Problemas Teoremas

Maio 17, 2012

Dúvidas sobre um desenvolvimento em série divergente. Em que teorema se baseia ?

Filed under: Análise Matemática,Matemática,Mathematics Stack Exchange,Séries — Américo Tavares @ 10:02 am
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Apesar de ter colocado a questão abaixo traduzida, no MSE e uma versão similar no MathOverflow, ainda continuo com quase as mesmas dúvidas.

Motivação: após ler pormenorizadamente um artigo de Alf van der Poorten, li também um bastante curto  de  Roger Apéry. O meu interesse reside em encontrar uma demonstração de um desenvolvimento em série apenas enunciado, mas não demonstrado no de Apéry e que, embora haja uma demonstração no de van der Poorten, não se trata exactamente do mesmo desenvolvimento. Parto do princípio de que haverá um teorema sobre o assunto, ou que dele se possa deduzir. Ou como comentei no FB, a minha questão é o da passagem da demonstração de Apéry onde é indicado o desenvolvimento em série de uma função f(x) com as propriedades aí descritas. O caso de f(n)=1/n^2 ou f(n)=1/n^3 está bem explicado no artigo de van der Poorten (linkado na questão). Mas o que eu pretendo saber é como se justifica o caso geral. Presumo que Apéry o terá utilizado por ser um facto conhecido, anterior à sua demonstração, nos anos 70.

Cópia do original [1]:

Em [1] Apéry, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979), existe um desenvolvimento em série divergente de uma função que gostaria de perceber.

Eis a tradução da parte relevante:

(…) dada uma sucessão de números reais a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}, uma função analítica f\left( x\right) no que diz respeito à variável \frac{1}{x}, tendendo para 0 com \frac{1}{x} admite um desenvolvimento (único) da forma

f\left( x\right)\equiv\displaystyle\sum_{k\geq1}\dfrac{c_{k}}{\left( x+a_{1}\right) \left( x+a_{2}\right) \ldots\left( x+a_{k}\right) }.\qquad (\mathrm{A})

Observação: tanto quanto percebo, baseado numa nota do artigo de Apéry, o desenvolvimento de f(x) em (\mathrm{A}) é em geral uma série divergente e não uma convergente, mas a resposta existente parece indicar o contrário.

A soma finita correspondente aparece e é demonstrada na secção 3 do artigo [2]  de Alfred van der Poorten A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of \zeta (3) na forma

Para todos os a_{1},a_{2},\dots

  \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}= \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (\mathrm{A'})

sendo aí provada a seguinte identidade

\dfrac{1}{n^{2}}=\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(-1)^{k-1}\left( \left( k-1\right) !\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})\cdots (n^{2}-k^{2})}\right) +\dfrac{2(-1)^{n-1}}{n^{2}\displaystyle\binom{2n}{n}}.\qquad (\mathrm{B})

Questões:

  1. A série (\mathrm{A}) é efectivamente divergente?
  2. Qual é o teorema que enuncia ou do qual se deduz o desenvolvimento em série (\mathrm{A})?
  3. Poderiam fornecer uma referência?
  4. Como é que (\mathrm{B}) se generaliza a (\mathrm{A})?

- : – :-

Se se fizer a mudança  de variáveis y=1/x,g(y)=f(1/x), obtem-se \lim_{y\rightarrow 0}g(y)=0 e

\begin{aligned}g(y)&\equiv\displaystyle\sum_{k\geq 1}\dfrac{c_{k}}{\left( \frac{1}{y}+a_{1}\right)\left( \dfrac{1}{y}+a_{2}\right) \ldots \left( \dfrac{1}{y}+a_{k}\right) }\\ &\displaystyle\equiv\sum_{k\geq 1}\dfrac{c_{k}y^{k}}{\left( 1+a_{1}y\right) \left(1+a_{2}y\right) \cdots \left( 1+a_{k}y\right) }\end{aligned}\qquad (\mathrm{C})

mas não sei como prosseguir. Se alguém me poder fornecer alguma sugestão ainda que parcial, ficar-lhe-ia muito grato. Se tiver uma resposta no MSE ou no MathOverflow, ou conseguir responder a esta questões pelos meus próprios meios, actualizo esta entrada.

