64u^{3}}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) =0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}\left( u^{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) u^{3}+\dfrac{1}{64}=0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}.\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}a=0\\3uv-\dfrac{3}{4}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+v^{3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\\u^{3}v^{3}=\dfrac{1}{64}\end{array}\right.

\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u^{3}+\dfrac{1}{64u^{3}}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) =0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}\left( u^{3}\right) ^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right)u^{3}+\dfrac{1}{64}=0\\v^{3}=\dfrac{1}{64u^{3}}.\end{array}\right.\qquad (5)

3. Fazendo

Y=u^{3},\qquad (5a)

obtemos a seguinte equação quadrática

Y^{2}-\left( \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}a\right) Y+\dfrac{1}{64}=0,\qquad (6)

cujas raízes são

Y_+=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{4}\sqrt{-a+a^{2}}\qquad (7a)

Y_-=\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{4}a-\dfrac{1}{4}\sqrt{-a+a^{2}}\qquad (7b)

4. Assim, sem perda de generalidade, obtêm-se as seguintes raízes do sistema (5)

u=Y_{+}^{1/3},\qquad v=\dfrac{1}{4Y_{+}^{1/3}}=Y_{-}^{1/3}.\qquad (8)

5. Combinando os resultados anteriores obtemos a seguinte fórmula:

\begin{aligned}b&=t+\frac{1}{2}=u+v+\frac{1}{2}\\&=\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}-a}\right)^{1/3}+\left( \frac{1}{8}-\frac{1}{4}a-\frac{1}{4}\sqrt{a^{2}-a}\right)^{1/3}+\frac{1}{2}.\end{aligned}\qquad (9)

6. Os três valores complexos (ou reais) de  (9) dão todas as soluções de (0).

- : – : -

Poderá encontrar em Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)  uma explicação mais pormenorizada e exemplos numéricos.

Maio 2, 2012

Equação quártica simétrica

Filed under: Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 12:37 pm
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A determinação das quatro soluções da equação quártica simétrica

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0\qquad (1)

é bastante fácil, como passo a explicar. Não sendo o termo constante a nulo x=0 não é raíz da equação. Dividindo por x^2 fica

\begin{aligned}ax^{2}+bx+c+bx^{-1}+ax^{-2}&=0\\a\left( x^{2}+x^{-2}\right) +b\left( x+x^{-1}\right) +c&=0\end{aligned}

Fazendo a seguinte mudança de variáveis

z=x+x^{-1}\qquad (2)

obtemos

x^{2}+x^{-2}=z^{2}-2

e

\begin{aligned}a\left( z^{2}-2\right) +bz+c&=0\\az^{2}+bz+c-2a&=0\end{aligned}

Esta equação em z tem as duas raízes

z_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}

z_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{2a}.

Resolvendo (2) em ordem a x, tem-se

x=\dfrac{1}{2}z\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{z^{2}-4}=\dfrac{1}{2}z\pm\sqrt{\dfrac{z^{2}}{4}-1}

donde as quatro soluções de (1) são

\begin{aligned}x_{1}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{2}&=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b+\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\end{aligned}

e

\begin{aligned}x_{3}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}+\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}\\x_{4}&=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}}{4a}-\sqrt{\dfrac{\left( -b-\sqrt{b^{2}-4ac+8a^{2}}\right) ^{2}}{16a^{2}}-1}.\end{aligned}

Artigo relacionado: Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

Julho 6, 2011

Forma algébrica das raízes quínticas da unidade

Filed under: Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais — Américo Tavares @ 9:52 pm
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Tradução e adaptação da minha resposta no MSE a uma questão de Paul “Como determinar as raízes da equação x^5-1=0?”

A equação x^5-1=0, que é equivalente a x=\sqrt[5]{1}, tem as 5 soluções seguintes:

e^{i\dfrac{2\pi (1+k)}{5}}=\cos\left( \dfrac{2\pi (1+k)}{5}\right)+i\sin\left( \dfrac{2\pi (1+k)}{5}\right),\qquad k=0,1,\ldots,4.

