Problemas Teoremas

Abril 10, 2012

Alguns números deste blogue — 666 666 visualizações

Filed under: Blogue,Estatísticas,Matemática — Américo Tavares @ 1:09 pm
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O meu obrigado a todos os leitores, comentadores e seguidores de Problemas Teoremas.

Como curiosidade informo que foram superadas hoje as 666666 visualizações. O melhor dia foi o do passado 15 de Março, com 1382; e a melhor semana, a de 12 a 18 Mar 2012, com 6845.

Desde o passado dia 25 de Fevereiro são estes os totais por país (os 15 melhores)

cuja distribuição geográfica se pode ver no mapa seguinte

Questão 1: determine o número de zeros finais de 666666!

Questão 2: qual a designação habitual do número

2^{67}-1=193707721\times 761838257287 ?

Questão 3: determine o maior número composto com apenas dois factores primos inferior a 666666.

Divulgarei o nome dos autores das respostas justificadas a qualquer das questões, colocadas na caixa de comentários ou enviadas por correio electrónico.

Junho 28, 2011

500 mil

Filed under: Blogue,Estatísticas,Matemática — Américo Tavares @ 4:49 pm
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O total de visitas registadas pelo contador WordPress, iniciado em 8 Outubro de 2007, atingiu as

500\ 000

Problema (série): Determine um majorante do erro \varepsilon cometido ao aproximar a série

\eta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}

pela sua soma parcial

S_{500000}=\displaystyle\sum_{k=1}^{500000}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k^2}.

Calcule com a mesma aproximação \zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}.

Problema (computação) : Qual o número primo p_{500000}?

Comentário: As demonstrações de Pierre Dusart e de Eric Bach e Jeffrey Shallit (Wikipedia) estabelecem que para n\ge 6 se verifica a dupla desigualdade

n \ln n+n(\ln\ln n - 1)<p_n<n\ln n+n\ln \ln n

Daqui até ao resultado vai o passo que está relacionado com o andamento da função contagem dos números primos \pi(x), que dá o número de primos menores ou iguais a x. O teorema dos números primos diz-nos que o seu comportamento assimptótico é

\pi (x)\sim \dfrac{x}{\ln x}

A função  primes(N), em Python, no ambiente IDLE 2.6.4,  gera duas listas de números para calcular e apresentar os números primos até N.

>>> def primes(N):

$x, y = [0]*(N+2), [0]*(N+1)

x[1], p = 1, 2

x_p = 1

while p <= N:

…… . … print p,

…. .. … for m in range(1,N/p+1):

…. . ….. . if x[m] != 0:

…. . ….. . . x[m*p] = x[m] * x_p

. …… . while x[p] != 0:

. . …. … y[p] = y[p-1] + x[p]

. . …… . p += 1

Por exemplo, até N=1000:

>>> primes(1000)


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59  61

. . .

883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Foi com ela que determinei que o 1.º primo a seguir a 200 000 é o 200 003.

Se se incluir um contador a seguir a print p, poderá obter-se \pi(x). Mas este algoritmo está longe de ser eficiente e com os meus meios demoraria tanto que nem me atrevo a começar.

Exemplo de um problema de geometria (publicado no Caderno) e em Dodecaedro: o comprimento da aresta (cerca de 2 000 visitas).

Determine o lado l de cada um dos doze pentágonos regulares deste sólido platónico, sabendo que dois vértices simétricos em relação ao centro do dodecaedro, distam entre si d metros.

dodecaedro32d.jpgCuriosidade: segundo a WordPress «O Museu do Louvre é visitado por 8,5 milhões de pessoas todos os anos», o que significaria que o meio milhão de visitantes do problemas | teoremas

 3djpeg.jpg necessitaria de  21 dias a verem a exposição no Louvre.

200 000 hits em 26.07.09

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Períodos mais movimentados

  • dia: 22-6-2009, com 1 095
  • mês: Maio 2011, com 19 648 (20 087 em Junho 2011)
  • semana: 25 de 2011, com 5 321

e alguns parciais

  • 8.10.07: início
  • 22.02.09: 123 456
  • 26.07.09: 200 000
  • 12.12.09: 250 000
  • 5.05.10: 300 000
  • 12.09.10: 350 000
  • 13.12.10: 400 000
  • 10.04.11: 450 000

Termino com o cabeçalho, que foi recortado da antepenúltima figura; as suas equações paramétricas são:

x = s\sin s\cos t

y = s\cos s\cos t

z = s\sin t,

com 0\le s\le 2\pi e 0\le t\le\pi. Nesta representam-se os três eixos coordenados

Março 9, 2010

A nova plataforma da Google — Public Data Explorer

Filed under: Estatísticas,Geral — Américo Tavares @ 1:59 pm
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Tomei conhecimento ontem, através de um post de Scott Morrison, de que a Google já disponibilizou a sua nova plataforma, o Public Data Explorer, embora ainda em fase de afinações, com a intenção de obter reacções e de contactar com os fornecedores de dados públicos. Eis um exemplo dos gráficos que é possível obter com as informações constantes das bases de dados utilizadas, copiado através de um print screen.

(Clique para obter o gráfico original)

Google public data explorer

Life expectancy at birth, total (years) vs Adolescent fertility rate (births per 1,000 women ages 15-19)

Neste caso é a esperança média de vida em função do número de filhos de jovens adolescentes entre os 15 e os 19 anos; os círculos representam os países, as suas côres, as regiões geográficas e o seu tamanho, o número de filhos dessas jovens.

