Martin Gardner (1914 – 2010) faleceu no último fim-de-semana. Autor da coluna Mathematical Games, da Scientific American, de 1956 a 1981, publicou mais de 70 livros.
Maio 25, 2010
Março 22, 2010
Solução do Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Solution to the Challenge: Find the general term of a sequence
Enunciado do Desafio/Challenge Statement
Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?
E o termo de ordem 
Adenda/Addendum
Nota: os termos são fracções reduzidas.
Remark: every term of the sequence is a fraction in its lowest terms.
Solução/Solution
O termo geral da sucessão é/The sequence general term is:
mas expresso como fracção reduzida [gcd (greatest common divisor) é o m.d.c. ou mdc (máximo divisor comum)]/but written as a fraction in its lowest terms
Em PARI/GP obtém-se com/With this line of code in PARI/GP
for(n=1,20,print(n ” : ” ((n-1)!/(2^(n+1)))))
isto / we get
1 : 1/4
2 : 1/8
3 : 1/8
4 : 3/16
5 : 3/8
6 : 15/16
7 : 45/16
8 : 315/32
9 : 315/8
10 : 2835/16
11 : 14175/16
12 : 155925/32
13 : 467775/16
14 : 6081075/32
15 : 42567525/32
16 : 638512875/64
17 : 638512875/8
18 : 10854718875/16
19 : 97692469875/16
20 : 1856156927625/32
Assim o sexto é/Hence the 6th term is
e o vigésimo/and the 20th,
O leitor d3r4z descobriu o 6.º temo aqui / The reader d3r4z found the 6th term here
Março 7, 2010
Desafio sobre sequências (sucessões): descobrir o termo geral :: Challenge: Find the general term of a sequence
Qual é o próximo termo da sucessão seguinte? / Which is the next term of the following sequence?
E o termo de ordem
[March 7, 2008: Edited to include the English version of the text.]
Adenda/Addendum
Nota: os termos são fracções reduzidas.
Remark: every term of the sequence is a fraction in its lowest terms.
Abril 28, 2009
100 cacifos — número par ou ímpar de divisores do inteiro n
O Prof. Antero Neves, no artigo Um pouco de Matemática n.º 0, publica um link para o número zero do “jornal” escolar com o mesmo nome e do qual é autor, onde aparece o seguinte desafio, que aqui reproduzo com a sua autorização:
« Imagine-se um corredor com 100 cacifos, numerados de 1 a 100. Quando passa o primeiro estudante, ele abre todos os cacifos, quando passa o segundo, ele fecha todas as portas pares, quando o terceiro passa, ele muda o estado das portas cujo número é múltiplo de 3, ou seja, as abertas são fechadas e as fechadas passam a estar abertas. Isto continua até passar o centésimo aluno. Quais as portas que permanecem abertas no final? »
Uma possível abordagem ao problema pareceu-me ser a que passo a descrever. Pelo enunciado ficamos a saber:
1. No início todos os cacifos estão fechados.
2. Os estudantes passam pelos cacifos por ordem crescente de n, desde n=1 a n=100.
3. O estudante de ordem n muda o estado das portas cujo número é múltiplo de n, não mexendo nas restantes.
Vejamos dois exemplos.
A – Quais são os estudantes que mudam o estado da porta 16?
São os de número de ordem 1, 2, 4, 8 e 16, ou seja, os divisores de 16. Como há um número ímpar de divisores, a porta 16, no final, está aberta (1 – abre, 2 – fecha, 4 – abre, 8 – fecha e 16 abre).
Notemos que os cinco divisores de 16 dão origem às seguintes decomposições num produto de dois factores: 1×16, 2×8 e 4×4 (3 pares de factores; o 4 aparece duas vezes)
B – Quais os que mudam o estado da porta 18?
Os de número de ordem 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Neste caso, em que há um número par de divisores, esta porta, no final, está fechada (1 – abre, 2 – fecha, 3 – abre, 6 – fecha, 9 – abre e 18 – fecha).
Agora as possíveis factorizações são: 1×18, 2×9, 3×6 (3 pares de factores; nenhum se repete)
Podemos generalizar, pensando no número de divisores de n. Se ímpar, a porta n fica aberta, se par, fechada. Basta agora apercebermo-nos que apenas os quadrados perfeitos têm um número ímpar de divisores, porque um dos divisores aparece duas vezes, para concluirmos que as portas abertas, no final, são as 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Adenda de 30-4-2009: no número 1 de Um pouco de Matemática encontra-se a explicação do autor
[1-5-2009: alterado título]
Nova adenda de 6-1-2011: Motivado pelo comentário de Anabela Vieira, decidi inserir as duas sondagens seguintes (os links iniciais já não existem, mas lembro-me que a interpretação do enunciado era a que lhe dei):
Fevereiro 14, 2009
Enigma lógico com casas, pessoas, animais, …
pdf: ver caderno
Arrumando papéis descobri uma folha com umas notas escritas por mim, na década de 1970, sobre um enigma do qual tomei conhecimento na altura, e que recentemente vi publicado na Internet, numa forma que não verifiquei se correspondia ao mesmo enunciado ou se era uma variante.