Vamos factorizar a quíntica em dois factor, um linear e outro quadrático. Por inspecção vemos que x=1 é um zero de x^{5}-1. Pela divisão de polinómios ou pela regra de Ruffini determinamos

x^{5}-1=\left( x-1\right) \left( x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right).

Agora factorizamos x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1 em dois polinómios quadráticos

x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=\left( x^{2}+bx+c\right) \left( x^{2}+Bx+C\right),

cujos coeficientes (reais) se determinam comparando o 1.º membro com o 2.º expandido. Visto que

\left( x^{2}+bx+c\right) \left( x^{2}+Bx+C\right)

=x^{4}+\left( B+b\right) x^{3}+\left( C+bB+c\right) x^{2}+\left(bC+cB\right) x+cC,

os coeficientes devem verificar

\left\{\begin{array}{c}B+b=1 \\C+bB+c=1 \\bC+cB=1 \\ cC=1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}B=1-b \\1/c+b\left( 1-b\right) +c=1 \\b/c+c\left( 1-b\right) =1\\C=1/c\end{array}\right.

Uma das soluções de b/c+c\left( 1-b\right) =1 é c=1. Substituíndo-a determinamos os restantes coeficientes:

\left\{\begin{array}{c}B=\dfrac{1}{2}\mp \dfrac{1}{2}\sqrt{5}\\b=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\\c=1 \\C=1\end{array}\right.

Portanto

x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=\left( x^{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\right) x+1\right)\left( x^{2}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\right) x+1\right)

e finalmente

x^{5}-1=\left( x-1\right)\left( x^{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\right) x+1\right) \left( x^{2}+\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{5}\right) x+1\right).

Assim as raízes de x^{5}-1 são as destes três factores, respectivamente, x_1=1 e

x_{2,3}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt{5}\pm\dfrac{1}{4}\sqrt{-10+2\sqrt{5}},\quad x_{4,5}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\sqrt{5}\pm\dfrac{1}{4}\sqrt{-10-2\sqrt{5}}

ou seja,

x_{2,3}=-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\sqrt{5}\pm i\dfrac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}},\quad x_{4,5}=-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\sqrt{5}\pm i\dfrac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}.

Nota: este método de decomposição de uma quártica em duas quadráticas nem sempre permite determinar as suas raízes — é a teoria de Galois que fornece as condições em que tal é possível,  como comentou Gerry Myerson, na minha resposta inicial. Nesses casos é necessário recorrer a uma equação cúbica resolvente, método que descrevi em resolução da equação do 4.º grau ou quártica.

Junho 29, 2011

Gervasio Gurgel Bastos — Sobre Raízes Reais da Cúbica Real

Filed under: Demonstração,Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 3:37 pm
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[Este artigo teórico é de autoria de Gervasio Gurgel Bastos, Prof. Titular (aposentado), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, Brasil, que comentou o meu post Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica) e, no seguimento, me enviou esta versão em pdf, que aqui publico, com sua autorização  - AT]

« Resumo: São dadas duas demonstrações para o fato de serem reais as três raízes distintas da equação do terceiro grau com coeficientes reais cujo discriminante é positivo.

1. As Fórmulas de Cardano

No ano de 1545 foram publicadas pela primeira vez as fórmulas de resolução por radicais da equação do 3.º grau:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad (C)

com a(\neq 0),b,c,d números reais. O processo de “completamento do cubo” reduz (C) à sua forma reduzida

z^{3}+pz+q=0\qquad (CR)

onde p e q são expressões polinomiais em função dos coeficientes originais. A mudança de variável se expressa por z=x+b/3a. O célebre truque x=u+v, com u e v não nulos, leva à determinação das fórmulas de Cardano (G. Cardano,1501-1576). A saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\\\\x_{2}&=w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\qquad (FC)\\\\x_{3}&=\overline{w}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}}}\end{aligned}

onde

\delta =-4p^{3}-27q^{2},\quad w=e^{\frac{2\pi }{3} i}=\cos 2\pi /3+i\mathrm{sen\;}2\pi /3=-1/2+i\sqrt{3}/2

e os radicais complexos devem ser tomados tais que

\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) \cdot\left( \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-\sqrt{\dfrac{-\delta }{108}}}\right) =-p/3.