Versão inglesa da questão (pdf ).

–

[1] APÉRY, R., Irrationalité de \zeta 2 et \zeta 3, Société Mathématique de France, Astérisque 61 (1979)

[2] POORTEN,  Alf., A Proof that Euler Missed…, Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, Math. Intelligencer 1, nº 4, 1978/79, pp. 195-203.

Junho 27, 2011

Filipe Oliveira — Divergência da série harmónica

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Demonstração,Matemática,Séries — Américo Tavares @ 11:54 pm
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Por considerar que merece o devido destaque, transcrevo a prova que o Professor Filipe Oliveira fez o favor de deixar neste seu comentário, em alternativa à que propuz nesta entrada sobre os números harmónicos. Apenas alterei o formato para melhor facilidade de leitura.

« Caro Américo, a prova que propõe da divergência da série harmónica é de facto a prova clássica. Deixo-lhe uma prova alternativa que montei para os alunos que têm algumas dificuldades com o argumento de “somação por pacotes” apresentado.

Temos

\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=1,

uma vez que este limite é, por definição, a derivada da função f(x)=\ln(1+x) no ponto x=0: f'(x)=\dfrac {1}{1+x}; f'(0)=1.

Assim,

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \dfrac{\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\dfrac {1}{n}}=1>0

pelo que as séries \displaystyle\sum\dfrac{1}{n} e \displaystyle\sum\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right) são de mesma natureza.

Mas

\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\ln (n+1)-\ln(n).

Assim,

\displaystyle\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=\ln(N+1)-\ln(1)=\ln(N+1).

Finalmente,

\displaystyle\lim_{N\to\infty}\displaystyle\sum_{n=1}^N\ln\left(1+\dfrac {1}{n}\right)=+\infty.

Esta série é divergente pelo que o é também a série harmónica. »

O método de cálculo do limite de uma fracção pode simplificar-se bastante, nos casos que se podem reduzir ao de uma derivada, como se vê acima.

Maio 24, 2011

Exemplo de convergência uniforme de uma sucessão dupla

Filed under: Análise Matemática,Demonstração,Matemática — Américo Tavares @ 7:03 pm
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Na secção 4 deste artigo de Alf van der Poorten, sobre a demonstração da irracionalidade de \zeta(3) por Roger Apéry, aparece o seguinte termo geral

e_{n,k}=\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}},\quad (1\leq k\leq n).

de uma sucessão dupla que converge uniformente no índice k. Para o provar é necessário mostrar que, quando n tende para infinito, a aproximação ao limite, que neste caso é igual a zero, é independente de k. Apresentei, no MSE, como demonstração, o seguinte argumento, que se baseia na definição de limite. A parte mais importante é obter um minorante do denominador. Este assunto já foi abordado por mim, neste blogue, nestas notas de cálculo (pontos 5 e 6).

Seja u_{n,m}=m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}. Se 1=m\leq n, então u_{n,m}=n\left( n+1\right). Para mostrar que u_{n,m}>n(n+1) para 1<m\leq n consideramos os dois casos seguintes:

  •  se 1<m=n, então u_{n,m}=n^{3}\dbinom{2n}{n}>n(n+1);
  • se 1<m\leq n-1, então m^{3}\dbinom{n}{m}\geq m^{3}\dbinom{n}{1}=m^{3}n>n e \dbinom{n+m}{m}\geq \dbinom{n+m}{1}=n+m>n+1. Logo u_{n,m}>n(n+1).

