Retomo o tópico da substituição de Euler exemplificado nesta entrada.
Na questão How to find out what changes applied to integral?, no MSE, Dracontis pretende saber como se pode calcular o seguinte integral
que, em Maple, se transforma neste:
Adapto da minha resposta o seguinte cálculo.
1. Podemos usar a substituição de Euler 
2. Dado que a função integranda é uma fracção racional, podemos decompô-la em fracções parciais e de seguida integrar cada uma dessas fracções
Cálculo pormenorizado. De 
Decompondo nas fracções parciais indicadas acima, obtemos
Logo o integral dado é igual a
e 
são os semi-eixos. Assim, tem-se
onde o integral a seguir indicado é convergente
e escolha-se a função 
. Aplique-se o critério de convergência do limite. Como
é convergente, se 
, donde o integral 
converge na região 
. Seja agora 
. Então, aplicando novamente o critério do limite
o integral 
é convergente, conclui-se que 
converge na região 
. Resulta por fim que 
converge em
e acima da recta 
.
— por outras palavras 
é igual a 
. Porém, sendo a definição de
se pode obter desta definição? WolframAlpha diz que não converge…”
tentar usar a definição da função gama pelo integral que escreveu, porque ele diverge em 
em vez de 
)
. Usando a integração por partes podemos mostrar que
podemos definir 
pata todos os valores negativos de 
não pelo integral 
, mas antes através da equação funcional 
, que é da forma
[e] 
é convergente. No seu exemplo 
, logo 
e 
. Assim obtemos
, que pode calcular-se, por exemplo a partir da igualdade
, de 
determinamos que 
, usiando duas vezes 
. A este processo chama-se 
, não o demonstrando. Por isso alguém me poderia ajudar a demonstrá-lot? Mais uma vez obrigado!”
é um número real. Decomponha o integral impróprio da função gama
, em que
é sempre convergente use o facto de que qualquer que seja o número real 
o integral
considere dois casos. (a) Se 
, observe que 
, logo 
, a função integranda 
comporta-se como 
na vizinhança de 
, porque 
quando 
. Visto que
, isto é 
seja convergente para 
, pode usar-se a 
. Obtém-se
, com e sem recurso à 
, com 
e 
polinómios em 
and 
. Temos
é indeterminado. Dado que podemos reescrever 
como
e 
, teremos
.
uma função real. Se 
for diferenciável no ponto específico 
, a expressão 
é chamada diferencial de 
em 
e 
representa a recta tangente ao gráfico de 
obtido por translação do inicial.
quando 
, 
. O diferencial 
e a diferença finita 
é dada por
. Se tivermos um quadrado, cujo comprimento de cada lado 
foi medido com um erro máximo de 
, podemos calcular a sua área aproximadamente pelo diferencial
for uma função das variáveis reais 
, então a forma diferencial de 1.ª ordem 
nas duas variáveis calculado em 
é
transforma-se em 
, quando se faz uma transformação de coordenadas cartesianas em polares, tendo-se
do ângulo 
a variação correspondente do comprimento de onda 
é 
, o que significa que 
.
fechada e limitada 
é a área de uma célula rectangular genérica e 
, obtém-se a área de 
para a 
-ésima célula genérica e por dois raios que fazem um ângulo 
entre eles, a área da célula, utilizando a respectiva fórmula, é![\dfrac{1}{2}\left[ \left( r_{i}+\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}-\left( r_{i}-\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}\right] \Delta \theta_{i}=r_{i}\Delta r_{i}\Delta\theta _{i},](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%5B+%5Cleft%28+r_%7Bi%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CDelta+r_%7Bi%7D%5Cright%29+%5E%7B2%7D-%5Cleft%28+r_%7Bi%7D-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5CDelta+r_%7Bi%7D%5Cright%29+%5E%7B2%7D%5Cright%5D+%5CDelta+%5Ctheta_%7Bi%7D%3Dr_%7Bi%7D%5CDelta+r_%7Bi%7D%5CDelta%5Ctheta+_%7Bi%7D%2C&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{1}{2}\left[ \left( r_{i}+\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}-\left( r_{i}-\dfrac{1}{2}\Delta r_{i}\right) ^{2}\right] \Delta \theta_{i}=r_{i}\Delta r_{i}\Delta\theta _{i},")
é o raio do ponto médio da célula. A mesma área de 
, o que, por definição de um integral duplo, é igual a
do sistema de coordenadas cartesianas no de polares (
):
é a região definida por
significa que
significa que
, 
, 
(ver figura).
rodado de 
em relação ao sistema 
, o integral 
), um paralelogramo (
) e um triângulo (
), e determinar 