Os números (não necessariamente reais) u^{3}=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{-\delta }{108}} e v^{3}=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{-\delta }{108}} são as raízes da equação quadrática resolvente y^{2}+qx-p^{3}/27=0. Assim, para (u,v) temos nove pares correpondentes à extracção das raízes cúbicas complexas de u^{3} e v^{3} dos quais só interessam aqueles três satisfazendo à condição uv=-p/3.

2. O caso \delta >0

A partir de x_{1}=u+v,x_{2}=wu+\overline{w}v e x_{3}=\overline{w}u+wv encontramos (x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=\delta . Essa formulação do discriminante em termos das raízes permite uma discussão sobre as raízes de (CR). Assim, por exemplo, quando \delta =0 tem-se três raízes distintas (raízes simples). Quando \delta >0 tem-se três raízes reais distintas.

Primeira demonstração: Supondo que uma das raízes fosse não real, digamos x_{1}=a+bi, com a,b reais, b\neq 0, teríamos que x_{1} também seria raiz de (CR), digamos x_{2}=\overline{x}_{1}. Pelas relações de Girard (A. Girardi, 1590-1633), temos 0=x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}+\overline{x}_{1}+x_{3} e portanto x_3=-2a  é um número real. Logo, teríamos

(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}=(2bi)^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(\overline{x}_{1}-x_{3})^{2}=-4b^{2}|x_{1}-x_{3}|^{4}<0,

contradição. Olhando de novo para as (FC), temos um aparente paradoxo. De fato, na fórmula

x_{1}=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},

o lado esquerdo é real, mas no lado direito aparece uma soma de raízes cúbicas de números complexos não reais. Para decifrar esse mistério, provemos inicialmente o seguinte

Teorema 1. Se z_{1} e z_{2} são números complexos com mesmo módulo e cujo produto é um número real c>0, então z_{2}=\overline{z}_{1}.

Prova. Sejam \theta =\mathrm{Arg} z_{1} e \varphi =\mathrm{Arg} z_{2}. Então, temos \theta +\varphi \equiv \mathrm{Arg} c, i.e. \theta +\varphi =2\pi . Portanto, z_{2}=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=|z_{2}|(\cos (-\theta )+i\mathrm{sen\;}(-\theta ))=\overline{z}_{1}. \blacksquare

Segunda demonstração: Voltando ao discriminante \delta , agora com sua definição pelos coeficientes da cúbica, notemos que as condições 0<\delta =-4p^{3}-27q^{2} e

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\cdot \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=-p/3

implicam, pelo teorema 1,

\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}=\overline{\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}}.

Logo, as raízes de (CR) dadas pelas fórmulas de Cardano, a saber:

\begin{aligned}x_{1} &=\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}},\\&&\\x {2}&=w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}\end{aligned}

e

x_{3}=\overline{w}\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}+i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}+w\sqrt[3]{-\dfrac{q}{2}-i\sqrt{\dfrac{\delta }{108}}}

são números reais.

Observação 1. Convém salientar que nos casos \delta \leq 0, que inclui o clássico exemplo do Casus Irreducibilis (coeficientes inteiros, sem raiz racional), podemos tomar os radicais cúbicos reais nas (F C). »


* * *

Este artigo cobre uma lacuna na forma meramente “calculatória” das minhas entradas no blog sobre a cúbica, notando-se claramente que saiu da pena de um matemático.

