Problemas Teoremas

Outubro 3, 2011

Determinação de uma matriz que transforma um vector noutro

Filed under: Álgebra linear,Exercícios Matemáticos,Matemática,Mathematics Stack Exchange,Problemas — Américo Tavares @ 12:08 pm
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Nesta questão de Miro, no MSE, é dado um vector u=(x,y) e pretende-se determinar uma matriz M tal que Mu=(1,0). A matriz deverá rodar u.

Tradução da minha resposta: o seu problema é equivalente a determinar a transformação entre as coordenadas x,y de um ponto e as coordenadas x',y' do mesmo ponto num sistema de coordenadas rodado em relação ao inicial, seguida da multiplicação pelo factor  k=1/\sqrt{x^{2}+y^{2}}, de tal maneira que  x''=kx'=1 and y''=kx'=0. O ângulo de rotação deve ser \theta =\arctan \dfrac{y}{x} (ver figura).

Da trigonometria sabemos que

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x'=x\cos \theta +y\sin \theta =\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\y'=-x\sin \theta +y\cos \theta =0\end{array}\right.\end{aligned}

e como

\cos\left(\arctan \dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

 \sin\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right) =\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},

tem-se

\begin{aligned}\left\{\begin{array}{c}x''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ x'=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1\\y''=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\ y'=-\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0.\end{array}\right.\end{aligned}

Em notação matricial

\begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\ -\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}

Assim

M=\begin{pmatrix}\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\\-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}&\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \end{pmatrix}.

Julho 22, 2010

Propriedade dos valores próprios das matrizes hermitianas

Filed under: Álgebra linear,Matemática,Teorema / Teoria — Américo Tavares @ 12:16 pm
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Seja A uma matriz de entrada (ou elemento) genérico a_{ij}. Admita que a_{ij}\in\mathbb{C}. Relembremos que a conjugada de A, designada por \overline{A} é a que tem como elemento genérico \overline{a_{ij}}, o conjugado de a_{ij}; a transconjugada de A é a transposta de \overline{A}, isto é, a matriz \left( \overline{A}\right) ^{T}. Uma matriz A diz-se hermitiana quando coincide com a sua transconjugada: \left( \overline{A}\right) ^{T}=A, logo \overline{a_{ji}}=a_{ij}. Claro que os elementos a_{11},a_{22},\ldots , a_{ii},\ldots ,a_{nn} da diagonal principal de uma matriz hermitiana são todos reais. As raízes \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} da equação característica \det \left( A-\lambda I\right) =0, em que I é a matriz identidade, recebem o nome de valores próprios da matriz quadrada A (de n linhas e n colunas).
\bigskip

Se a matriz A for de 2.ª ordem, será da forma

A=\begin{bmatrix}a_{11} & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}\end{bmatrix}

sendo a equação característica dada por:

\det \begin{bmatrix}a_{11}-\lambda & \text{Re}(a_{12})+i\text{Im}(a_{12}) \\ \text{Re}(a_{12})-i\text{Im}(a_{12}) & a_{22}-\lambda \end{bmatrix}=0

que é equivalente à equação polinomial (quadrática, neste caso):

\lambda ^{2}-\left( a_{11}+a_{22}\right) \lambda +a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}=0

Os valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2}\in\mathbb{R}:

\lambda _{1,2}=\dfrac{1}{2}\left( a_{22}+a_{11}\pm \sqrt{\Delta }\right)

uma vez que o determinante da equação característica é nulo ou positivo:

\Delta =\left( a_{22}+a_{11}\right) ^{2}-4\left( a_{11}a_{22}-\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\right) =\left( a_{11}-a_{22}\right) ^{2}+4\left\vert a_{12}\right\vert ^{2}\geq 0

\bigskip

Esta é uma propriedade das matrizes hermitianas de qualquer ordem: se A for uma matriz hermitiana de ordem n, os seus valores próprios \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n} serão todos reais.

Pode encontrar uma demonstração na entrada Hermitian Matrices de MathPages.

Editado em 22 e 23.07.2010: alterado título e feitas ligeiras alterações ao texto.

Maio 30, 2008

Método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial e matriz inversa

Filed under: Álgebra linear,Caderno,Matemática — Américo Tavares @ 8:24 am
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pdf: ver caderno

No caderno poderá encontrar um método para determinar:

  • a matriz inversa de uma dada matriz (exemplo para uma matriz de 3×3);
  • o determinante da matriz inicial;
  • exemplo de aplicação do método de eliminação de Gauss com pivotagem parcial.

Poderá ver um link a um vídeo sobre o método de Gauss nesta minha entrada.

Maio 1, 2008

Método de eliminação de Gauss de resolução de sistemas de equações

Filed under: Álgebra linear,Matemática,Matemática-Secundário — Américo Tavares @ 9:33 am
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ACTUALIZAÇÃO de 13-01-2011: O link do post referido já não se encontra acessível.

Neste “post” do blogue alemão OberPrima explica-se num vídeo o método de eliminação de Gauss para a resolução de sistemas de equações lineares: o caso exemplificado é o do sistema de 3 equações seguinte, resolvido passo a passo:

  1. 3 a  +  4 b  +  5 c  =  8
  2. a  - 0,5 b  +  3 c  =  0
  3. -2 a   -2 b   - c    =  -3

ADENDA de 30-5-2008: veja esta entrada: Método de Eliminação de Gauss com pivotagem parcial e matriz inversa

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