Assim, para 1<k\leq n, obtemos:

\begin{aligned}\left\vert e_{n,k}\right\vert &=\left\vert\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\dbinom{n+m}{m}}\right\vert \leq\displaystyle\sum_{m=1}^{k}\left\vert\dfrac{(-1)^{m-1}}{2m^{3}\dbinom{n}{m}\binom{n+m}{m}}\right\vert\\&\leq\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\dfrac{1}{2m^{3}\binom{n}{m}\binom{n+m}{m}}<\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\dfrac{1}{2n(n+1)}=\dfrac{n}{2n(n+1)}<\dfrac{1}{n}.\end{aligned}

Para k=1, vem \left\vert e_{n,1}\right\vert =\dfrac{1}{2n\left( n+1\right) }\leq \dfrac{1}{2(n+1)}<\dfrac{1}{n}. Assim, para todos os inteiros 1\leq k\leq n, provámos que \left\vert e_{n,k}\right\vert <\dfrac{1}{n}, o que implica que e_{n,k} converge uniformemente em k para 0, visto que esta última desigualdade é independente de k.

Nota: deste limite decorre, fazendo tender N para infinito, na identidade

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{N+k}{k}\dbinom{N}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}},

deduzida, no mesmo artigo, uma das fórmulas de Roger Apéry, a igualdade das séries:

\zeta (3)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}

Novembro 29, 2010

Prova de frequência de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 21/1/70

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Matemática — Américo Tavares @ 1:08 pm
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Ainda sobre Análise Infinitesimal I, do Prof. Dr. Gameiro Pais, transcrevo a minha prova de frequência de 21/1/70.

I

Considere as equações

z=y+\dfrac{\alpha}{2}x\qquad \text{e\qquad }z=-y+\dfrac{1}{2\alpha}x

a) O que representa, para cada valor do parâmetro \alpha, cada uma daquelas equações?

b) O que representa, para cada  \alpha, a intersecção dos 2 conjuntos referidos em a)? Porquê? Escreva na forma canónica as equações desse conjunto.

c) Mostre que a função que faz corresponder a cada \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2} a solução z\geq 0 do sistema formado pelas duas equações iniciais admite a expressão

z=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}}

d) Calcule \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} num ponto (x,y)\neq (0,0)

e) O que pode dizer sobre f_{x}^{\prime }(0,0) e f_{y}^{\prime }(0,0) ?

f) Identifique o gráfico desta função.

g) O que significam os conjuntos referidos em b) em relação ao gráfico daquela função z=f(x,y) ?

II

A função de \mathbb{R} para \mathbb{R}^{3} definida por

x=e^{\lambda }\cdot \text{sen }\lambda \text{, }y=e^{\lambda }\cdot \cos\lambda \text{, }z=e^{\lambda }

estabelece homeomorfias entre os intervalos fechados limitados \left[ a,b\right]\in\mathbb{R} e subconjuntos de \mathbb{R}^{3}.

a) Determine o vector normal principal \overline{n} unitário e a curvatura num ponto genérico.

b) Estabeleça uma expressão da curvatura tomando para variável independente o parâmetro s, abcissa curvilínea, e tomando para origem de contagem de s o ponto de cota z=1 e para sentido positivo de contagem dos arcos o que corresponde às cotas crescentes.

c) Como explica o facto de a expressão da curvatura obtida em b) poder tomar valores negativos para s\leq -\sqrt{3} ?

III

Designe F o espaço vectorial das funções que admitem 1.ª derivada contínua no seu domínio I=\left[ 0,1\right] sujeitas à condição f(0)=0 (com as definições habituais da adição de funções e de multiplicação de um número real por uma função) e seja \mu a norma definida neste espaço por

\mu (f)=\text{M\'{a}x}\left\{ \left\vert f(x)\right\vert ,x\in I\right\}\text{.}

a) Mostre que a expressão

\beta (f)=\text{M\'{a}x}\left\{\left\vert f(x)\right\vert ,\left\vert f^{\prime }(x)\right\vert ,x\in I\right\}

também define uma norma em F.

b) Diga se é \beta\sim\mu e justifique a afirmação.

Novembro 28, 2010

O meu exame final de Análise Infinitesimal I, Prof. Gameiro Pais, IST, 29/6/70

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Exames,Matemática — Américo Tavares @ 6:57 pm
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Transcrevo o enunciado do exame final, de 29/6/70, da disciplina anual Análise Infinitesimal I, leccionada no IST, em 69/70, no 2.º ano, nos cursos de engenharia, pelo Prof. Dr. Gameiro Pais.