A lista de perguntas e a solução são as que tenho na minha folha [em 17-2-2009 acrescentei cópia]. Apenas a inicio com o próximo parágrafo, que só agora escrevi.
Em cinco casas de cores diferentes situadas ao lado umas das outras, moram cinco pessoas. Cada uma tem nacionalidade, idade, profissão e animal de estimação diferentes, e nenhuma das bebidas que tomam é a mesma. Indicar para cada pessoa: a cor e ordem da casa, o animal de que é dono, a respectiva nacionalidade, profissão, idade e o que bebe.
1 – o sexagenário da casa azul detesta a tartaruga da casa ao lado;
2 – a pomba do polaco é muito bem tratada pelo seu dono;
3 – ontem o metalúrgico discutiu com o dono do cão que mora na casa ao lado, e apareceu o polícia da casa verde, que resolveu o assunto;
4 – o chileno mora na casa branca;
5 – bebe-se vinho na casa à direita da qual se guarda a pomba;
6 – o velho da primeira casa à esquerda bebe café;
7 – o cão do advogado brasileiro enfurece-se facilmente;
8 – na casa do meio bebe-se leite;
9 – guarda-se o peixe, ao lado da casa verde;
10 – o jovem que bebe whisky tem uma vida muito agitada;
11 – a casa azul fica à direita da casa amarela;
12 – o homem de meia-idade é vizinho do velho do gato;
13 – bebe-se chá ao lado da casa branca;
14 – o dono da casa azul é pescador;
15 – a casa vermelha é a mais próxima da casa branca;
16 – o americano mora ao lado do chinês; e
17 – o trintão não é vizinho do agricultor.
Chegue à solução, justificando.
Solução (sem justificação)
* * *
ADENDA DE 15-2-2009:
A propósito de enigmas, encontra-se no BibM@th, o quebra-cabeças Mathématiciens et nombres e respectivo link para a resposta, cujo enunciado transcrevo:
« Alexandre et Bertrand décident de continuer de jouer avec la secrétaire. Ils lui demandent de choisir deux nombres entre 2 et 100. Elle tend un papier à Alexandre en lui indiquant qu’il s’agit de la somme de ces deux nombres. Puis elle tend un papier à Bertrand avec le produit de ces deux nombres. Puis un discours toujours aussi étonnant :
B : Ce produit ne me permet pas de déterminer quels sont ces deux nombres.
A: Je le savais!
B: Alors je connais ces 2 nombres.
A: Dans ce cas, moi aussi!
Quels sont ces 2 nombres ??? »
Tomei conhecimento recentemente deste enigma, com um enunciado diferente, mas equivalente, no artigo Méta-énigme, de Pierre Bernard, publicado em 30-1-2009. Nele o autor refere que Stéphane Fischler o apresenta na sua página, que descobri remeter para a sub-página Une petite énigme… , onde existe o link ao BibM@th. No dia 13-2-2009 Pierre Bernard publicou uma resolução com as explicações matemáticas relevantes e o respectivo programa em Pascal, porém sem revelar quais são os dois números do enigma.
[Actualização de 16-2-2009: acrescentei a categoria e tag "Matemática" em virtude deste enigma dos dois números e não obviamente por causa do enigma das casas. Alterei também o título]
Dezembro 31, 2008
Enigma: adivinha com números, cartas, cores (e base 2)
pdf: ver caderno
« Pede-se a uma pessoa que pense num número natural menor ou igual a 60. De seguida pede-se que indique a cor das cartas onde esse número aparece. Adicionando o menor número de cada uma das cartas indicadas (ou seja, o número indicado no canto superior esquerdo) descobre-se o número pensado ( por exemplo, se pensou no 38 ele aparece nas seguintes cartas: vermelha (2), azul escuro (4) e roxo (32); ora 2+4+32=38).
Verifica que resulta.
Porquê?
»
NOTA: SUGIRO QUE TENTE OBTER UMA EXPLICAÇÃO SEM LER A MINHA.
A minha resposta/explicação publicada no blog foi:
No canto superior esquerdo das cartas estão os números 
Estes números só aparecem uma vez. Seja 
Por isso, 
pelo que, como explicado, 
Muito interessante, sem dúvida!
