B. Demidovitch — Problemas e Exercícios de Análise Matemática

Adquiri hoje este livro já antigo, traduzido para português em 1977, pela editora MIR. A edição que comprei é da Escolar Editora. Lembro-me de o ter consultado por essa altura, por causa do método de Runge-Kutta de integração numérica de equações diferenciais.

Segundo já li, fazia parte da tradição da escola matemática soviética a publicação de livros de problemas bastante completos. Este, com 488 páginas, ultrapassa os 3000. Segundo se lê na contracapa, este «livro é obra de um grupo de professores de escolas técnicas superiores, autores de trabalhos já publicados sobre diferentes temas de Análise Matemática e destina-se a estudantes de Engenharia, Matemática e Física.»

Com Respostas no final do livro, os títulos dos seus 10 capítulos são: I. Introdução à Análise; II. Diferenciação de funções; III. Extremos da função e aplicações geométricas das derivadas; IV. Integral indefinida; V. Integral definida; VI. Funções de diversas variáveis; VII. Integrais múltiplas e curvilíneas; VIII. Séries; IX. Equações Diferenciais; X. Cálculos aproximados.

Dia mundial do livro – Os Problemas da Matemática de Ian Stewart

Em 1996 tomei conhecimento da demonstração de Roger Apéry da irracionalidade da série dos inversos dos cubos perfeitos no livro Os Problemas da Matemática, de Ian Stewart, editado entre nós pela Gradiva.  Na secção Uma demonstração que escapou a Euler do capítulo 4 (O livro esquecido de Euclides) o autor cita (deste artigo que descobri posteriormente) Alf van der Poorten, quanto às reacções dos matemáticos presentes na conferência de Apéry em 1978.

« O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incedulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir uma sequência de asserções pouco prováveis. »

No capítulo 2 — O preço da primalidade –, fiquei a saber que é o número de Cole , o que responde à questão 2 desta  minha entrada.

Recomendo este entusiasmante livro de divulgação, embora não saiba se existe uma edição mais recente.

O Cálculo Através da História de Paulo S. C. Lino

O Prof. Paulo Sérgio Costa Lino, autor do blog matemático Fatos Matemáticos, publicou o livro O Cálculo Através da História — Da Grécia Antiga ao século XVIII, que divulgo.

Desta página do clubedeautores.com.br

« Neste livro dividido em 5 capítulos, são apresentadas as ideias matemáticas desde da Grécia Antiga até ao século XVIII que levaram ao desenvolvimento do cálculo diferencial e integral moderno. No capítulo 1, apresentamos as ideias matemáticas gregas, destacando os métodos de exaustão e da alavanca usados por Arquimedes para calcular áreas e volumes. No capítulo 2, apresentamos os primórdios do cálculo com ênfase na invenção da Geometria Analítica e nos métodos particulares desenvolvidos por vários matemáticos para resolver os problemas de tangência e quadratura, destacando as contribuições de Cavalieri e Pierre de Fermat. No capítulo seguinte, apresntamos as versões dos Cálculos desenvolvidos por Isaac Newton e G. W. Leibniz. No capítulo 4, descrevemos as contribuições de Leonhard Euler. Além de exemplos e explicações claras, no final de cada capítulo são propostos alguns exercícios. Mesclando notações antigas e modernas, no capítulo 5, apresentamos vários assuntos ligados ao cálculo tais como a primeira retificação de uma curva, o produto infinito de Wallis, desigualdade de Bernoulli, ciclóide, etc. . »

E do seu post O Cálculo Através da História Promoção!

« Este é o meu primeiro livro publicado e surgiu após ministrar um minicurso de verão no departamento de matemática da Universidade Federal de Lavras (UFLA). O grande diferencial deste livro é a preocupação em expor de forma clara as ideias, com fórmulas e métodos explicados passo a passo, cumprindo um papel inédito na história da matemática. Além disso, ele foi escrito em latex que permite um excelente acabamento final e é ideal para todos os amantes da matemática que deseja aprofundar e conhecer as ideias que levaram ao desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral. »

O autor já teve a amabilidade de comentar mais do que uma vez os meus posts.