I

Sejam (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}) dois espaços métricos e defina-se em E_{1}\times E_{2}=E

d(x,y)=\text{M\'{a}x}\left\{ d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\right\}

para todos x=(x_{1},x_{2})\in E e y=(y_{1},y_{2})\in E.

a) Mostre que d é uma distância em E.

b) Mostre que se tem B_{r}(a)=B_{r}^{1}(a_{1})\times B_{r}^{2}(a_{2}), \forall a=(a_{1},a_{2})\in E, \forall r>0.

c) Mostre que se A_{1} e A_{2} são conjuntos abertos respectivamente em (E_{1},d_{1}) e (E_{2},d_{2}), A_{1}\times A_{2} é um conjunto aberto em (E,d).

II

Considere a função f:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R} definida por

f(x,y)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+1\quad \text{se\ }(x,y)\in\mathbb{Q}^{2} \\ \text{\ \ }1-2x-2y\quad \text{\ \ se\ }(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\backslash\mathbb{Q}^{2}\end{array}\right.

a) Estude esta função quanto a continuidade. Justifique as suas afirmações.

b) Determine os pontos em que existe alguma das derivadas parciais.

c) Mostre que em nenhum ponto existem as duas derivadas parciais.

d) Qual é a razão pela qual se conclue da alínea anterior que esta função não é diferenciável em nenhum ponto?

III

a) Determine uma função u(x,y,z) cuja diferencial seja igual a

e^{-xy}\left[ (y-xy^{2}+yz)\text{\ }dx+(x-x^{2}y+xz)\text{\ }dy-dz\right]

calculando um integral curvilíneo ao longo de uma “trajectória” de (0,0,0) para (x,y,z).

b) Calcule o volume da região limitada pelos cilindros hiperbólicos

xy=1,xy=9,xz=4,xz=36,yz=25 e yz=49.

Sugestão: Faça xy=u,xz=v,yz=w.

* * *

Meu Caderno de Apontamentos


Setembro 8, 2010

Série de termo geral n²/xⁿ :: Series of general term n²/xⁿ

Filed under: Análise Matemática,Calculus,Cálculo,Exercícios Matemáticos,Matemática,Math,Problem,Problemas,Séries — Américo Tavares @ 9:37 pm
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Demostre que para x>1, x\in\mathbb{R} a função f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} é convergente e determine, justificando, a sua expressão analítica, na forma de fracção racional f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Sugestão: utilize a série geométrica de razão x e 1.º termo 1, diferencie e multiplique por x duas vezes.

Prove that for x>1, x\in\mathbb{R} the function f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{n^{2}}{x^{n}} converges and find, with proof, its analytical expression in the form of a rational function f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}.

Hint: use the geometrical series with ratio x and first term 1, differentiate and multiply by x twice.

Março 2, 2010

9 Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos

Filed under: Análise Complexa,Análise Matemática,Cálculo,Exames,Exercícios Matemáticos,Função Gama,Identidade matemática,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Math,Problem,Problemas,Transformadas de Fourier — Américo Tavares @ 12:32 pm
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Agrupo aqui todos os Problemas e Exercícios já publicados mas ainda Não Resolvidos de todos os níveis.

(a)  Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda/integrand function corrected. Deve ser/Should be

 \dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

 em vez de/instead of

 \dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}.

Resolução/Solution (25-05-10)

(b)  1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right) ,

where/em que  (p,q)\in\mathbb{Z}^{2}.

(c)  Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma s=\pi+e e a diferença d=\pi-e não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos (s e d) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

(d)  Three gamma function identities 

Let n=1,2,\ldots  . Show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)

and

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right) .

Let x\in\mathbb{R}. If x>0, show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right) .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B(x,x) and by means of an appropriate  change of variable find a relation between B(x,x) and B\left(x,\dfrac{1}{2}\right) .

(e)  Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função  trigonométrica periódica

 f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2},

 representada no gráfico, no intervalo \left[ -\pi ,\pi \right] .

ftextremos

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver f(t) e obter

f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t.

2 – Calcular a derivada de f(t):  f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t.