Junho 21, 2011

Problema de trigonometria — resolução de uma equação

Filed under: Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemática-Secundário,Mathematics Stack Exchange,Problemas,Trigonometria — Américo Tavares @ 11:29 am
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Problema: Sabendo que

\sin x + \cos x = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}

determinar \tan x + \cot x.

(desta questão de Vizualni no Mathematics Stack Exchange)

Minha resolução (tradução):

Dado que  a equação é linear em \sin x e \cos x pode  transformar-se numa quadrática:

\sin x+\cos x=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2\tan \dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}+\dfrac{1-\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}

\Leftrightarrow 2\tan \dfrac{x}{2}+1-\tan ^{2}\dfrac{x}{2}=\left( 1+\tan ^{2}\dfrac{x}{2}\right) \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.

Ponha-se y=\tan \dfrac{x}{2}

2y+1-y^{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}y^{2}\Leftrightarrow \left( 1+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right) y^{2}-2y-1+\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=0

e resolva-se em ordem a y

y_{1}=\dfrac{1}{3}\sqrt{3},y_{2}=2-\sqrt{3}

Assim

x_{1}=2\arctan \dfrac{1}{3}\sqrt{3}=\dfrac{1}{3}\pi

ou

x_{2}=2\arctan \left( 2-\sqrt{3}\right) =\dfrac{1}{6}\pi .

Finalmente obtém-se

\tan \dfrac{1}{3}\pi +\cot \dfrac{1}{3}\pi =\dfrac{4}{3}\sqrt{3}

ou

\tan \dfrac{1}{6}\pi +\cot \dfrac{1}{6}\pi =\dfrac{4}{3}\sqrt{3}.

Julho 28, 2010

Equações cúbicas e quárticas

Filed under: Equações,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 3:16 pm
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Para comodidade de leitura, reuno aqui as duas entradas publicadas em Maio sobre a resolução destas equações:

(mais…)

Maio 20, 2010

Resolução da equação do 4.º grau (ou quártica)

Filed under: Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 11:19 pm
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A forma canónica da equação do 4.º grau ou quártica é:

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

À semelhança do que foi feito para a equação cúbica, faz-se a substituição x=y+h:

a\left( y+h\right) ^{4}+b\left( y+h\right) ^{3}+c\left( y+h\right) ^{2}+d\left( y+h\right) +e=0

Ordenando pelas potências decrescentes de y fica:

ay^{4}+\left( b+4ah\right) y^{3}+\left( c+3bh+6ah^{2}\right) y^{2}+

    +\left( d+2ch+4ah^{3}+3bh^{2}\right) y+ah^{4}+bh^{3}+ch^{2}+dh+e=0

Se dividirmos por a e  anularmos o termo em y^{3}, para o que devemos fazer

h=-\dfrac{b}{4a}\qquad \left( 2\right)

obtemos a equação reduzida

y^{4}+Ay^{2}+By+C=0\qquad \left( 3\right)

sendo os seus coeficientes dados por

A=\dfrac{c}{a}-\dfrac{3b^{2}}{8a^{2}}\qquad \left( 4\right)

B=\dfrac{d}{a}-\dfrac{bc}{2a^{2}}+\dfrac{b^{3}}{8a^{3}}\qquad \left( 5\right)

e

C=\dfrac{e}{a}-\dfrac{bd}{4a^{2}}+\dfrac{b^{2}c}{16a^{3}}-\dfrac{3b^{4}}{256a^{4}}\qquad \left( 6\right)

Um dos métodos de resolução é o que usa uma equação cúbica auxiliar e que descrevo de seguida. O outro — que nem sempre funciona — é a factorização do 1.º membro da equação em dois factores do segundo grau. (mais…)

Maio 13, 2010

Resolução da equação do 3.º grau (ou cúbica)

Filed under: Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 10:11 pm
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A forma canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\qquad com a\neq 0\qquad \left( 1\right)