Aritmética Racional de Aniceto Monteiro e Silva Paulo. Pequeno Teorema de Fermat

 Integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, com edição de 2007 da SPM, adquiri recentemente o segundo volume, Aritmética Racional, fac-simile da edição de 1945 de Livraria Avelar Machado, dos autores Aniceto Monteiro e Silva Paulo.

O objectivo fundamental do seu ensino no liceu era o de «preparar o aluno para prosseguir estudos superiores»(p.IX) e o programa oficial: «Teoria dos números inteiros considerados como representando colecções de objectos idênticos, e das suas operações. Divisibilidade. Números primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Teoria dos números fraccionários e das suas operações.» Dizem os autores: «Para que a Aritmética se possa chamar Racional é indispensável que ela seja apresentada sob a forma duma teoria dedutiva, e para isso é necessário distinguir cuidadosamente as proposições primitivas das proposições demonstráveis».(p. IX)

Ao expor as leis da unicidade, associativa, modular e comutativa da adição e da multiplicação (p.20-21), enquadram-nas nas leis dum Grupóide, conceito da Álgebra Moderna que não aparece no meu livro do liceu, com o mesmo nome, da década de 1960, de J. Jorge Calado.

Como ilustração do método usado transcrevo o enunciado, a demonstração e um exercício de aplicação do teorema de Fermat. (p. 152-154)

« Teorema 13. (De Fermat). Se fôr primo então .

Dem. Seja e consideremos os produtos:

.

Nenhum produto (onde ) pode verificar a condição , porque então seria (§57) (o que é impossível por hipótese).

Por outro lado, se não pode ser , porque se fôsse , seria (Teor. 10) . Ora sendo e inferiores a para que a diferença entre e seja divisível por é necessário e suficiente que seja , o que contradiz a hipótese . Em resumo os elementos da sucessão são dois a dois incongruentes entre si e nenhum dêles é congruente a . Podemos, por isso, afirmar que são, respectivamente, congrupentes aos inteiros escritos numa certa ordem. Daqui resulta que:

ou

ou ainda

donde, pela lei do Corte:

,

 c. q. d. »

« Exercício 10. Se fôr um número primo ímpar e se não fôr divisível por tem-se: ou .

[ Sugestão: Note que

]

Aplicação: O cubo dum inteiro não divisível por é um múltiplo de mais ou menos »

Livro “Treze Viagens pelo Mundo da Matemática” destinado a professores de matemática do Ensino Secundário

Tomei conhecimento do lançamento deste livro neste post do blogue Matemativerso.

Do Ciência Hoje, Luísa Marinho, 2010-11-10:

« Livro destinado a professores do ensino secundário promove o gosto pela disciplina

 
Livro de “características únicas”, «Treze Viagens pelo Mundo da Matemática», organizado por Carlos Correia de Sá e Jorge Rocha (Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto), surge de um desafiou lançado a matemáticos profissionais para criarem um livro destinado a professores do ensino secundário. Editado pela Universidade do Porto, o livro foi apresentado ontem, na Fnac de Santa Catarina, no Porto, por Jorge Buescu.
Para um auditório lotado, o matemático e professor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, descreveu esta obra como “extraordinária”. É um livro “que se entende” e que “promove o gosto pela matemática”, escrito por profissionais que desenvolvem as suas ideias de uma forma lógica.
(…)
Buescu dá o exemplo do artigo de João Filipe Queiró sobre o centro da gravidade e como calculá-lo. O autor explica este tema a partir da observação do salto em altura e de como, e porquê, se alterou a técnica desta modalidade.
Os 13 capítulos têm estilos e abordagens diferentes. Esta diversidade, acredita, “aumenta a riqueza do livro”.
(…)
Um dos autores do livro, António Machiavelo, presente na apresentação, afirmou que gostava de ter tido este livro para ler quando se começou a interessar pela matemática. Acredita que o livro funciona bem porque “há paixão em cada um dos textos publicados”. »

E notícia de U.PORTO EDITORIAL, 25.09.2010:

 