3 – Resolver a equação f^{\prime}(t)=0 e obter as soluções

  t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\} .

4 – Observar o andamento da função  no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é  f\left( t_{\max }\right) e o mínimo f\left( t_{\min }\right) , em que

t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi

 e

 t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi .

(f)  Problema não resolvido sobre triângulos e outros polígonos de área máxima inscritos numa circunferência

Mostre que de todos os possíveis triângulos inscritos na circunferência x^2+y^2=r^2 os de maior área são os equiláteros. Se um dos vértices tiver coordenadas \left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) , quais são as dos outros dois?

Generalize para um polígono de n lados.

(g)   Dois Problemas não resolvidos: Transformada de Fourier e Função de Bessel

PROBLEMA 1

1. Calcule a transformada de Fourier da função

f(x)=\left\{\begin{array}{c}\sin x\qquad x\in\lbrack 0,\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,\pi\rbrack\end{array}\right.

2. A partir da transformada do ponto anterior obtenha a transformada da função:

g(x)=\left\{\begin{array}{c}|\sin x|\qquad x\in\lbrack 0,4\pi\rbrack\\\text{0}\qquad\qquad x\notin\lbrack 0,4\pi\rbrack\end{array}\right.

3. As funções f e g pertencem à classe das funções contínuas num intervalo \lbrack a ,b\rbrack e nulas fora deste intervalo. Mostre que as funções desta classe possuem transformada de Fourier.

4. Diga se a transformação inversa de Fourier é válida para as funções do ponto 3. Justifique.

PROBLEMA 2

A função de Bessel de ordem zero J_0(x) satisfaz a equação integral

\displaystyle\int_{0}^{x}J_0(y)J_0(x-y)\; dy=\sin x

1. Calcule a sua transformada de Laplace.

2. Determine J_0(0^+) e J_{0}^{^{\prime }}(0^{+}) (considere J_0(0^+)>0.

3. Obtenha o desenvolvimento de J_0(x) em série de potências de x. 

(h)    Duas questões de Análise Complexa

Nota de 27-5-2009: o blogue echoone deixou de estar disponível.

Passagem do blogue

 http://echoone.wordpress.com/,

 entrada

 Introductory Complex Analysis Final

 (tradução e adaptação do inglês).

« (…) Demonstre que as equações de  Cauchy-Riemann se escrevem em coordenadas polares

u_r=\dfrac{v_\theta}{r}

e

v_r=-\dfrac{u_\theta}{r}

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(…) Determine o valor de

\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin^{2}x}{x^2}dx  (…) »

Resolução de Prof. Paulo Sérgio de 2.03.10

(i)  Integrais impróprios; a função gama

(…)

PROBLEMA: mostre que a função gama

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt

é convergente se e só se x>0. Integre por partes e obtenha a relação

\Gamma (x+1)=x\;\Gamma (x)\qquad (x>0)

e verifique  que \Gamma (1)=1, pelo que

\Gamma (n+1)=n!.

 

 

Fevereiro 25, 2010

Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Filed under: Análise Matemática,Calculus,Cálculo,Integrais,Integrais impróprios,Matemática,Matemáticas Gerais,Math,Problemas — Américo Tavares @ 10:28 pm
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Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda /integrand function corrected. Deve ser/Should be 

\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

 em vez de/instead of 

\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

Resolução/Solution: O integral é divergente/The integral diverges:

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{e^{-x}}{\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{e^{-x}-1}\right) dx

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\ \dfrac{1}{e^{-x}-1}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\ \dfrac{1}{e^{-x}-1}=-1-(-\infty) =\infty

Fevereiro 3, 2010

Comprimento de um arco rectificável

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Curva,Demonstração,Matemática — Américo Tavares @ 3:58 pm
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Admitamos que temos uma curva paramétrica definida pelas funções

x=f(t) e y=g(t)

e que pretendemos determinar o seu comprimento entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) . Dividamos o intervalo \left[ t_{0},t_{1}\right] em n sub-intervalos \left[ \tau_{k-1},\tau _{k}\right] , em que k=1,2,\ldots ,n, t_{0}=\tau _{0} e t_{1}=\tau _{n}, e unamos os pontos \left( f(\tau _{0}),g(\tau_{0})\right) ,\left( f(\tau _{1}),g(\tau _{1})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{k}),g(\tau _{k})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{n}),g(\tau_{n})\right) por uma linha poligonal inscrita na curva paramétrica. O comprimento desta linha é dado por

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left( f(\tau _{k})-f(\tau _{k-1})\right) ^{2}+\left( g(\tau _{k})-g(\tau _{k-1})\right) ^{2}}.