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição x=t+h:

a\left( t+h\right) ^{3}+b\left( t+h\right) ^{2}+c\left( t+h\right) +d=0

at^{3}+\left( b+3ah\right) t^{2}+\left( c+2bh+3ah^{2}\right) t+d+ch+ah^{3}+bh^{2}=0

Dividindo por a e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de t, obtemos – se escolhermos h=-\dfrac{b}{3a}

x=t-\dfrac{b}{3a}\qquad \left( 2\right)

– uma nova equação cúbica (em t) à qual falta o termo do 2.º grau:

t^{3}+pt+q=0\qquad \left( 3\right)

cujos coeficientes são:

p=\dfrac{c}{a}-\dfrac{b^{2}}{3a^{2}}\qquad \left( 4\right)

e

q=\dfrac{2b^{3}}{27a^{3}}-\dfrac{bc}{3a^{2}}+\dfrac{d}{a}\qquad\left( 5\right)

Se exprimirmos a variável t na soma de duas outras  (mais…)

Dezembro 29, 2008

Método de Newton de determinação da raiz de uma equação não linear e … BOM 2009

Filed under: Arte,Caderno,Equações,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 4:50 pm
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pdf: ver caderno

Se tiver uma equação  não  linear

f(x)=0

e pretender determinar numericamente um zero, pode utilizar o método da secante ou o de Newton que passo a expor. Pelo método de Newton partimos do valor inicial x_{1} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=1,2,,\ldots ) até  nos aproximarmos da solução  da equação. Paramos quando chegarmos à  aproximação pretendida.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right)  é  dada pela equação:

y=f^{\prime }(x_{1})(x-x_{1})+f(x_{1})

que intersecta o eixo dos x no ponto de abcissa x_{2}

x_{2}=x_{1}-\dfrac{f\left( x_{1}\right) }{f^{\prime }\left( x_{1}\right) }

Este valor permite gerar, pelo mesmo método, o novo valor

x_{3}=x_{2}-\dfrac{f\left( x_{2}\right) }{f^{\prime }\left( x_{2}\right) }

da abcissa do ponto de cruzamento da tangente a f(x) no ponto (x_{2},y_{2}=f(x_{2}))  e assim sucessivamente:

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{f\left( x_{i}\right) }{f^{\prime }\left( x_{i}\right) }.

Como se vê  este método obriga ao cálculo da derivada da função  f(x).

Exemplo: Aplique o método de Newton na determinação de \sqrt{2}

\sqrt{2}  é  solução de x^{2}-2=0. Temos f(x)=x^{2}-2 e f^{\prime }(x)=2x, pelo que a iteração se faz aplicando sucessivamente

x_{i+1}=x_{i}-\dfrac{x_{i}^{2}-2}{2x_{i}}

Escolhendo x_{1}=1, vem

x_{2}=x_{1}-\dfrac{x_{1}^{2}-2}{2x_{1}}=1-\dfrac{1-2}{2}=\dfrac{3}{2}

x_{3}=x_{2}-\dfrac{x_{2}^{2}-2}{2x_{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left( \dfrac{3}{2}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{3}{2}}=\dfrac{17}{12}

x_{4}=x_{3}-\dfrac{x_{3}^{2}-2}{2x_{3}}=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left( \dfrac{17}{12}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{17}{12}}=\dfrac{577}{408}

x_{5}=x_{4}-\dfrac{x_{4}^{2}-2}{2x_{4}}=\dfrac{577}{408}-\dfrac{\left( \dfrac{577}{408}\right) ^{2}-2}{2\times \dfrac{577}{408}}=\dfrac{665857}{470832}

A sucessão

1,\dfrac{3}{2},\dfrac{577}{408},\dfrac{665857}{470832},\dots\rightarrow \sqrt{2}

A velocidade de convergência é  boa:

\sqrt{2}-1=0,41421

\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}=-8,5786\times 10^{-2}

\sqrt{2}-\dfrac{17}{12}=-2,4531\times 10^{-3}

\sqrt{2}-\dfrac{577}{408}=-2,1239\times 10^{-6}

\sqrt{2}-\dfrac{665857}{470832}=-1,5949\times 10^{-12}

[Actualização de 4-4-2009: incluído exemplo]

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Do calendário dos Artistas Pintores com a boca e o pé  (Março de 2009) – “Amigas” de Chris Opperman. Citação de William Blake. 

meninas2009

Aproveito esta oportunidade para desejar um BOM 2009 a todos os visitantes e comentadores deste blogue.