Mais exactamente, em inglês:

” Life expectancy at birth, total (years)
Life expectancy at birth indicates the number of years a newborn infant would live if prevailing patterns of mortality at the time of its birth were to stay the same throughout its life. Source: World Bank staff estimates from various sources including census reports, the United Nations Population Division’s World Population Prospects, national statistical offices, household surveys conducted by national agencies, and Macro International. “

e

” Adolescent fertility rate (births per 1,000 women ages 15-19)
Adolescent fertility rate is the number of births per 1,000 women ages 15-19. Source: World Bank staff estimates from various sources including census reports, the United Nations Population Division’s World Population Prospects, national statistical offices, household surveys conducted by national agencies, and Macro International. “

Os gráficos originais são animados, permitindo ver as relações representadas a evoluir no tempo.

Outro gráfico

(Clique para obter o gráfico original)

Taxa ajustada de desemprego na UE

Data from: Eurostat
 Last updated: March 8, 2010

Fevereiro 22, 2009

Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

Filed under: Blogue,Estatísticas,Exercícios Matemáticos,Fibonacci,Matemática,Teoria dos Números — Américo Tavares @ 11:30 pm
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123456 

A propósito do número de visitas deste blogue — o contador do WordPress passou hoje por 123456 — lembrei-me de  ver se descobria algo de interessante nele. Por exemplo:

1 - Quantos divisores admite?

Para respondermos a esta questão sem os indicar explicitamente, podemos recorrer a um teorema da aritmética racional (ou teoria dos números) cujo enunciado é:

O número de divisores do  inteiro n é a função aritmética d(n) cuja expressão analítica é 

d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)

em que e_1,e_2,\dots , e_k são os expoentes da decomposição factorial em números primos de n

n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}

Então, como

123456=2^6\times 3\times 643

o número de divisores de 123456 é

d(123456)=(6+1)(1+1)(1+1)=28

2 - Como se escreve na base 6?

Como

123456=0+2\times 6+3\times 6^2+1\times 6^3+5\times 6^4+3\times 6^5+2\times 6^6

 tem-se

(2351320)_6=(123456)_{10}

Penso acrescentar mais exemplos, no futuro, aqui. São quase 23h30m e pretendo “postar” ainda hoje.

(Continuação, 23-2-2009)

3 - Quais são os maiores números de Fibonacci de que é soma?
 Ora, como
123456=121393+1597+377+55+21+13

=x_{26}+x_{17}+x_{14}+x_{10}+x_{8}+x_{7}

em que

x_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}{\sqrt{5}}

é o número de Fibonacci de ordem n, os números são precisamente x_{26},x_{17},x_{14},x_{10},x_{8},x_{7}.

4 - Em quantos modos diferentes se pode decompor num produto de factores primos ente si?

Atendendo a que há 3 potências (2^6,3,643)  na sua decomposição em primos, a resposta é 2^{3-1}=4, e que são:

123456=1\times 123456

123456=2^6\times (3\times 643)=64\times 1929

123456=(2^6\times 3)\times 643)=192\times 643

123456=(2^6\times 643)\times 3=41152\times 3

(Continuação, 24-2-2009)

5 - Qual é o resto da divisão inteira do seu cubo por 7?

Sem fazer a conta na calculadora, podemos utilizar propriedades das congruências, para chegar ao resultado.

Notação e definição: a\equiv b\; (\mod m) , que se lê a é congruente com b para o módulo m, significa que a-b é  um múltiplo de m (com a,b,c inteiros).

Ora, 64\times 1929=123456, 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) e 1929\equiv 4\;\left( \mod 7\right) . Pela propriedade da relação de congruência que diz que

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv d\;\left( \mod m\right) , então ac\equiv bd\;\left( \mod m\right)

 vem

123456= 64\times 1929\equiv 1\times 4\;\left( \mod 7\right) =4\;\left( \mod 7\right)

e por outra propriedade, a que diz que

se a\equiv b\;\left( \mod m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\;\left( \mod m\right)

 tem-se

123456^{3}\equiv 4^{3}\;\left( \mod 7\right) =64\;\left( \mod 7\right)

E como 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) , pela propriedade transitiva da relação de congruência

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv c\;\left( \mod m\right) , então a\equiv c\;\left( \mod m\right)

 conclui-se que

  123456^{3}\equiv 1\;\left( \mod 7\right)

 pelo que o resto é  1.

(Continuação, 25-2-2009)

6 - Qual é a soma dos seus divisores?

Sabendo-se a factorização em primos de um número n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}  a soma dos seus divisores é dada por

\dfrac{p_{1}^{^{e_{1}+1}}-1}{p_{i}-1}\times \dfrac{p_{2}^{e_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\times \cdots \times \dfrac{p_{k}^{e_{k}+1}-1}{p_{k}-1}

No caso de 123456=2^{6}\times 3\times 643 será

\dfrac{2^{7}-1}{1}\times \dfrac{3^{2}-1}{2}\times \dfrac{643^{2}-1}{642}=327152

(mais…)

Junho 12, 2008

Obrigado, Brasileiros!

Filed under: Blogue,Estatísticas — Américo Tavares @ 11:49 pm
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« (…) Problemasteoremas.wordpress.com users come from these countries:

_______________

Brazil 57.3 %

Portugal 21.4 %

(…)  »

Fonte: Alexa, 13-6-2008, 0h50 TMG

 

Abril 6, 2008

Estatísticas do blogue

Filed under: Blogue,Estatísticas — Américo Tavares @ 9:56 pm
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1-6-2009: O texto, mapas e estatísticas  existentes nesta entrada desapareceram talvez  inadvertidamente em 8-5-2009.

Mais movimentados

  • dia: 28-11-2011, com 1 177
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