Se existir L=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }L_{n} a curva é rectificável entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) ,  sendo este limite o seu comprimento. Se existirem as derivadas f^{\prime }(t) e g^{\prime }(t), e forem contínuas, em \left[ t_{0},t_{1}\right] , pelo teorema do valor médio (ou de Lagrange) haverá n^{2} números reais a_{k}\in \left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] e b_{k}\in\left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] tais que

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left[ f^{\prime }(a_{k})\right] ^{2}+\left[g^{\prime }(b_{k})\right] ^{2}}\left( \tau _{k}-\tau _{k-1}\right) .

No processo de passagem ao limite, este somatório transforma-se no integral

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ f^{\prime }(t)\right] ^{2}+\left[ g^{\prime }(t)\right] ^{2}}dt

que nos dá o comprimento do arco de curva entre t_{0} e t_{1}.

No caso particular de y=f(x) obtemos

L=\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{1}}\sqrt{1+\left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{2}}dx.

Repito agora o cálculo do perímetro da astróide apresentado nesta entrada

Exemplo: a hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide  e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

Sabe-se que se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).

Resolução:

O perímetro L da curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

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L=4I=6.

Edição de 16.02.10: aperfeiçoado o texto.

Janeiro 1, 2010

1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Filed under: Análise Matemática,Calculus,Cálculo,Integrais,Matemática,Math,Problemas — Américo Tavares @ 12:10 am
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Prove que/prove that

\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right) ,

where/em que  (p,q)\in\mathbb{Z}^{2}.

Dezembro 29, 2009

Duas questões de exames sobre limites de sucessões, Análise Matemática, do Professor Jaime Campos Ferreira

Filed under: Análise Matemática,Exames,Exercícios Matemáticos,Matemática,Matemáticas Gerais,Problemas,Sucessões — Américo Tavares @ 12:04 am
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O Professor Campos Ferreira foi o meu professor de Matemáticas Gerais do Técnico, no ano lectivo  1968/69. Nessa altura, dava-se nela Análise e Álgebra Linear.  No site da IST Press o livro em cima é apresentado desta forma:

 « Exercícios de Análise Matemática I e II reúne exercícios destas disciplinas fundamentais elaborados (e alguns resolvidos) por diversos professores do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico e tem origem numa colectânea de exercícios de exames do Prof. Jaime Campos Ferreira iniciada pelo Prof. Francisco Viegas. Por acordo entre os diversos autores entendeu-se atribuir a autoria deste texto ao Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico» 

Por ser o ano mais próximo de 1968/69, retirei da página 15  o seguinte enunciado, correspondente ao exercício 1.42,  de 1971, cuja resolução é apresentada, mas que aqui não reproduzo:

« Determine os limites das sucessões de termos gerais:

a) u_{n}=\left( \dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }\right) ^{n},\qquad\qquad\qquad b) u_{n}=\sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}},

onde a é  um número real. »

 Sugestão: sobre b) - consultar esta minha entrada.

Resoluções: ver comentário de ateixeira. (mais…)

Maio 9, 2009

Uma aplicação interessante do teorema de Rolle

Filed under: Análise Matemática,Cálculo,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 3:15 pm
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Admitamos que uma dada função  real f é  contínua no intervalo \left[ a,b\right] e diferenciável em \left] a,b\right[ . Pelo teorema de Rolle, se f(a)=f(b), existe um ponto c\in\left] a,b\right[ tal que f^{\prime}(c)=0. Como é sabido a interpretação geométrica é  que entre os pontos \left( a,f(a)\right) e \left( b,f(b)\right) do gráfico de f há  pelo menos uma tangente horizontal. Por exemplo, consideremos a função f(x)=x^{2}-1 no intervalo \left[ -1,1\right] . Neste caso, em que f(-1)=f(1)=0 e as condições da hipótese do teorema se verificam, deve haver um c\in\left] -1,1\right[ tal que f^{\prime }(c)=0. Como f^{\prime }(x)=2x vemos que c=0 .