A que acrescentei
Vejo agora que no seu post logo a seguir tem essencialmente a mesma resposta!
Dezembro 3, 2008
Enigma, ou melhor, a falsa adivinha dos chocolates e da idade
pdf: ver caderno
A TUA IDADE COM CHOCOLATES
NÃO VÁS DIRECTAMENTE AO FINAL
Não demora mais de um minuto.
Faz os cálculos conforme vais lendo o texto…
Não leias o final até que não acabes os cálculos.
Não vais perder tempo, vais-te divertir.
1. Quantas vezes por semana te apetece comer chocolate? (deve ser um número maior que 0 vezes e menos de 10 vezes)
2. Multiplica este número por 2 (para ser par)
3. Soma 5
4. Multiplica o resultado por 50 – Vou esperar que ponhas a calculadora a funcionar
5. Se fizeste anos em 2008 soma 1758. Se ainda não fizeste anos soma 1757.
6. Agora subtrai o ano em que nasceste (número de quatro dígitos).
O resultado é um número de três dígitos. O primeiro dígito é o número de vezes que te apetece comer chocolate por semana.
Os dois números seguintes são…
A TUA IDADE!!! (Siiiiiiimmmmmmm!!! A Tua Idade!!!)2008 É O UNICO ANO, EM TODA A ETERNIDADE, EM QUE ISTO FUNCIONA.
Quem consegue explicar isto?
A minha resposta/explicação publicada no blog foi:
O resultado 
em que 
Os passos enunciados conduzem, respectivamente, aos números
ou
Ora as identidades
e
mostram que o número é da forma acima indicada e que a idade é efectivamente 
Acrescento agora que a idade deve ser menor do que cem!
Actualização de 6-12-2008: alterado título e retirada a palavra “enigma” logo no início.
Agosto 15, 2008
Enigma dos produtos iguais
pdf: ver caderno
ACTUALIZAÇÃO DE 18-9-2008: o leitor António Ferrão chegou à seguinte solução, quanto ao maior resultado possível do enigma a seguir enunciado:
obtida através do programa escrito em PARI/GP indicado no comentário 3, que aqui reproduzo para o destacar e para uma visualização com indentação correcta de espaços (ver meu comentário 5).
Considerou
«expressões da forma: x*y=z*w, sendo x e z dois números decimais de quatro dígitos e y e w dois números decimais de três dígitos.
Condição: nenhum dígito se pode repetir em qualquer posição dos quatro números: x,y,z e w. A condição força a considerar todas as permutações dos dez dígitos, que se espalham entre os factores.
Número total de permutações: 10!=3628800.
Resultados do programa para determinação do produto mais elevado:
[10, 2, 6, 7, 5, 8, 4, 3, 9, 1]
915*64=732*80=58560
Os dígitos dos factores são extraidos da permutação reduzindo uma unidade. »
e separadamente da forma
«x e w com 5 dígitos e y e z com 1 dígito»
que conduz a um resultado inferior.
Programa fonte para determinação do produto mais elevado
maxprod=0;
for (i = 0, 10!-1,perm=numtoperm(10,i);\
x=(perm[1]-1)*100+(perm[2]-1)*10+(perm[3]-1);\
y=(perm[4]-1)*10+(perm[5]-1);\
w=(perm[6]-1)*100+(perm[7]-1)*10+(perm[8]-1);\
z=(perm[9]-1)*10+(perm[10]-1);\
p=x*y;\
q=w*z;\
if(p==q && p<maxprod,maxprod=p;\
permmax=perm;\
xmax=x;\
ymax=y;\
wmax=w;\
zmax=z;\
);\
);\
print(permmax);print(xmax,”*”,ymax,”=”,wmax,”*”,zmax,”=”,maxprod);\
quit;
* * *
A partir dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 constitua dois grupos de cinco dígitos todos diferentes entre si e disponha-os de modo a formar duas multiplicações cujo resultado seja igual.
Por exemplo
ou
em que cada dígito aparece uma e uma só vez.
Encontre o menor e o maior resultados possíveis e os respectivos factores.
Os leitores que o entendam, poderão apresentar-me a solução, se possível justificada, até 15 de Setembro de 2008 (com tolerância de duas semanas!), que publicarei.
Adaptado de Henry Dudeney, Os Enigmas de Canterbury, Biblioteca Desafios Matemáticos, RBA, 2008 (título original: The Canterbury Puzzles), Enigma 90, Os Cubos Numerados, onde se encontra uma exposição mais desenvolvida e as duas respostas, mas não a sua justificação.
[Editado em 15, 16 e 19-8-2008 com várias alterações.]
Actualização de 16-9-2008: alteração do enunciado.
