Benoît Mandelbrot — Dimensão de homotetia

O matemático francês Benoît Mandelbrot, conhecidíssimo pelo conjunto com o seu nome faleceu recentemente  (notícia do New York Times).  A  Gradiva publicou, em 1991, o seu livro Objectos Fractais, cuja capa reproduzo e no qual me baseio para expor o conceito de dimensão de homotetia.

( Notícia do DN de 18-10-2010).

 

Estamos habituados a falar de dimensão ou quando nos referimos a, respectivamente, uma superfície,  uma linha ou um ponto. E generaliza-se para a dimensão , quando nos referimos, por exemplo  a referenciais com coordenadas. Mas o que é uma dimensão não inteira, como , que é a dimensão da curva de von Koch? A dimensão de homotetia  é

(Koch snowflake, Wikipedia)

em que é a razão de homotetia e é o número de partes em que o todo é decomponível. No caso da curva de von Koch, substitui-se o terço central de  cada lado de um triângulo equilátero de lado unitário  por dois segmentos de recta que constituem com esse terço outro triângulo equilátero. A razão de homotetia entre os triângulos pequenos e o inicial  é  . Cada lado do triângulo inicial serve para obter segmentos de recta de comprimento . De seguida repete-se o mesmo procedimento para cada segmento de recta. A sua dimensão de homotetia é, como afirmado,

Uma característica do floco de von Koch é o de não possuir tangente.  «Qualquer que seja a escala», há «pormenores que, embora não possam ser vistos, nos impedem por completo de fixar uma tangente  a um ponto do contorno», escreve Mandelbrot.

Link para um vídeo sobre o conjunto de Mandelbrot.

Adendas de 18-10-2010: acrecentada cópia da notícia do DN.

Link para a Palestra proferida por Benoît Mandelbrot, em Madrid, no ICM2006,   The nature of roughness in mathematics, science and art.

Da nota Rest in Piece Benny escrita pelo meu amigo matemático profissional Nelson Faustino, no Facebook:

« Tomei o meu primeiro contacto com o trabalho de “Benny” (como lhe costumava chamar) em 1999 quando comprei o livro ‘Caos: A construção de uma nova ciência‘ de James Gleick (jornalista do New York Times)

Para além da psicóloga que me acompanhou do 10º-12º ano, foi o trabalho de Benny que me convenceu em ingressar em Matemática no ano de 2000/2001. Nesse mesmo ano, inspirei-me nos fractais para concorrer ao prémio Bento de Jesus Caraça com o trabalho ‘Fractais na Natureza’. »

Alguns dos fractais mostrados no Fraktale Welten gerados por fórmulas de iteração que sugeri ao autor

Partindo da fórmula de iteração conhecidíssima que cria o conjunto de Mandelbrot

,

[ em que é uma constante complexa, correspondente ao início da trajectória de iteração assim gerada no plano complexo ], em Doppelpot , do blogue alemão  Fraktale Welten, de Nachtwaechter, explica-se que, quando, numa fórmula de iteração ou de recorrência, se utilizam duas potências complexas diferentes, os fractais obtidos podem ser especialmente belos; e, ao ler, na continuação: 

»So sinnlos eine derartige Formel mathematisch ist, so hübsch sind die damit erzeugten Bilder, insbesondere die Bilder der Julia-Mengen«

«Uma fórmula desse tipo é tão desprovida de sentido matemático quanto  belas são as imagens que produz, especialmente as dos conjuntos Julia»,  

lembrei-me de sugerir ao autor que experimentasse usar as seguintes fórmulas de iteração:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. , etc.

No seu artigo Fünf Formeln (cinco fórmulas) explica e mostra os fractais assim gerados: o básico (Grundform), um pormenor (Detail), e o conjunto do tipo Julia (Julia-artige Menge).

A primeira destas fórmulas  ,  que é semelhte à de Mandelbrot, gera, talvez por isso,  um fractal parecido ao de Mandelbrot.  Mostro-os de seguida, pela ordem em que aparecem no artigo, e que são, respectivamente: o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia.

  

(A)

(B) 

(C)

Os fractais da fórmula de recorrência 4 são estes, respectivamente,  o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia:

(D)

(E)

(F)

 

No artigo referenciado representam-se os restantes, bem com explicações e opiniões do autor, e ainda os códigos usados em Ultra Fractal 5 para  gerar os fractais. 

Agora uma sondagem:

(A) vista global do fractal gerado por

(B) pormenor de (A)

(C) conjunto tipo Julia de (A)

(D) vista global do fractal gerado por

(E) pormenor de (D)

(F)  conjunto tipo Julia de (D)

Edição de 25.02.10: incluída sondagem e aperfeiçoado o texto.

Iterações fractais

Nesta entrada  Klaus Mustermann escreve no seu blogue Fraktale Welten  sobre a iteração de Manowar, que origina o fractal de Manowar, através da relação de recorrência

.

Teve a ideia de generalizar esta relação, usando a recorrência

,

em que são funções arbitrárias, que produzem fractais diferantes conforme a sua escolha.

Eis uma imagem das que é possível gerar escolhida entre as que lá são apresentadas, da qual gosto particularmente:

  

 

O Mundo dos Fractais: duas imagens. Vídeo do conjunto de Mandelbrot

O Blogue alemão Fraktale Welten publica há mais de dois anos imagens fractais de que pessoalmente gosto, obtidas a partir do gerador de fractais  FRACTINT 20, e por detrás das quais existe a Matemática de Benoît Mandelbrot. Esta

 

é de 01.04.2008 e  chama-se Kubische Iteration (Iteração cúbica). Segundo o autor o nome diz respeito à fórmula de recorrência das iterações que, neste caso, é cúbica:

em vez de quadrática, como usualmente

,

de 15.10.2006 que representa o conjunto de Mandelbrot, “um dos mais belos fractais” que existem, como diz o autor do blogue e eu concordo inteiramente, bem como Carlos Fiolhais que na introdução ao livro indicado a seguir escreveu “O conjunto de Mandelbrot é tão belo como a Vénus de Milo.” Quem desejar conhecer a parte matemática poderá  ler o livro de Mandelbrot, Objectos Fractais, da Gradiva, 1991, e ainda um clássico de James Gleick, Caos, Gradiva, 1989.

Nota: no blogue alemão a variável da primeira relação de recorrência é designada por em vez de mas nem por isso deixa de ser um número complexo, penso eu. No caso da recorrência quadrática do conjunto de Mandelbrot é seguramente a que se verifica no plano complexo, como muito bem explicam os livros indicados.

Adenda de 13-4-2008: o conjunto de Mandelbrot está representado a preto e branco na entrada Complexidade irredutível de Novembro 27, 2007, do blogue Brainstormers : 

Adenda de 5-1-2010: Vídeo sobre o conjunto de Mandelbrot

Alterado o título.

“A zoom into the “Seahorse Valley” region of the Mandelbrot Set. Set to “La Villageoise” by Rameau, performed by Trevor Pinnock. (Music — and therefore this video — are subject to the Creative Com…”  

Fonte: FlyByPC 18 de fevereiro de 2007