Antes de expor a aplicação em toda a sua generalidade, vejamos primeiro duas situações particulares. Uma, com g(x)=x^{2}-1 e f(x)=g(x)e^{-3x}. Continua a ser f(-1)=f(1)=0. Mas

f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)e^{-3x}-3g(x)e^{-3x}=\left[ g^{\prime }(x)-3g(x)\right] e^{-3x}

Pelo mesmo teorema existe algum ponto c em \left] -1,1\right[ onde f^{\prime }(c)=0. Como e^{-3x}\neq 0, c deve ser a raiz de

g^{\prime }(c)-3g(c)=0

Podemos dar uma interpretação gráfica a este resultado: há pelo menos um ponto entre \left( -1,g(-1)\right) e \left( 1,g(1)\right) do gráfico de g cuja tangente tem um declive igual ao triplo do valor de g nesse ponto. Para esta função g esse ponto é facilmente calculável

g^{\prime }(c)-3g(c)=0\Leftrightarrow 2c-3\left( c^{2}-1\right) =0\Leftrightarrow c=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\sqrt{10}

\bigskip

rolleex

\bigskip

Generalizando um pouco, se g(x)=x^{2}-1 e alterarmos f(x) para

f(x)=g(x)e^{-kx}\qquad k\in\mathbb{R}

obtemos c\in \left] -1,1\right[ tal que

g^{\prime }(c)-kg(c)=0

Finalmente eis a aplicação de maior generalidade, cuja  forma  de resolução é a sugerida na Referência.

Seja g  uma função real definida em \left[ a,b\right] e diferenciável em \left] a,b\right[ ; se g(a)=g(b)=0, então qualquer que seja o real k, existe um ponto c\in \left] a,b\right[   tal que

g^{\prime }(c)=kg(c).

\blacktriangleright Consideremos um k\in\mathbb{R} arbitrário e a função f(x)=g(x)e^{-kx}. Como e^{-kx} não se anula qualquer que seja o real x, os zeros de g(x) são  os de f(x), o que nos permite afirmar que f(a)=f(b)=0.

Sendo g diferenciável em \left] a,b\right[ , é contínua neste intervalo, pelo que f também é contínua e diferenciável para todo o x\in \left] a,b\right[ , logo verificam-se as condições de aplicação à  função  f do teorema de Rolle. Assim existe um ponto c em \left] a,b\right[ onde f^{\prime }(c)=0. Mas a derivada de f(x) é a função

f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)e^{-kx}-kg(x)e^{-kx}

donde, pelo mesmo motivo atrás indicado em relação  aos zeros de g(x) e de f(x), haverá um zero de f^{\prime }(c)

f^{\prime }(c)=g^{\prime }(c)e^{-kc}-kg(c)e^{-kc}=\left( g^{\prime }(c)-kg(c)\right) e^{-kc}

que ocorre quando

g^{\prime }(c)-kg(c)=0

o que justifica a afirmação enunciada. \blacktriangleleft

O k é  arbitrário, o que nos permite apenas afirmar que qualquer que seja k\in\mathbb{R} existe um c\in \left] a,b\right[ tal que f^{\prime }(c)=kf(c), sem saber em geral a relação entre c e k. A interpretação  geométrica deste resultado é  a de que no gráfico de uma função g, nas condições enunciadas, há pelo menos um ponto entre \left( a,g(a)\right) e \left( b,g(b)\right) cuja tangente tem um declive que é  um múltiplo  arbitrário do valor de g nesse ponto.

Nota: informaram-me que a aplicação apresentada será  um exercício de Curso de Análise, vol.1, de Elon Lages Lima.

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