Novembro 9, 2008

Método da secante de determinação da raiz de uma equação não linear

Filed under: Caderno,Cálculo financeiro,Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Métodos Numéricos,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 8:43 pm
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Suponha que tem a seguinte relação

y=\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}

e que pretende calcular x para um dado valor de y. Por exemplo y=15.
Então, a situação equivale a determinar a raiz da equação não linear

\dfrac{\left( 1+x\right) ^{10}-1}{x}-15=0.

No caso geral tem-se uma equação não linear

f(x)=0

e quer-se determinar numericamente o seu zero ou raiz. Pelo método da secante partimos dos valores iniciais x_{1} e x_{2} e geramos uma sucessão de valores x_{i} (i=2,3,\ldots ) até nos aproximarmos da solução da equação. Paramos quando estivermos suficientemente próximos do zero, no sentido de chegarmos à aproximação desejada.

A recta que passa por \left( x_{1},y_{1}=f\left( x_{1}\right) \right) e por \left( x_{2},y_{2}=f\left( x_{2}\right) \right) tem o coeficiente angular

m=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

 e a sua equação é

y=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x+y_{2}-\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{2}.

Cruza o eixo dos x no ponto de abcissa x_{3}

x_{3}=x_{2}-f\left( x_{2}\right) \times \dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{1}\right) } leia o resto »

Setembro 25, 2008

Duas equações equivalentes da circunferência no plano complexo

Filed under: Caderno,Equações,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais — Américo Tavares @ 5:07 pm
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No final deverá ficar claro que o conjunto

 \left\{ z\in\mathbb{C}:z\overline{z}+z\left( 1-i\right) -\left( 1+i\right) \overline{z}-2=0\right\}

define no plano complexo uma circunferência de centro 1+i e raio igual a 2.

No plano complexo o conjunto

 A=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z-z_{0}\right\vert =r\right\}

representa, como bem se sabe, a circunferência de centro em z_{0} e de raio igual a r\in\mathbb{R}.

É possível representar a mesma circunferência por outra relação equivalente, que é uma generalização da equivalência entre \left\vert z\right\vert =r e z\overline{z}-r^{2}=0. Vou mostrá-lo, recorrendo à  identidade elementar introduzida anteriormente.

\left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=\left\vert z\right\vert ^{2}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-z\overline{z}_{0}-\overline{z}z_{0},

onde está demonstrada, como resultado directo das propriedades elementares dos números complexos. Por conveniência repito a sua dedução, de forma condensada e com alteração de notação

\left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=\left( z-z_{0}\right) \overline{\left( z-z_{0}\right) }=\left( z-z_{0}\right) \left( \overline{z}-\overline{z}_{0}\right)

=z\overline{z}+z\overline{z}_{0}-w\overline{z}+z_{0}\overline{w}=\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}.

Seja z=x+iy e z_{0}=x_{0}+iy_{0}. A equação \left\vert z-z_{0}\right\vert =r é equivalente a

 \left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=r^{2},

 ou seja a

 \left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}=r^{2}

 e

 \left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-r^{2}=0

 que é precisamente a equação dessa tal circunferência.