« (…). A apresentação da obra será feita por Jorge Buescu, matemático e professor do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.
António Guedes de Oliveira, António Machiavelo, Christian Lomp, Jorge Miguel Milhazes de Freitas, José Carlos Santos, Lucinda Lima, Luís Oliveira, Maria Leonor Moreira, Maria Pires de Carvalho, Samuel António Lopes, todos professores da FCUP, Ana Cristina Moreira de Freitas (Faculdade de Economia da Universidade do Porto), António Bivar (professor na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa), António Marques Fernandes (Instituto Superior Técnico), João Filipe Queiró (Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra) e Sandra Mónica Pires (Escola Secundária de Arouca) são os autores dos textos incluídos.

O livro destina-se aos professores de matemática do Ensino Secundário, procurando inspirá-los na adopção de novas abordagens e ajudá-los a fomentar hábitos de pesquisa nos seus alunos. Mas o livro dirige-se também aos alunos e a um público mais vasto que pretenda alargar os seus horizontes matemáticos. O prefácio é escrito por Nuno Crato que define o livro como “divertido e instrutivo”.
(…) »

Livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter de Richard J. Lipton

Este é o novo livro The P=NP Question and Gödels Lost Letter do Professor de Computer Science (Georgia Tech) Richard J. Lipton  derivado do seu blogue com quase o mesmo nome. Do Prefácio:

 ” This book is a collection of some of the most popular posts from my blog — Gödel Lost Letter and P=NP — the blog, especially when I started, was to explore various aspects of computational complexity around the famous P=NP question. As I published posts I branched out  and covered additional material, sometimes a timely event, sometimes a fun idea, sometimes a new result, and sometimes an old result. I have always tried to make the posts readable by a wide audience, and I believe I have succeeded in doing this. “  

Tomei conhecimento da sua existência, na sua última entrada, My Book On P=NP Is Now Available.

Matemática — Uma Breve Introdução de Timothy Gowers

O Professor Timothy Gowers (Medalha Fields 1998) escreveu o livro cuja tradução portuguesa é  Matemática Uma Breve Introdução, que comecei a ler. No Prefácio escreve «A noção de espaço de Hilbert ilumina de tal forma a matemática contemporânea, (…), que, quem a desconhecer, não pode pretender possuir uma educação matemática superior».  Explica de seguida como para «poder compreender o que é um espaço de Hilbert, é necessário previamente aprender toda uma hierarquia de conceitos».  Aconselha o pensamento abstracto, de que trata no capítulo dos «Números e abstracção».

No capítulo «Demonstrações» apresenta   a da irracionalidade de , em vários passos, cada vez mais pormenorizados.

Reproduzo a do teorema de Pitágoras:

 

Livro de Terence Tao Como Resolver Problemas Matemáticos

 

Com o título Como Resolver Problemas Matemáticos – Uma Perspectiva Pessoal de Terence Tao (Departamento de Matemática, UCLA, Los Angeles), adquiri a 2.ª edição deste livro, uma tradução portuguesa de Paulo Ventura Araújo;  (a edição original foi  Solving mathematical problems: a personal perspective, Deakin University Press, 1992). No post  Solving Mathematical Problems, de 1997, no seu blogue What’s New, sobre a 2.ª edição Solving Mathematical Problems, (Oxford University Press,  2006) [texto editado], escreveu Terence Tao:

“  This book discusses various Olympiad level problems and how one can go about trying to solve them. It is the second edition of an earlier first-edition run.  It has also been translated into Portugese as “Como resolver problemas matemáticos” by Paulo Ventura Araújo for the Sociedade Portuguesa de Matemática (…) “

e ainda

“ (…) Thanks to Paulo Ventura Araújo, Thomas Drucker, Percival Li, Cecil Rousseau, Naoki Sato, dsilvestre, Arnstein Skåra, Tom Verhoeff, and Weiyu Xu for corrections.  “

 

Apresento a seguir uma digitalização da contra-capa e da página 35 do livro, com exercícios da Teoria dos Números.

Book review de Solving mathematical problems: a personal perspective, da autoria de Loren Larson, publicado em Notices Of  The AMS, vol. 57, N0. 2, Fev. 2010.