Assim, o conjunto 

B=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-r^{2}=0\right\} =A. leia o resto »

Fevereiro 18, 2008

Integrais impróprios; a função gama

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Equações,Exercícios Matemáticos,Função Gama,Funções Especiais,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Matemáticas Gerais,Problemas,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 11:43 am
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O integral de Riemann de uma função f(x), real de variável real, define-se só para o caso em que essa função integranda existe e é definida para a\le x\le b, com a e b finitos:

\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

 Nos chamados integrais impróprios não se verificam algumas destas condições.   

Há três tipos de integrais impróprios:

Integrais impróprios de primeira espécie, se a função integranda f(x) existe e é definida para a\le x<+\infty, com a finito ou então  para -\infty<x\le b, com b finito:

I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{b\to +\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^3}\;dx 

\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{a\to -\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}\;dx. 

Integrais impróprios de segunda espécie, se a função integranda tiver uma singularidade no extremo inferior a finito do intervalo de integração, mas para todo o c>a existir  o integral de Riemann de f(x) para  c\le x\le b:

I_i=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{c\to a^+}\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \;dx

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\log x}{1+x}\;dx,

ou se a função integranda tiver uma singularidade no extremo superior b finito do intervalo de integração, mas para todo o c<b existir  o integral de Riemann de f(x) para a\le x\le c:

I_s=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx= \displaystyle\lim_{c\to b^-}\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \;dx;

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\;dx.

Integrais impróprios mistos, se forem simultaneamente de primeira e segunda espécie 

Exemplo: \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\;dx.
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Um integral impróprio diz-se convergente se o limite que o define existir e divergente no caso contrário. 
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À semelhança das séries existem critérios para determinar a convergência ou divergência de um dado integral impróprio partindo do conhecimento da convergência ou divergência de outro. A sua formulação para os integrais de primeira espécie é a dos dois teoremas seguintes, entre outros. Para os de segunda espécie, os teoremas, com as correspondentes alterações,  são igualmente válidos.
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Teorema (critério de comparação):  Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e
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i. f(x)\le g(x) para x\ge c.
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Então,
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a) se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for convergente, \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx também é convergente;
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b) se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx for divergente, \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx também é divergente.
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Teorema (critério do limite):  A - Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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i. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L, com L finito e diferente de 0.

Então, os dois integrais \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx e  \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx

são ambos convergentes ou divergentes.

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B – Suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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ii. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0,

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Então, se \displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for convergente,   \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx é convergente.

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C – Finalmente, suponhamos que as funções integrandas f(x) e g(x) são não negativas; e

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iii. \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty,

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Então, se \displaystyle\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx for divergente,   \displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x);dx é divergente.

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Para aplicação destes critérios é útil dispormos de alguns integrais de referência cuja convergência ou divergência conheçamos.

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I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx

  • Se f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p\le 1),\qquad I é divergente;
  •  Se f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p>1),\qquad I é convergente;
  •  Se f(x)=\dfrac{1}{1+x}\qquad (a\ge 0),\qquad I é divergente; 
  •  Se f(x)=x^{\alpha}\;e^{-x}\qquad (a>0,\alpha\in\mathbb{R}),\qquad I é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(\log x)^p}\qquad (a>1,p>0),\qquad I é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p>1),\qquad I é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p\le 1),\qquad I é divergente;

e para os integrais de segunda espécie com uma singularidade em x=b

I_s=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

ou com uma singularidade em x=a

I_i=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx

  • Se f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_s é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_s é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_i é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_i é divergente;
  • Se f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p<2),\qquad I_i é convergente;
  • Se f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p\ge 2),\qquad I_i é divergente.

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PROBLEMA: mostre que a função gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt

é convergente se e só se x>0. Integre por partes e obtenha a relação

\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)

e verifique  que \Gamma (1)=1, pelo que

\Gamma (n+1)=n!.

Actualização de 14-3-2008: Alteração da notação dos integrais com singularidades nos extremos inferior e superior do intervalo de integração.

ADENDA de 23-1-2009: pode ver aqui uma aplicação de alguns dos teoremas deste artigo à função gama

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